В разных областях человеческой деятельности используются разные системы счисления. В повседневной жизни мы используем десятичный счет, машинные операции внутри компьютера осуществляются в двоичном виде, а при просмотре содержимого памяти компьютера оператор видит шестнадцатеричные последовательности. Поэтому нужно научиться быстро переводить числа в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система примечательна тем, что ее основание - восемь - является степенью двойки. А это дает возможность перевести в восьмеричную систему из двоичной и наоборот при помощи математической хитрости. Так как восемь - это два в третьей степени, одна цифра восьмеричной системы будет переходить строго в три цифры двоичной. И переводить можно, используя таблицу:

0 8	000 2
1 8	001 2
2 8	010 2
3 8	011 2
4 8	100 2
5 8	101 2
6 8	110 2
7 8	111 2

Например, число 1001011101010 2 нужно перевести в восьмеричную систему счисления.

• Сначала разобьем его на триады - отрезки по три цифры.

1 001 011 101 010 2

• Так как ровно по три цифры не получилось, добавим слева два нуля. Число от этого не изменится.

001 001 011 101 010 2

• А теперь заменяем каждый отрезок его восьмеричным аналогом, сверяясь с таблицей.

Получили число 1132 8 .

Перевод из десятичной системы в восьмеричную

В этом случае такой упрощенный способ не пройдет. Рассмотрим для примера число 1762 10 , которое нужно перевести в восьмеричный вид.

1. Делим с остатком 1762 на 8. Получается 220 и 2 в остатке. 220 больше 8, поэтому продолжаем.
2. Делим с остатком 220 на 8. Получается 27 и 4 в остатке. 27 больше 8, поэтому продолжаем.
3. Делим с остатком 27 на 8. Получается 3 и 3 в остатке. 3 меньше 8, деление окончено.

Теперь нужно записать сначала последний остаток, а затем в обратном порядке частные от деления на всех этапах.

Последний остаток равен 3. Частное на 3 этапе равно 3. Частное на 2 этапе равно 4. Частное на 1 этапе равно 2. Получаем число 3342 8 , которое и является правильным ответом.

Как перевести в восьмеричную систему из десятичной попроще? Сначала из десятичного число нужно перевести в двоичный вид, а затем в восьмеричный с помощью таблицы. Перевод из десятичной системы в двоичную полностью аналогичен описанному алгоритму, только делить надо не на восемь, а, соответственно, на два. Именно потому, что делить на два проще, чем на восемь, переводом в из десятичной или шестнадцатеричной систем в восьмеричную через двоичную нередко пользуются. А так как шестнадцать - это два в четвертой степени, для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную существует такая же таблица, но для отрезков по четыре цифры.

Для микросхем компьютера важно лишь одно. Либо сигнал есть (1), либо его нет (0). Но записывать программы в двоичном коде - дело нелегкое. На бумаге получаются очень длинные комбинации из нулей и единиц. Человеку их тяжело.

Использование привычной всем десятичной системы в компьютерной документации и программировании очень неудобно. Преобразования из двоичной в десятичную системы и обратно - весьма трудоемкие процессы.

Происхождение восьмеричной системы, так же как и десятичной, связывают со счетом на пальцах. Но считать нужно не пальцы, а промежутки между ними. Их как раз восемь.

Решением проблемы стала восьмеричная . По крайней мере на заре компьютерной техники. Когда разрядность процессоров была невелика. Восьмеричная система позволила с легкостью переводить как двоичные числа в восьмеричные, так и наоборот.

Восьмеричная система счисления - система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Преобразование

Для того чтобы перевести число в двоичное, необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на тройку из двоичных цифр. Важно лишь запомнить, какая двоичная комбинация соответствует цифрам числа. Их совсем немного. Всего восемь!

Во всех системах счисления, кроме десятичной, знаки читаются по одному. Например, в восьмеричной системе число 610 произносится «шесть, один, ноль».

Видео по теме

У компонентов электронных машин, к которым относятся и компьютеры, есть только два различимых состояния: есть ток и нет тока. Их обозначают "1" и "0" соответственно. Поскольку таких состояний только два, многие процессы и операции в электронике можно описать с помощью двоичных чисел.

