Самый дешёвый путь

В каждой клетке прямоугольной таблицы N*M записано некоторое число. Изначально игрок находится в левой верхней клетке. За один ход ему разрешается перемещаться в соседнюю клетку либо вправо, либо вниз (влево и вверх перемещаться запрещено). При проходе через клетку с игрока берут столько килограммов еды, какое число записано в этой клетке (еду берут также за первую и последнюю клетки его пути).

Требуется найти минимальный вес еды в килограммах, отдав которую игрок может попасть в правый нижний угол.

Раздел Динамическое программирование представлен следующими калькуляторами:

1. Задача распределения инвестиций . Для реконструкции и модернизации производства на четырех предприятиях выделены денежные средства С = 80 ден. ед. По каждому предприятию известен возможный прирост f i (х) (i = 1, 4) выпуска продукции в зависимости от выделенной суммы.

В задачах динамического программирования экономический процесс зависит от времени (или от нескольких периодов времени), поэтому находится ряд оптимальных решений (последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Поэтапное проведение оптимизации называется многошаговым процессом принятия решения. Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития.

В основе метода динамического программирования (ДП) лежит принцип последовательной оптимизации: решение исходной задачи оптимизации большой размерности заменяется решением последовательности задач оптимизации малой размерности. Основным условием применимости метода ДП является возможность разбиения процесса принятия решений на ряд однотипных шагов или этапов, каждый из которых планируется отдельно, но с учетом результатов, полученных на других шагах. Например, деятельность отрасли промышленности в течение ряда хозяйственных лет или же последовательность тестов, применяемых при контроле аппаратуры, и т. д. Некоторые процессы (операции) расчленяются на шаги естественно, но существуют такие операции, которые приходится делить на этапы искусственно, например процесс наведения ракеты на цель.
Этот принцип гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, является не локально лучшим, а лучшим с точки зрения процесса в целом, так как это управление выбирается с учетом последствий на предстоящих шагах.

Рассмотрим общее описание задачи динамического программирования .
Пусть многошаговый процесс принятия решений разбивается на n шагов. Обозначим через ε 0 – начальное состояние системы, через ε 1 , ε 2 , … ε n – состояния системы после первого, второго, n -го шага. В общем случае состояние ε k – вектор (ε k 1 , …, ε k s ).
Управлением в многошаговом процессе называется совокупность решений (управляющих переменных) u k = (u k 1 , ..., u k r ), принимаемых на каждом шаге k и переводящих систему из состояния ε k -1 = (ε k- 1 1 , …, ε k -1 s ) в состояние ε k = (ε k 1 , …, ε k s ).
В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции любым предприятием – управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т. д. Совокупность решений, принимаемых в начале года, планируемого периода, по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т. д. является управлением. Казалось бы, для получения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложить максимально возможное количество средств и использовать на полную мощность оборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции. Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т. е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.
Началом этапа (шага) управляемого процесса считается момент принятия решения (о величине капитальных вложений, о замене оборудования определенного вида и т. д.). Под этапом обычно понимают хозяйственный год.
Обычно на управление на каждом шаге u k накладываются некоторые ограничения. Управления, удовлетворяющие этим ограничениям, называются допустимыми.
Предполагая, что показатель эффективности k -го шага процесса зависит от начального состояния на этом шаге k -1 и от управления на этом шаге u k , получим целевую функцию всего многошагового процесса в виде:
.

Сформулируем теперь задачу динамического программирования : «Определить совокупность допустимых управлений (u 1 , …, u n ), переводящих систему из начального состояния ε 0 в конечное состояние ε n и максимизирующих или минимизирующих показатель эффективности F ».
Управление, при котором достигается максимум (минимум) функции F называется оптимальным управлением u * = (u 1* ,…, u n *).
Если переменные управления u k принимают дискретные значения, то модель ДП называется дискретной . Если переменные u k изменяются непрерывно, то модель ДП называется непрерывной .
В зависимости от числа параметров состояния s и числа управляющих переменных r различают одномерные и многомерные задачи ДП.
Число шагов в задаче может быть конечным или бесконечным .

Прикладные задачи динамического программирования

1. задача о планировании строительства объектов.

