Справочные данные по тригонометрическим функциям синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение синуса и косинуса

|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Определение
Синус (sin α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

;
;
.

График функции синус, y = sin x

График функции косинус, y = cos x

Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .

Четность

Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).

	y = sin x	y = cos x
Область определения и непрерывность	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значений	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = -1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

;
;

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

;
;
;
.

Выражение косинуса через синус

;
;
;
.

Выражение через тангенс

; .

При , имеем:
; .

При :
; .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные

;

Формула Эйлера

{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате .

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:

Гипотенуза - сторона, которая всегда лежит напротив прямого угла (угла в 90 градусов). Гипотенуза - это самая длинная сторона треугольника с прямым углом.

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами .

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

Теперь переходим к косинусу и синусу угла альфа (∠α) (так можно назвать любой непрямой угол в треугольнике или использовать в качестве обозначение икс - «x» , что не меняет сути).

Синус угла альфа (sin ∠α) - это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC

Косинус угла альфа (cos ∠α) - отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Если снова смотреть по рисунку выше, то cos ∠ABC = AB / BC

И просто для напоминания: косинус и синус никогда не будут больше единицы, так как любой катит короче гипотенузы (а гипотенуза - это самая длинная сторона любого треугольника, ведь самая длинная сторона расположена напротив самого большого угла в треугольнике).

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Теперь переходим к основным тригонометрическим формулам: вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:

sin 2 α = 1 - cos 2 α

синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Эти две более сложные формулы синуса в квадрате и косинуса в квадрате называют еще «понижение степени для квадратов тригонометрических функций». Т.е. была вторая степень, понизили до первой и вычисления стали удобнее.

Build Battle - Minecraft mini-game

На проекте появился новый сервер Build Battle - мини игра для Майкрафт. Игрокам предстоит забыть про использование оружия и предметов. В мини игре Build Battle необходимо проявлять фантазию и воображение!

Правила

Цель мини игры - построить дом на заранее заданную тему за ограниченный промежуток времени (за 5 минут). По окончании строительства поводится голосование. Победителем становится игрок, построивший самый красивый дом.

Режимы мини-игры

• Постройка на определённую тему . Игрокам даётся персонаж, объект, вещь или событие, которое необходимо воссоздать на отдельной арене в течение пяти минут. Затем участники оценивают постройки. Побеждает автор самой красивой работы по соответствующей тематике. Иногда соревнования Build Battle проходят в команде из двух человек и с большем количеством времени.
• Быстрые строители . Восемь участников появляются на небольших островках и пять секунд любуются небольшой постройкой. Теперь у игроков есть ровно минута, чтобы воссоздать постройку в Майнкрафт. Воссоздавший постройку быстрее всех объявляется победителем. Часто для победы достаточно поставить большее количество блоков в правильном порядке.
• Загадай и построй . Каждый участник предлагает постройку и загадывает её одному из игроков. Остаётся построить заданный предмет и провести голосование. Побеждает автор самой креативной постройки, которую угадало большее количество игроков.

Заходите на сервера Майнкрафт c Build Battle и докажите, что способны на невероятные творения, и одержите победу!

Сейчас Майнкрафт продолжает завоевывать широкую аудиторию. Довольно странная, и в то же время интересная тенденция - как пиксельная игра смогла завоевать сердца детей и взрослых во времена продвинутой игровой графики? Тем не менее, игроков Майнкрафта нужно чем-то развлекать - обычного строительства, добычи ресурсов и незамысловатого ПВП-режима просто не хватает. Все чаще создатели игры и просто фанаты создают новые и новые внутриигровые соревнования, конкурсы и ивенты - одним из таких соревнований стала строительная битва - Build Battle.

Здесь все очень просто. Сначала вы подключаетесь к существующей игровой комнате и ждете, пока подключатся остальные игроки. Затем все переносятся в специально отведенную локацию (у каждого она своя). Игрокам дается одинаковая задача: за фиксированный промежуток времени построить здание на указанную тематику. Самое интересное в том, что тематика бывает как простая, так и сложная. Любой справится с постройкой дома или гигантского телевизора, но как построить торнадо? Солнце? Каждому участнику дается безграничное количество всех ресурсов, а также возможность свободного перемещения по локации (игрок может летать).

По истечению времени соперники посещают локации своих конкурентов, где могут оценить их вариант решения задачи, креативность или неординарный подход. Каждому сопернику можно поставить оценку - именно на их основе будет определен победитель. Сервера Майнкрафт с Build Battle принесли в привычную для нас игру что-то новое - безумный азарт, потребность строить очень быстро, а самое главное - в короткие сроки решать неординарные задачи.

Необходимо как можно лучше подготовиться к игровому процессу. Если Build Battle Craft скачать на андроид игроку предстоит стать участником самого крутого строительства. Весь игровой процесс будет проходить в многопользовательском режиме. Вместе с игроком в одном мире будет находиться до четырнадцати участников. Все они используют определенный материал для стройки. На уровень дается ровно 8 минут. За это время нужно будет построить шикарное здание или целый комплекс. Потом начнется соревнование по истечению времени. После проведения голосования одному из участников присудят победу, за которую получаешь награду.

Почему стоит скачать Build Battle Craft на андроид?

Играть в многопользовательском режиме вместе с другими игроками это всегда весело и интересно и это главная причина попробовать эту игру. Вы должны скачать Build Battle Craft на андроид и стать лучшим из строителей в мире. Главное следите за отведенным временем и постарайтесь сделать за 8 минут шедевр. Сражайтесь с другими игроками и испытайте все прелести игры о крафтинге. В процессе прохождения соревнований получайте награды, за которые можно будет улучшить свои навыки как строителя и открыть совершенно новые блоки. Они действительно помогут вам создавать великолепные здания. С такими возможностями будет намного проще выиграть соревнование. Используйте каждый из своих блоков правильно. Если тратить их в пустую можно проиграть раунд вовсе. Всем игрокам будет знакома эта графика в стиле Майнкрафта с блоками. Приглашайте друзей и посоревнуйтесь против них, чтобы раз и навсегда выяснить, кто называется лучшим. Просматривайте шедевры других игроков и ставьте им оценки. Для улучшения света можно пользоваться лампами, потому что строить придется даже ночью. Сделайте великолепную пирамиду, которой будут восхищаться другие игроки.