По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменениям тока в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от I индуктивностью L и сопротивлением R включен источник тока э. д. с. е (рис. 10). В цепи будет течь постоянный ток

(сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени t=0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П . Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникнет э.д.с. самоиндукции, противодействующая этому убыванию.

Рисунок 8.1 - Электрическая цепь, которую размыкают

Сила тока в цепи будет удовлетворять уравнению

Уравнение (8.2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Разделив переменные, получим

(имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде ln const). Потенцирование этого соотношения дает

Выражение (8.3) является общим решением уравнения (8.2). Значение const найдем из начальных условий. При t=0 сила тока имела значение (8.1). Следовательно, const=I 0 . Подставив это значение в (8.3), придем к выражению

Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону (8.4). График убывания I дан на рис. 8.2 (кривая 1). Скорость убывания определяется имею щей размерность времени величиной которую называют постоянной времен и цепи. Заменив в (8.4) R/L через 1/ф, получим

Рисунок 8.2 - Зависимость убывания тока при замыкании - размыкании цепи.

В соответствии с этой формулой ф есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Из (8.5) видно, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R, тем больше постоянная времени ф и тем медленнее спадает ток в цепи.

Для упрощения расчетов мы считали, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если просто разорвать цепь с большой индуктивностью, возникающее высокое индуцированное напряжение создает искру или дугу в месте разрыва.

Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения источника э. д. с., до тех пор, пока сила тока не достигнет установившегося значения (8.1), в цепи кроме э. д. с. е будет действовать э. д. с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома.

Мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению, которое отличается от уравнения (8.2) лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина е/L. Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид (8.3). Легко убедиться в том, что I=е/R= I 0 является частным решением уравнения (8.8).

Следовательно, общим решением уравнения (8.8) будет функция

Эта функция описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э. д. с. График функции (8.9) дан на рис. 8.2 (кривая 2).

Токи при размыкании и замыкании цепи

Экстратоки размыкания

Токи при размыкании и замыкании цепи

Экстратоками самоиндукции

При любом изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, после чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, по правилу Ленца, всегда имеют такое направление, чтобы оказывать сопротивление изменениям тока в цепи, т. е. имеет направление, противоположное току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки так же направлены, как и ослабевающий ток. Значит, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Исследуем процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ , катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

(пренебрегаем внутренним сопротивлением источника тока).

В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет убывать, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающей препятствие, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи задается законом Ома I= ξs/R, или

Разделив в формуле (1) переменные, получим (dI/I) = -(R/L)dt . Интегрируя эту формулу по I (от I0 до I) и t (от 0 до t), найдем ln (I/I0) = –Rt/L, или

Где τ = L/R - постоянная, которая называется временем релаксации. Из (2) видно, что τ есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Значит, в процессе отключения источника тока сила тока уменьшается по экспоненциальному закону (2) и задается кривой 1 на рис. 1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше τ и, значит, тем медленнее убывает ток в цепи при ее размыкании.

Рис.1

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. ξ возникает э. д. с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающая препятствие, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = ξ+ξs или

Зададим переменную u = (IR - ξ) преобразуем эту формулу как

где τ - время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I = 0 и u = –ξ . Значит, интегрируя по u и (от –ξ до IR–ξ) и t (от 0 до t), найдем ln[(IR–ξ)]/(–ξ) = -t/τ, или

Где I0=ξ/R - установившийся ток (при t→∞).

Значит, в процессе включения источника тока увеличение силы тока в цепи определяется функцией (3) и кривой 2 на рис. 1. Сила тока увеличивается от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I0=ξ/R . При этом, скорость нарастания тока задается тем же временем релаксации τ = L/R, что и убывание тока. Установление тока осуществляется тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и чем больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξs , которая возникает при мгновенном нарастании сопротивления цепи постоянного тока от R0 до R. Допустим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I0=ξ/R . При размыкании цепи ток будет менеться по формуле (2). Подставив в нее формулу для I0 и τ, найдем

Э.д.с. самоиндукции

Т. е. при значительном возрастании сопротивления цепи (R/R0>>1), которая обладает большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз быть больше э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Значит, необходимо учитывать, что контур, который содержит индуктивность, нельзя резко размыкать, так как при этом (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и поломке измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции больших значений не достигнет.

По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменениям тока в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от индуктивностью L и сопротивлением R включен источник тока э.д.с. (рис. 65.1).

В цепи будет течь постоянный ток

(сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П. Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникнет э. д. с. самоиндукции, противодействующая этому убыванию. Сила тока в цепи будет удовлетворять уравнению

Уравнение (65.2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Разделив переменные, получим

(имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде ). Потенцирование этого соотношения дает

(65.3)

Выражение (65.3) является общим решением уравнения (65.2). Значение найдем из начальных условий. При сила тока имела значение (65.1). Следовательно,

Подставив это значение в (65.3), придем к выражению

Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону (65.4). График убывания дан на рис. 65.2 (кривая ).

Скорость убывания определяется имеющей размерность времени величиной

которую называют постоянной времени цепи. Заменив в (65.4) через получим

В соответствии с этой формулой есть время, в течение которого сила тока уменьшается в раз. Из (65.5) видно, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R, тем больше постоянная времени и тем медленнее спадает ток в цепи.