В рассмотренных выше моделях управленческих задач не учитывался время. Это так называемые одноэтапные модели, которые позволяют анализировать статические, не зависящие от времени процессы, допустим, когда изменениями исследуемого процесса во времени можно пренебречь. Управленческое решение по такого моделирования имеет смысл или в условиях стабильности системы, или на короткий промежуток в будущем.

В реальности все экономические процессы и явления функционируют и развиваются во времени, то есть по своей природе динамичны. Это требует от менеджеров решения практических задач, в которых необходимо учитывать возможные изменения экономических процессов во времени при условии, что процессом можно управлять, то есть влиять на ход его развития.

Динамическое программирование - это математический аппарат, с помощью которого решаются многошаговые задачи оптимального управления. В таком программировании для управления процессом среди множества всех допустимых решений ищут оптимальное в смысле определенного критерия, то есть такое решение, которое дает экстремальное (больше или меньше) значения целевой функции - некоторой числовой характеристики процесса. Во многостепенность понимают или многоступенчатую структуру процесса, или распределение управления на ряд последовательных этапов, соответствующих, как правило, различным моментам времени. Таким образом, слово "программирование" означает принятие управленческих решений, а слово "динамическое" указывает на существенное значение времени и порядка выполнения операций в процессах и методах, которые рассматриваются.

В задачи динамического программирования относятся задачи календарного планирования, распределения инвестиций, управление запасами, текущего и капитального ремонта, выбора методов проведения рекламы и тому подобное.

В одних задачах динамического программирования управленческий процесс распадается на этапы естественным путем, например месяц, квартал, год. В других ситуациях разделение на этапы может иметь условный характер. Особенность всех задач динамического программирования заключается в том, что на каждом этапе можно учитывать предыдущие изменения, управлять ходом событий, оценивая при этом качество такого управления. Итак, динамическое программирование позволяет принять ряд управленческих решений, обеспечивает оптимальность развития системы в целом.

Рассмотрим общую постановку задачи этого программирования. Пусть исследуется некоторый экономический процесс, имеющий п последовательных этапов. На каждом 7-м этапе процесс может быть в разных состояниях бы, каждый из которых характеризуется конечным множеством параметров. С каждым этапом задачи связано принятие определенного управленческого решения хи, которое переводит систему из одного состояния в другое. Предполагается, что состояние si системы в конце 7-го этапа определяется только предыдущим состоянием si_1 и управлением хи на 7-м этапе и не зависит от предыдущих состояний и управлений. Тогда состояние si системы записывается в виде зависимости

Si = ф (в, _!, Хи), i = 1, П.

Эффективность всего процесса управления может быть представлена как сумма эффективностей управленческих решений отдельных этапов, то есть

При названных условиях задача динамического программирования формулируется так: определить такую допустимую последовательность управленческих решений X = {x1, x2, хп}, которая переводит систему из начального состояния 50 в завершающий состояние sn и при которой достигается максимальная эффективность управления.

Планируя многоэтапный процесс управления, в задачах динамического программирования необходимо на каждом этапе выбирать управленческое решение с учетом его последствий на тех этапах, которые еще впереди. Только на последнем этапе можно принять управленческое решение, которое даст максимальный эффект, поскольку следующий шаг для него не существует. Поэтому задачи динамического программирования решаются с конца.

Максимум целевой функции на заключительном п-м этапе равна

^ п-О = шах / п ^ п-и хп).

Соответственно, на (п - 1) -етапи имеем

г * п-1 (5п-2) = ШaХ ((fn-1 (sn-2, хп-1) + г * п ^ п-1)).

Учитывая эту закономерность, для произвольного k-этапа можем записать рекуррентную зависимость

г * (пятый-1) = Шахи (Л (ик-1, хк) + г * + 1)).

Такая рекуррентная зависимость представляет собой математическую запись принципа оптимальности Беллмана.

Определив по рекуррентными зависимостями условно-оптимальный эффект на начальном этапе, проводят безусловную оптимизацию управления в "обратном" направлении, в результате чего находят последовательность управленческих решений, обеспечивает максимальную эффективность системы в целом.

Основные особенности метода динамического программирования

1. Идея и метод динамического программирования больше приспособлены к дискретных задач, которыми в большинстве являются задачи управления.