Инструкция

Делим десятичное число на два до тех пор, пока не получим неделимый на два остаток. На шаге получим остаток 1 (если число было нечетным) или 0 (если делимое делится на два без остатка). Все эти остатки обязательно должны быть учтены. Последнее частное, полученное в результате такого пошагового деления, всегда будет единицей.
Записываем последнюю единицу в старший разряд искомого двоичного , а полученные в процессе остатки записываем за этой единицей в обратном порядке. Здесь надо быть внимательным и не пропускать нули.
Таким образом, числу 235 в двоичном коде будет соответствовать число 11101011.

Теперь переведем в двоичную систему счисления дробную часть десятичного числа. Для этого последовательно умножаем дробную часть числа на 2 и фиксируем целые полученных . Эти целые части дописываем к полученному в предыдущем шаге числу после двоичной в прямом порядке.
Тогда десятичному дробному числу 235.62 соответствует двоичное дробное 11101011.100111.

Видео по теме

Обратите внимание

Двоичная дробная часть числа будет конечной, только если дробная часть исходного числа конечна и заканчивается на 5. Простейший случай: 0.5 х 2 = 1, следовательно 0.5 в десятичной системе - это 0.1 в двоичной.

Источники:

• Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления в 2019

Совет 4: Как перевести в десятичную систему двоичные числа

Двоичная или бинарная система счисления применяется для отображения электронной информации. Любое число можно записать в двоичном виде. Двоичная система используется во всех вычислительных машинах. Каждая запись в них кодируется по определенным правилам с помощью набора двух символов: 0 и 1. Перевести двоичное число в его десятичное представление, более удобное пользователю, можно с помощью разработанного алгоритма.

Инструкция

Представьте число в виде записи степеней по 2. Для этого все восемь цифр последовательно умножаем на число 2, возведенное в . Степень должна соответствовать разряду цифры. Разряд считается от нуля, начиная с младшего, самого правого символа двоичного числа . Все восемь составленных произведений запишите в .

Совет 5: Как записывать десятичное число в двоичной системе счисления

Десятичная система счисления – одна из самых распространенных в математической теории. Однако с появлением информационных технологий, двоичная система получила не менее широкое распространение, поскольку она является основным способом представления информации в компьютерной памяти.

Инструкция

Преобразование из десятичной системы в двоичную реализуется как для целых чисел, так и для дробных. Перевод целого десятичного числа производится методом последовательного деления его на 2. При этом количество итераций (действий) увеличивается до тех пор, пока частное не станет равно нулю, а итоговое двоичное число записывается в виде полученных остатков справа налево.

Например, преобразования числа 19 выглядит так:19/2 = 18/2 + 1 = 9, в остатке – 1, пишем 1;9/2 = 8/2 + 1 = 4, в остатке – 1, пишем 1;4/2 = 2, остаток отсутствует, пишем 0;2/2 = 1, остаток отсутствует, пишем 0;1/2 = 0 + 1, в остатке – 1, пишем 1.Итак, после метода последовательного деления к числу 19 получилось двоичное число 10011.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2 n), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 2 1), восьмеричной (q = 2 3) и шестнадцатеричной (q = 2 4) системами счисления.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:

2 = 2 i . Так как 2 = 2 1 , то i = 1 бит.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

8 = 2 i . Так как 8 = 2 3 , то i = 3 бита.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем таким способом двоичное число 101001 2 в восьмеричное:

101 001 2 => 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 => 51 8 .

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:

Двоичные триады	000	001	010	011	100	101	110	111
Восьмеричные цифры	0	1	2	3	4	5	6	7

Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

Например, преобразуем дробное двоичное число А 2 = 0,110101 2 в восьмеричную систему счисления:

Двоичные триады	110	101
Восьмеричные цифры	6	5

Получаем: А 8 = 0,65 8 .