Для упрощения расчетов мы считали, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если просто разорвать цепь с большой индуктивностью, возникающее высокое индуцированное напряжение создает искру или дугу в месте разрыва.

Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения источника э. д. с., до тех пор пока сила тока не достигнет установившегося значения (65.1), в цепи кроме э. д. с. будет действовать э. д. с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома

Мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению, которое отличается от уравнения (65.2) лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения (см. § 52 1-го тома). Общее решение однородного уравнения имеет вид (65.3). Легко убедиться в том, что является частным решением уравнения (65.7).

Следовательно, общим решением уравнения (65.7) будет функция

В начальный момент сила тока I равна нулю. Отсюда Таким образом,

Эта функция описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э. д. с. График функции (65.8) дан на рис. 65.2 (кривая 2).

По правилу Ленца, дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменению тока в цепи.

Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь, индуктивностью L и сопротивлением R включить источник тока и переключить и переключатель находится в положении 2. Тогда в цепи будет течь ток .

В момент времени t=0 отключают источник тока(переключают в положение 1). Как только сила тока начнет убывать, возникающая ε i , противодействующая этому убыванию .По второму правилу Кирхгофа: . – мы получили однородное ДУ-1. Разделяя переменные получим: , , c – const можно найти из начальных условий. При t=0 → . , → .

Частное решение: , ,

Рассмотрим случай замыкания цепи из 1 в 2. После подключения источника тока до тех пор, пока сила тока не достигнет установленного значения: в цепи кроме ε возникает также , , . Мы получили неоднородное ДУ-1. Решением неоднородного уравнения является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения соответствующего неоднородного уравнения: . Легко видеть, что частным решением является , константу находим из начальных условий при t=0, I=0. , , .

31.Энергия магнитного поля. Плотность энергии.

Проводник по которому протекает электрический ток всегда определяет магнитное поле

Причём магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением электрического тока. Следовательно часть энергии тока идёт на создание магнитного поля, который подобно электричеству является носителем энергии. Энергия магнитного поля равна работе,который затрачивается током не создающим магнитного поля

Рассмотрим контур с током индуктивность которого L,с данным контуром сцепляется магнитный поток

Причём при изменении тока на dI приводит к изменению магнитного потока

Для изменения магнитного потока на величину dФ необходимо совершить работу

Тогда работа будет равна

Выразим энергию магнитного поля через характеристику магнитного поля

; ; ; ;

Энергия сосредоточенная в единице объёма (объёмная плотность энергии магнитного поля)

;

Гармонические колебания и их характеристики. Дифференц. уравнение гармонических колебаний

При разнообразных видах движения наблюдающихся в природе наблюдаются такие, которые повторяются через определенный промежуток времени они называются периодическими, а промежуток времени через который повторяются называются периодом.

Колебательное движение относится к периодическим. Физическая природа колебаний может быть различна, по этому различают колебания механические, электромагнитные и т.д. Однако, различные колебательные процессы описывают одинаковые характеристики и одинаковые уравнения. Отсюда след. целесообразие единого подхода к изучению колебаний различных физических природы.

Колебания бывают: свободные (колебания, которые происходят в отсутствии переменных внешних воздействий и возникающих вследствие начала уравнений этой системы в равновесии), вынужденные (колебания возникшие в какой-либо системе под влиянием переменных внешних воздействий), алкоколебание (Колебания возникают в источнике за счет источника введенного в эту систему)

Простейшим типом явл. гармонические колебания-колебания при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону cos,sin :

S -колебательная величина, А-амплитуда колеб., -фаза колеб.в момент времени t ,

α o =0 -начальная фаза колебаний,w o -циклическая(угловая)частота.

;

За время равному периоду фаза получает приращение 2π , поэтому можно записать:

l

Иногда гармонические колебания изобр. графическим методом вращением вектора амплитуды или методом вектора диаграмм.

Т.е. гармонические колебания – проекция на некоторой произвольно выбранную ось амплитуды А отлож. от произвольной точки под углом α o и вращающ. с угловой скоростью w 0 вокруг этой точки.

Токи при размыкании и замыкании цепи

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, все гда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. x, резистор сопротивлением Rи катушку индуктивностью L. Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I = x S /R, или

(127.1)

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим . Интегрируя это уравнение по I (от I 0 до I) и t(от 0 до f), находим In (I/I 0) = -Rt/L, или

(127.2)

где t = L/R- постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше t и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. x возникает э. д. с. самоиндукции препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = x + x S или

Введя новую переменную u = IR - x , преобразуем это уравнение к виду

где t - время релаксации.

В момент замыкания (t = 0)сила тока I = 0 и u = -ℰ . Следовательно, интегрируя по u(от - ℰ до IR - ℰ) и t(от 0 до t), находим In [(IR - ℰ)]/ -ℰ = -t/t, или

(127.3)

где I 0 = ℰ/R - установившийся ток (при t ® ¥).

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0 = ℰ / R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t = L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции ℰ S , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 до R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I 0 = ℰ/R 0 . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (1272). Подставив в нее выражение для I 0 и т, получим