2. Метод динамического программирования можно применять при любом способа задания целевой функции и с любой допустимой множеством состояний и управлений. Этого преимущества лишены классические методы оптимизации и другие вычислительные методы математического программирования.

3. Вычислительные схемы метода динамического программирования в дискретном случае связанные с переборкой оптимальных значений показателя эффективности и управления на к-м шаге для всех возможных значений переменной состояния, но объем расчетов при этом значительно меньше, чем при прямом переборки вариантов. Это связано с тем, что на этапе условной оптимизации неудачные варианты сразу отбрасываются, а сохраняются лишь условно оптимальные на данном этапе.

4. Метод динамического программирования дает возможность анализа чувствительности к изменению исходных данных состояний sk и их количества п. Фактически здесь на каждом шагу решается не одна задача, а множество однотипных задач для различных состояний sk и различных к (1 <к <п) . Поэтому с изменением исходных данных нельзя не решать задачу заново, а сделать только несложные добавление к уже выполненных расчетов, то есть продолжить уже решенную задачу за счет увеличения количества шагов п или количества значений sk.

Выводы

1. Появление нелинейных моделей связана с необходимостью учитывать и проявлять нелинейные закономерности, которые влияют на принятие оптимального решения. Такие закономерности включаются в ограничения задачи и целевую функцию.

2. По характеру функций и ограничений, которыми описываются задачи нелинейного программирования, их можно классифицировать следующим образом: классические задачи оптимизации; задачи с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями; задачи выпуклого, квадратичного, сепарабельного программирования.

3. В отличие от задач линейного программирования, для решения нелинейных задач не существует универсального метода. В каждом конкретном случае необходимо выбирать лучший метод.

4. Динамическое программирование - это математический аппарат, с помощью которого решаются многошаговые задачи оптимального управления. Во многостепенность понимают или многоступенчатую структуру процесса, или распределения управления на ряд последовательных этапов, соответствующих, как правило, различным моментам времени.

5. В задачи динамического программирования относятся задачи календарного планирования, распределения инвестиций, управление запасами, текущего и капитального ремонта, выбора методов проведения рекламы и тому подобное. Особенность всех задач динамического программирования заключается в том, что на каждом этапе можно учитывать предыдущие изменения и управлять ходом событий, оценивая при этом качество такого управления.

6. Решение задач динамического программирования базируется на принципе оптимальности Беллмана. В процессе оптимизации управления методом динамического программирования многошаговый процесс выполняется дважды. Первый раз - от конца к началу, в результате чего находят условно оптимальные управления. Второй - от начала до конца, в результате чего находят оптимальное управление процессом в целом.

) , выглядящим как набор перекрывающихся подзадач, сложность которых чуть меньше исходной. В этом случае время вычислений, по сравнению с «наивными» методами, можно значительно сократить.

Ключевая идея в динамическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико.

Метод динамического программирования сверху - это простое запоминание результатов решения тех подзадач, которые могут повторно встретиться в дальнейшем. Динамическое программирование снизу включает в себя переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Словосочетание «динамическое программирование» впервые было использовано в -х годах Р. Беллманом для описания процесса нахождения решения задачи, где ответ на одну задачу может быть получен только после решения задачи, «предшествующей» ей. В г. он уточнил это определение до современного. Первоначально эта область была основана, как системный анализ и инжиниринг, которая была признана IEEE . Вклад Беллмана в динамическое программирование был увековечен в названии уравнения Беллмана , центрального результата теории динамического программирования, который переформулирует оптимизационную задачу в рекурсивной форме.

  Слово «программирование» в словосочетании «динамическое программирование» в действительности к «традиционному» программированию (написанию кода) почти никакого отношения не имеет и имеет смысл как в словосочетании «математическое программирование », которое является синонимом слова «оптимизация». Поэтому слово «программа» в данном контексте скорее означает оптимальную последовательность действий для получения решения задачи. К примеру, определенное расписание событий на выставке иногда называют программой. Программа в данном случае понимается как допустимая последовательность событий.

