Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)
.
Существует три способа решения этого уравнения:
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.
В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.
Рассмотрим уравнение:
(1)
Ищем решение однородного уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные - умножаем на dx
,
делим на y
:
Интегрируем:
Интеграл по y
- табличный :
Тогда
Потенцируем:
Заменим постоянную e C
на C
и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1
,
которую включим в C
:
Теперь заменим постоянную C
на функцию от x
:
C → u(x)
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1)
в виде:
(2)
Находим производную.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:
.
Подставляем в исходное уравнение (1)
:
(1)
;
.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2)
:
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Решаем однородное уравнение:
Разделяем переменные:
Умножим на :
Интегрируем:
Интегралы табличные :
Потенцируем:
Заменим постоянную e C
на C
и убираем знаки модуля:
Отсюда:
Заменим постоянную C
на функцию от x
:
C → u(x)
Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.
ЛАГРАНЖА МЕТОД
Метод приведения квадратичной формы к сумме квадратов, указанный в 1759 Ж. Лагранжем (J. Lagrange). Пусть дана
от ппеременных х 0 , x
1 ,..., х п
.
с коэффициентами из поля k
характеристики Требуется привести эту форму к канонич. виду
при помощи невырожденного линейного преобразования переменных. Л. м. состоит в следующем. Можно считать, что не все коэффициенты формы (1) равны нулю.
Поэтому возможны два случая.
1) При некотором g,
диагональный Тогда
где форма f 1 (х).не содержит переменную x g .
2) Если же все но
то
где форма f 2 (х).не содержит двух переменных x g
и x h .
Формы, стоящие под знаками квадратов в (4), линейно независимы. Применением преобразований вида (3) и (4) форма (1) после конечного числа шагов приводится к сумме квадратов линейно независимых линейных форм. С помощью частных производных формулы (3) и (4) можно записать в виде
Лит.
: Г а н т м а х е р Ф. Р.,
Теория матриц, 2 изд., М., 1966; К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968. И. В. Проскуряков.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Лагранжа метод - Лагранжа метод — метод решения ряда классов задач математического программирования с помощью нахождения седловой точки (x*, λ*) функции Лагранжа., что достигается приравниванием нулю частных производных этой функции по… … Экономико-математический словарь
Лагранжа метод
- Метод решения ряда классов задач математического программирования с помощью нахождения седловой точки (x*, ?*) функции Лагранжа., что достигается приравниванием нулю частных производных этой функции по xi и?i . См. Лагранжиан. }