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

16 = 2 i . Так как 16 = 2 4 , то i = 4 бита.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцате-ричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Переведем целое двоичное число А 2 = 101001 2 в шестнадцатеричное:

Получаем: А 16 = 0,D4 16 .

Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную. Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа - в группу из четырех цифр (тетраду).

Например, преобразуем дробное восьмеричное число А 8 = 0,47 8 в двоичную систему счисления:

В результате имеем: А 2 = 10101011 2

3адания

1.16. Составить таблицу соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

1.17. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие целые числа: 1111 2 , 1010101 2 .

1.18. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие дробные числа: 0,01111 2 , 0,10101011 2 .

1.19. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие числа: 11,01 2 , 110,101 2 .

1.20. Перевести в двоичную систему счисления следующие числа: 46,27 8 , ЕF,12 16 .

1.21. Сравнить числа, выраженные в различных системах счисления: 1101 2 и D 16 ; 0,11111 2 и 0,22 8 ; 35,63 8 и 16,С 16 .

Назначение сервиса . Сервис предназначен для перевода чисел из одной системы счисления в другую в онлайн режиме. Для этого выберите основание системы, из которой необходимо перевести число. Вводить можно как целые, так и числа с запятой.

Число

Перевод из 10 2 8 16 системы счисления. Перевести в 2 10 8 16 систему счисления .
Для дробных чисел использовать 2 3 4 5 6 7 8 знака после запятой.

Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой.

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:

Способы представления чисел

Двоичные (binary) числа – каждая цифра означает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, после числа ставится буква «b». Для удобства восприятия тетрады могут быть разделены пробелами. Например, 1010 0101b.
Шестнадцатеричные (hexadecimal) числа – каждая тетрада представляется одним символом 0...9, А, В, ..., F. Обозначаться такое представление может по-разному, здесь используется только символ «h» после последней шестнадцатеричной цифры. Например, A5h. В текстах программ это же число может обозначаться и как 0хА5, и как 0A5h, в зависимости от синтаксиса языка программирования. Незначащий ноль (0) добавляется слева от старшей шестнадцатеричной цифры, изображаемой буквой, чтобы различать числа и символические имена.
Десятичные (decimal) числа – каждый байт (слово, двойное слово) представляется обычным числом, а признак десятичного представления (букву «d») обычно опускают. Байт из предыдущих примеров имеет десятичное значение 165. В отличие от двоичной и шестнадцатеричной формы записи, по десятичной трудно в уме определить значение каждого бита, что иногда приходится делать.
Восьмеричные (octal) числа – каждая тройка бит (разделение начинается с младшего) записывается в виде цифры 0–7, в конце ставится признак «о». То же самое число будет записано как 245о. Восьмеричная система неудобна тем, что байт невозможно разделить поровну.

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод целых десятичных чисел в любую другую системы счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в остатке не останется число меньшее основания новой системы счис­ления. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Перевод правильной десятичной дроби в другую ПСС осуществляется умножением только дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор пока в дробной части не останутся все нули или пока не будет достигнута заданная точность перевода. В результате выполнения каждой операции умножения формируется одна цифра нового числа начиная со старшего.
Перевод неправильной дроби осуществляется по 1 и 2 правилу. Целую и дробную часть записывают вместе, отделяя запятой.

Пример №1 .



Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.

Пример №2 . 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3 . 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.

Пример №4 .
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.

1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС

1. Из десятичной системы счисления:
   • разделить число на основание переводимой системы счисления;
   • найти остаток от деления целой части числа;
   • записать все остатки от деления в обратном порядке;
2. Из двоичной системы счисления
   • Для перевода в десятичную систему счисления необходимо найти сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
   • Для перевода числа в восьмеричную необходимо разбить число на триады.
     Например, 1000110 = 1 000 110 = 106 8
   • Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить число на группы по 4 разряда.
     Например, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Позиционной называется система , для которой значимость или вес цифры зависит от ее места расположения в числе. Соотношение между системами выражается таблицей.
Таблица соответствия систем счисления:

Двоичная СС	Шестнадцатеричная СС
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

n (степень)

Пример.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

n (степень)

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

n (степень)

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.