  Идея динамического программирования

  Оптимальная подструктура в динамическом программировании означает, что оптимальное решение подзадач меньшего размера может быть использовано для решения исходной задачи. К примеру, кратчайший путь в графе из одной вершины (обозначим s) в другую (обозначим t) может быть найден так: сначала считаем кратчайший путь из всех вершин, смежных с s, до t, а затем, учитывая веса ребер, которыми s соединена со смежными вершинами, выбираем лучший путь до t (через какую вершину лучше всего пойти). В общем случае мы можем решить задачу, в которой присутствует оптимальная подструктура, проделывая следующие три шага.

  1. Разбиение задачи на подзадачи меньшего размера.
  2. Нахождение оптимального решения подзадач рекурсивно, проделывая такой же трехшаговый алгоритм .
  3. Использование полученного решения подзадач для конструирования решения исходной задачи.

  Подзадачи решаются делением их на подзадачи ещё меньшего размера и т. д., пока не приходят к тривиальному случаю задачи, решаемой за константное время (ответ можно сказать сразу). К примеру, если нам нужно найти n!, то тривиальной задачей будет 1! = 1 (или 0! = 1).

  Перекрывающиеся подзадачи в динамическом программировании означают подзадачи, которые используются для решения некоторого количества задач (не одной) большего размера (то есть мы несколько раз проделываем одно и то же). Ярким примером является вычисление последовательности Фибоначчи , F 3 = F 2 + F 1 {\displaystyle F_{3}=F_{2}+F_{1}} и F 4 = F 3 + F 2 {\displaystyle F_{4}=F_{3}+F_{2}} - даже в таком тривиальном случае вычисления всего двух чисел Фибоначчи мы уже посчитали дважды. Если продолжать дальше и посчитать , то F 2 {\displaystyle F_{2}} посчитается ещё два раза, так как для вычисления F 5 {\displaystyle F_{5}} будут нужны опять F 3 {\displaystyle F_{3}} и F 4 {\displaystyle F_{4}} . Получается следующее: простой рекурсивный подход будет расходовать время на вычисление решения для задач, которые он уже решал.

  Чтобы избежать такого хода событий мы будем сохранять решения подзадач, которые мы уже решали, и когда нам снова потребуется решение подзадачи, мы вместо того, чтобы вычислять его заново, просто достанем его из памяти. Этот подход называется мемоизацией . Можно проделывать и дальнейшие оптимизации - например, если мы точно уверены, что решение подзадачи нам больше не потребуется, можно выкинуть его из памяти, освободив её для других нужд, или если процессор простаивает и мы знаем, что решение некоторых, ещё не посчитанных подзадач, нам понадобится в дальнейшем, мы можем решить их заранее.

  Подводя итоги вышесказанного можно сказать, что динамическое программирование пользуется следующими свойствами задачи:

  • перекрывающиеся подзадачи;
  • оптимальная подструктура;
  • возможность запоминания решения часто встречающихся подзадач.

  Динамическое программирование обычно придерживается двух подходов к решению задач:

  • нисходящее динамическое программирование: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, они решаются и затем комбинируются для решения исходной задачи. Используется запоминание для решений часто встречающихся подзадач.
  • восходящее динамическое программирование: все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи просчитываются заранее и затем используются для построения решения исходной задачи. Этот способ лучше нисходящего программирования в смысле размера необходимого стека и количества вызова функций, но иногда бывает нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем.

  Языки программирования могут запоминать результат вызова функции с определенным набором аргументов (мемоизация), чтобы ускорить «вычисление по имени». В некоторых языках такая возможность встроена (например, Scheme , Common Lisp , Clojure , Perl), а в некоторых требует дополнительных расширений (C++).

  Известны сериальное динамическое программирование, включённое во все учебники по исследованию операций , и несериальное динамическое программирование (НСДП), которое в настоящее время слабо известно, хотя было открыто в 1960-х годах.

  Обычное динамическое программирование является частным случаем несериального динамического программирования, когда граф взаимосвязей переменных - просто путь. НСДП, являясь естественным и общим методом для учета структуры задачи оптимизации, рассматривает множество ограничений и/или целевую функцию как рекурсивно вычислимую функцию. Это позволяет находить решение поэтапно, на каждом из этапов используя информацию, полученную на предыдущих этапах, причём эффективность этого алгоритма прямо зависит от структуры графа взаимосвязей переменных. Если этот граф достаточно разрежен, то объём вычислений на каждом этапе может сохраняться в разумных пределах.

