В данной статье я расскажу основы компьютерной техники - это двоичная система. Это самый низкий уровень, это числа по которым работает компьютер. И вы узнаете как переводить из одной системы
Таблица 1 - Представление чисел в различных системах
исчисление (начало)
Системы счисления |
||||
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
двоично-десятичная |
Для того чтобы перевести из десятичной в двоичную, можно использовать два варианта.
1) К примеру число 37 нужно перевести из десятичной системы в двоичную, то нужно его делить на два, а затем проверять остаток от деления. Если остаток нечетный, то в низу мы подписывает единицу и следующий цикл деления идет через четное число, если останок от деления четный, то пишим ноль. На конце обязательно должна получиться 1. А теперь полученный результат мы преобразуем в двоичный, причем число идет справа на лево.
Пошагово: 37 - это число нечетное, значит 1 , затем 36/2 = 18. Число четное, значит 0 . 18/2 = 9 число нечетное, значит 1 , затем 8/2 = 4. Число четное, зачит 0 . 4/2 = 2, число четное значит 0 , 2/2 = 1 .
Итак, мы получили число. Не забудьте счет идет справа налево: 100101 - вот мы получили число в двоичной системе. А вообще это записывается в виде деления в столбик, как вы видите ниже на рисунке:
2) Но есть второй способ. Он мне больше нравиться. Перевод из одной системы в другую идет в следующем виде:
где ai - i-я цифра числа;
k - количество цифр в дробной части числа;
m - количество цифр в целой части числа;
N - основание системы исчисления.
Основание системы счисления N показывает, во сколько раз "вес" i-го разряда больше "веса" (i-1) разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).
Целая часть числа AN1, с основой N1, переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного деления целой части числа AN1 на записанную в виде числа с основанием N1 основу N2, до получения остатка.Полученная доля снова делится на основание N2, и этот процесс необходимо повторять, пока частица не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления и последняя часть записываются в порядке, обратном полученном при делении. Сформированное число и будет целым числом с основанием N2.
Дробная часть числа AN1, с основой N1, переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного умножения дробной части числа AN1 на основание N2, записанную в виде числа с основанием N1. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а дробная часть оставшейся принимается за новую умножений. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющий дробную часть числа AN1 в системе счисления N2. Дробная часть числа при переводе часто представляется неточно.
Давайте это сделаем на примере:
37 в десятичной нужно перевести в двоичную. Давайте поработаем со степенями:
2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024 и так далее... до бесконечности
Значит: 37 - 32 = 5. 5 - 4 = 1. Ответ следующий в двоичной системе: 100101.
Давайте переведем число 658 из десятичной в двоичную:
658-512=146
146-128=18
18-16=2. В двоичной системе число будет иметь вид: 1010010010.
Если вам надо перевести с десятичной в восьмеричную, необходимо сначала перевести в двоичную, а затем с двоичной перевести в восьмеричную. То есть так проще, хотя можно и сразу перевести. По алгоритму подобному как в переводе в двоичную, см. выше.
Если вам надо перевести с десятичной в шестнадцатеричную, необходимо сначала перевести в двоичную, а затем с двоичной перевести в шестнадцатеричную. То есть так проще, хотя можно и сразу перевести. По алгоритму подобному как в переводе в двоичную, см. выше.
Чтобы перевести число из двоичной в восьмиричную систему нужно двоичное разбить по три числа.
К примеру полученное число 1010010010 разбивает по три числа, причем разбивка идет справа налево: 1 010 010 010 = 1222. Смотрите таблицу в самом начале.
Чтобы перевести число из двоичной в шестнадцатеричное, надо разбить на тетрады (по четыре)
10 1001 0010 = 292
Привожу несколько примеров, для того, чтобы вы просмотрели:
Перевод осуществляется из двоичной в восьмиричную, затем в шестнадцатеричную, а затем из двоичной десятичную
(2) = 11101110
(8) = 11 101 110 = 276
(16) = 1110 1110 = EE
(10) = 1*128+ 1*64+ 1*32+ 0 +1*8 + 1*4 + 1*2+ 0= 238
3) (8) = 657
Перевод осуществляется из шестнадцатеричной в двоичную, затем в восьмиричную, а затем из двоичной десятичную
(16) = 6E8
(2) = 110 1110 1000
(8) = 11 011 101 000 = 2250
(10) = 1*1024+1*512+ 0 +1*128+ 1*64+ 1*32+ 8 = 1768
Назначение сервиса
. Сервис предназначен для перевода чисел из одной системы счисления в другую в онлайн режиме. Для этого выберите основание системы, из которой необходимо перевести число. Вводить можно как целые, так и числа с запятой.
Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой. Вместе с этим калькулятором также используют следующие: Способы представления чиселДвоичные (binary) числа – каждая цифра означает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, после числа ставится буква «b». Для удобства восприятия тетрады могут быть разделены пробелами. Например, 1010 0101b.Шестнадцатеричные (hexadecimal) числа – каждая тетрада представляется одним символом 0...9, А, В, ..., F. Обозначаться такое представление может по-разному, здесь используется только символ «h» после последней шестнадцатеричной цифры. Например, A5h. В текстах программ это же число может обозначаться и как 0хА5, и как 0A5h, в зависимости от синтаксиса языка программирования. Незначащий ноль (0) добавляется слева от старшей шестнадцатеричной цифры, изображаемой буквой, чтобы различать числа и символические имена. Десятичные (decimal) числа – каждый байт (слово, двойное слово) представляется обычным числом, а признак десятичного представления (букву «d») обычно опускают. Байт из предыдущих примеров имеет десятичное значение 165. В отличие от двоичной и шестнадцатеричной формы записи, по десятичной трудно в уме определить значение каждого бита, что иногда приходится делать. Восьмеричные (octal) числа – каждая тройка бит (разделение начинается с младшего) записывается в виде цифры 0–7, в конце ставится признак «о». То же самое число будет записано как 245о. Восьмеричная система неудобна тем, что байт невозможно разделить поровну. Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другуюПеревод целых десятичных чисел в любую другую системы счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в остатке не останется число меньшее основания новой системы счисления. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.Перевод правильной десятичной дроби в другую ПСС осуществляется умножением только дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор пока в дробной части не останутся все нули или пока не будет достигнута заданная точность перевода. В результате выполнения каждой операции умножения формируется одна цифра нового числа начиная со старшего. Перевод неправильной дроби осуществляется по 1 и 2 правилу. Целую и дробную часть записывают вместе, отделяя запятой. Пример №1
.
Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой. Пример №2
. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются. Пример №4
.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС
Таблица соответствия систем счисления:
Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления Сдающим ЕГЭ и не только… Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке. Например, нужно перевести число 810 10 в двоичную систему: Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102 Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить? В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7. Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией. Таблица степеней числа 2:
Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните. Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:
Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям. Перевод целых чисел Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810 10 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.
Способ 1 : Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810 10 = 1100101010 2 . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля. Способ 2 : Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего. 810 = Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?». Ответ - столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5. Теперь пример попроще. Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 - это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2. Получаем 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 . Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда. Переведем в двоичную систему число 547 8 .
Ещё одно, например 7D6A 16 .
Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 . Переведем в 8-ричную систему число C25 16 . Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 . Перевод отрицательных чисел Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать - в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный. Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1. Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт. Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001 . Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ - 4. Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000. Перевод дробных чисел Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются. Переведем число 0,6752 в двоичную систему.
Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке. Получается 0,6752 = 0,101011 . Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011 . Инструкция Видео по теме
В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы , в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую. Вам понадобится
Инструкция Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа , начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее. Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86. Обратная задача - десятичного числа
систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу. Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числа м от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x. Чтобы число из шестнадцатеричной системы , нужно каждую его цифру умножить на соответствующую степень шестнадцати и сложить результаты. Например, число #11A в десятичной записи равняется 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282. Обратный перевод из десятичной системы
в шестнадцатеричную совершается тем же методом остатков, что и в двоичную. Например, возьмите число 10000. Последовательно деля его на 16 и записывая остатки, вы получите: Переводить числа
из шестнадцатеричной системы
в двоичную гораздо проще. Число 16 является двойки: 16 = 2^4. Поэтому каждую шестнадцатеричную цифру можно записать как четырехзначное двоичное число. Если у вас в двоичном числе получается меньше четырех знаков, добавляйте в начало нули. Для перевода вам нужно разбить двоичное число на группы по четыре цифры, начиная с конца, и каждую такую группу заменить шестнадцатеричной цифрой. Совет 5: Как перевести число в двоичную систему исчисленияБлагодаря ограниченности в использовании символов двоичная система является наиболее удобной для использования в компьютерах и других цифровых устройствах. Символов всего два: 1 и 0, поэтому эту систему применяют в работе регистров. Инструкция Двоичная является позиционной, т.е. позиции каждой цифры в числе соответствует определенный разряд, который равен двум в соответствующей степени. Степень начинается с нуля и увеличивается по мере движения справа налево. Например, число 101 равно 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5. Широким распространением среди позиционных систем пользуются также восьмеричная, шестнадцатеричная и десятичная системы . И если для первых двух более применим второй метод, то для перевода из применимы оба. Рассмотрим десятичного числа в двоичную систему методом последовательного деления на 2.Чтобы перевести десятичное число 25 в Замечание 1 Если вы хотите перевести число из одной системы счисления в другую, то удобнее для начала перевести его в десятичную систему счисления, и уже только потом из десятичной перевести в любую другую систему счисления. Правила перевода чисел из любой системы счисления в десятичнуюВ вычислительной технике, использующей машинную арифметику, большую роль играет преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Ниже приведем основные правила таких преобразований (переводов). При переводе двоичного числа в десятичное требуется представить двоичное число в виде многочлена , каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $2$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики: $X_2=A_n \cdot 2^{n-1} + A_{n-1} \cdot 2^{n-2} + A_{n-2} \cdot 2^{n-3} + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$ Рисунок 1. Таблица 1 Пример 1 Число $11110101_2$ перевести в десятичную систему счисления. Решение. Используя приведенную таблицу $1$ степеней основания $2$, представим число в виде многочлена: $11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_{10}$ Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в десятичную требуется представить его в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $8$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики: $X_8 = A_n \cdot 8^{n-1} + A_{n-1} \cdot 8^{n-2} + A_{n-2} \cdot 8^{n-3} + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$ Рисунок 2. Таблица 2 Пример 2 Число $75013_8$ перевести в десятичную систему счисления. Решение. Используя приведенную таблицу $2$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена: $75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_{10}$ Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную необходимо его представить в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $16$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики: $X_{16} = A_n \cdot 16^{n-1} + A_{n-1} \cdot 16^{n-2} + A_{n-2} \cdot 16^{n-3} + ... + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$ Рисунок 3. Таблица 3 Пример 3 Число $FFA2_{16}$ перевести в десятичную систему счисления. Решение. Используя приведенную таблицу $3$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена: $FFA2_{16} = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_{10}$ Правила перевода чисел из десятичной системы счисления в другую
Пример 4 Число $22_{10}$ перевести в двоичную систему счисления. Решение: Рисунок 4. $22_{10} = 10110_2$
Пример 5 Число $571_{10}$ перевести в восьмеричную систему счисления. Решение: Рисунок 5. $571_{10} = 1073_8$
Пример 6 Число $7467_{10}$ перевести в шестнадцатеричную систему счисления. Решение: Рисунок 6. $7467_{10} = 1D2B_{16}$ Для того чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в недесятичную, необходимо дробную часть преобразуемого числа последовательно умножить на основание той системы, в которую ее требуется перевести. Дробь в новой системе будет представлена в виде целых частей произведений, начиная с первого. Например: $0,3125_{(10)}$ в восьмеричной системе счисления будет выглядеть как $0,24_{(8)}$. В данном случае можно столкнуться с проблемой, когда конечной десятичной дроби может соответствовать бесконечная (периодическая) дробь в недесятичной системе счисления. В данном случае количество знаков в дроби, представленной в новой системе, будет зависеть от требуемой точности. Также нужно отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления. Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в другую
Рисунок 7. Таблица 4 Пример 7 Число $1001011_2$ перевести в восьмеричную систему счисления. Решение . Используя таблицу 4, переведем число из двоичной системы счисления в восьмеричную: $001 001 011_2 = 113_8$
|