  Одним из основных свойств задач, решаемых с помощью динамического программирования, является аддитивность . Неаддитивные задачи решаются другими методами. Например, многие задачи по оптимизации инвестиций компании являются неаддитивными и решаются с помощью сравнения стоимости компании при проведении инвестиций и без них.

  Классические задачи динамического программирования

  • Задача о наибольшей общей подпоследовательности : даны две последовательности, требуется найти самую длинную общую подпоследовательность.
  • Задача поиска наибольшей увеличивающейся подпоследовательности : дана последовательность, требуется найти самую длинную возрастающую подпоследовательность.
  • Задача о редакционном расстоянии (расстояние Левенштейна) : даны две строки, требуется найти минимальное количество стираний, замен и добавлений символов, преобразующих одну строку в другую.
  • Задача о порядке перемножения матриц : даны матрицы A 1 {\displaystyle A_{1}} , …, A n {\displaystyle A_{n}} , требуется минимизировать количество скалярных операций для их перемножения.
  • Задача о выборе траектории
  • Задача последовательного принятия решения
  • Задача об использовании рабочей силы
  • Задача управления запасами

  Большинство методов исследования операций связано в первую очередь с задачами вполне определенного содержания. Классический аппарат математики оказался малопригодным для решения многих задач оптимизации, включающих большое число переменных и/или ограничений в виде неравенств. Несомненна привлекательность идеи разбиения задачи большой размерности на подзадачи меньшей размерности, включающие всего по несколько переменных, и последующего решения общей задачи по частям. Именно на этой идее основан метод динамического программирования.

  Динамическое программирование (ДП) представляет собой математический метод, заслуга создания и развития которого принадлежит, прежде всего Беллману. Метод можно использовать для решения весьма широкого круга задач, включая задачи распределения ресурсов, замены и управления запасами, задачи о загрузке. Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных(возвратных, периодических) вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого оптимального решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

  Происхождение названия динамическое программирование, вероятно, связано с использованием методов ДП в задачах принятия решений через фиксированные промежутки времени (например, в задачах управления запасами). Однако методы ДП успешно применяются также для решения задач, в которых фактор времени не учитывается. По этой причине более удачным представляется термин многоэтапное программирование, отражающий пошаговый характер процесса решения задачи.

  Фундаментальным принципом, положенным в основу теории ДП, является принцип оптимальности. По существу, он определяет порядок поэтапного решения допускающей декомпозицию задачи (это более приемлемый путь, чем непосредственное решение задачи в исходной постановке) с помощью рекуррентных вычислительных процедур.

  Динамическое программирование позволяет осуществлять оптимальное планирование управляемых процессов. Под «управляемыми» понимаются процессы, на ход которых мы можем в той или другой степени влиять.

  Предпосылки динамического программирования:

  • · Характеристика системы зависит только от данного состояния системы, а не от того каким путем система пришла в это состояние.
  • · Переход системы из одного состояния в другое длится определенное конечное число шагов.
  • · Каждый шаг (Выбор определенного решения) связан с определенным эффектом (под экономическим эффектом понимается значение целевой функции задачи). Эффект от принятого решения зависит от текущего состояния, в котором находится объект управления и принятого управленческого решения(воздействия).
  • · Общий эффект за несколько шагов складывается из эффектов на каждом шаге.

  Оптимальная подструктура в динамическом программировании означает, что оптимальное решение подзадач меньшего размера может быть использовано для решения исходной задачи. К примеру, кратчайший путь в графе из одной вершины (обозначим s) в другую (обозначим t) может быть найден так: сначала считаем кратчайший путь из всех вершин, смежных с s, до t, а затем, учитывая веса ребер, которыми s соединена со смежными вершинами, выбираем лучший путь до t (через какую вершину лучше всего пойти). В общем случае мы можем решить задачу, в которой присутствует оптимальная подструктура, проделывая следующие три шага.

  Разбиение задачи на подзадачи меньшего размера.

  Нахождение оптимального решения подзадач рекурсивно, проделывая такой же трехшаговый алгоритм.

  Использование полученного решения подзадач для конструирования решения исходной задачи.

  Подзадачи решаются делением их на подзадачи ещё меньшего размера и т. д., пока не приходят к тривиальному случаю задачи, решаемой за константное время (ответ можно сказать сразу). К примеру, если нам нужно найти n!, то тривиальной задачей будет 1! = 1 (или 0! = 1).

  Перекрывающиеся подзадачи в динамическом программировании означают подзадачи, которые используются для решения некоторого количества задач (не одной) большего размера (то есть мы несколько раз проделываем одно и то же). Ярким примером является вычисление последовательности Фибоначчи, $F\_3\; =\; F\_2\; +\; F\_1$ и $F\_4\; =\; F\_3\; +\; F\_2$ -- даже в таком тривиальном случае вычисления всего двух чисел Фибоначчи мы уже посчитали $F\_2$ дважды. Если продолжать дальше и посчитать $F\_5$, то $F\_2$ посчитается ещё два раза, так как для вычисления $F\_5$ будут нужны опять $F\_3$ и $F\_4$. Получается следующее: простой рекурсивный подход будет расходовать время на вычисление решения для задач, которые он уже решал.

  Чтобы избежать такого хода событий мы будем сохранять решения подзадач, которые мы уже решали, и когда нам снова потребуется решение подзадачи, мы вместо того, чтобы вычислять его заново, просто достанем его из памяти. Этот подход называется кэширование. Можно проделывать и дальнейшие оптимизации -- например, если мы точно уверены, что решение подзадачи нам больше не потребуется, можно выкинуть его из памяти, освободив её для других нужд, или если процессор простаивает и мы знаем, что решение некоторых, ещё не посчитанных подзадач, нам понадобится в дальнейшем, мы можем решить их заранее.

  Подводя итоги вышесказанного можно сказать, что динамическое программирование пользуется следующими свойствами задачи:

  • · перекрывающиеся подзадачи;
  • · оптимальная подструктура;
  • · возможность запоминания решения часто встречающихся подзадач.

  Динамическое программирование обычно придерживается двух подходов к решению задач:

  • · Нисходящее динамическое программирование: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, они решаются и затем комбинируются для решения исходной задачи. Используется запоминание для решений часто встречающихся подзадач.
  • · Восходящее динамическое программирование: все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи просчитываются заранее и затем используются для построения решения исходной задачи. Этот способ лучше нисходящего программирования в смысле размера необходимого стека и количества вызова функций, но иногда бывает нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем.

  Языки программирования могут запоминать результат вызова функции с определенным набором аргументов (мемоизация), чтобы ускорить «вычисление по имени». В некоторых языках такая возможность встроена (например, Scheme, Common Lisp, Perl), а в некоторых требует дополнительных расширений (C++).

  Известны сериальное динамическое программирование, включённое во все учебники по исследованию операций, и несериальное динамическое программирование (НСДП), которое в настоящее время слабо известно, хотя было открыто в 1960-х годах.

  Обычное динамическое программирование является частным случаем несериального динамического программирования, когда граф взаимосвязей переменных -- просто путь. НСДП, являясь естественным и общим методом для учета структуры задачи оптимизации, рассматривает множество ограничений и/или целевую функцию как рекурсивно вычислимую функцию. Это позволяет находить решение поэтапно, на каждом из этапов используя информацию, полученную на предыдущих этапах, причём эффективность этого алгоритма прямо зависит от структуры графа взаимосвязей переменных. Если этот граф достаточно разрежен, то объём вычислений на каждом этапе может сохраняться в разумных пределах.

  Одним из основных свойств задач, решаемых с помощью динамического программирования, является аддитивность. Неаддитивные задачи решаются другими методами. Например, многие задачи по оптимизации инвестиций компании являются неаддитивными и решаются с помощью сравнения стоимости компании при проведении инвестиций и без них.

  
  
  
  Поделись статьей:
  Похожие статьи

  
  17 апреля 2015
  Лучшие смартфоны Fly Аппаратная платформа: процессор, память, быстродействие
  
  17 апреля 2015
  Соляная лампа «Каменный цветок
  
  17 апреля 2015
  Продуктивные способы потратить время в интернете
  
  17 апреля 2015
  Как установить приложение плей маркет на ноутбук