Применяется для решения задач с аналитическим выражением для критерия оптимальности и при наличии ограничений на независимые переменные типа равенств. Для получения аналитического решения требуется, чтобы ограничения имели аналитический вид. Применение неопределенных множителей Лагранжа позволяет свести задачу оптимизации с ограничениями к задаче, решаемой методами исследования функций классического анализа. В этом случае порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремума критерия оптимизации, повышается на число ограничений. Применение метода эффективно при количестве переменных три и менее. Метод используется и при количестве переменных более трех, если процесс описывается конечными уравнениями.

Пусть требуется найти экстремум функции, которая зависит от n переменных, связанных в свою очередь отношениями. Достигаемый функцией экстремум с учетом выполнения условий называется относительным, или условным. Если же число переменных равно числу соотношений (), то искомые неизвестные находятся решением системы уравнений, описываемых соотношениями. Решение задачи оптимизации сводится к проверке найденным таким способом значений переменных на функции. Таким образом, экстремальную задачу можно решить простым перебором переменных, удовлетворяющих условиям.

Если m < n , то можно из уравнений связи найти зависимость m переменных от n - m остальных переменных, т.е.

Функцию можно получить подстановкой полученных переменных в функцию. Тогда будет зависеть только от переменных, не связанных дополнительными условиями. Следовательно, снимая ограничения удается и уменьшить размерность исходной задачи оптимизации. Часто аналитически таким способом задачу решить не удается. Поэтому для решения задач отыскания экстремума функции многих переменных обычно используется метод неопределенных множителей Лагранжа.

При введении новых переменных, носящих название неопределенных множителей Лагранжа появляется возможность ввести новую функцию

т.е. функцию m + n переменных, в которую ограничения, накладываемые системой функций входят как составная часть.

Экстремальное значение функции совпадает с экстремальным значением функции, если выполняется условие по ограничениям. Необходимым условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю дифференциала этой функции в экстремальной точке, т.е.

Для того, чтобы это выражение выполнялось при любых значениях независимых дифференциалов, необходимо равенство нулю коэффициентов при этих дифференциалах, что дает систему уравнений

При этом новых независимых определяются из условия

Объединение систем (4.3.1) и (4.3.2) можно получить

Таким образом, задача в форме (4.3.3) сводится к задаче: найти

Отдельно следует отметить, что в общем случае метод множителей Лагранжа позволяет найти лишь необходимые условия существования условного экстремума для непрерывных функций, имеющих непрерывные производные. Однако из физического смысла решаемой задачи обычно известно, идет ли речь о максимуме или минимуме функции, кроме того, как правило, в проектных задачах функция на рассматриваемом отрезке является унимодальной. Поэтому в проектных задачах нет необходимости значения переменных, найденные при решении рассмотренных систем уравнений, проверять на экстремум с помощью анализа производных более высокого порядка.

Описание метода

где .

Обоснование

Нижеприведенное обоснование метода множителей Лагранжа не является его строгим доказательством. Оно содержит эвристические рассуждения, помогающие понять геометрический смысл метода.

Двумерный случай

Линии уровня и кривая .

Пусть требуется найти экстремум некоторой функции двух переменных при условии, задаваемом уравнением . Мы будем считать, что все функции непрерывно дифференцируемы, и данное уравнение задает гладкую кривую S на плоскости . Тогда задача сводится к нахождению экстремума функции f на кривой S . Будем также считать, что S не проходит через точки, в которых градиент f обращается в 0 .

Нарисуем на плоскости линии уровня функции f (то есть кривые ). Из геометрических соображений видно, что экстремумом функции f на кривой S могут быть только точки, в которых касательные к S и соответствующей линии уровня совпадают. Действительно, если кривая S пересекает линию уровня f в точке трансверсально (то есть под некоторым ненулевым углом), то двигаясь по кривой S из точки мы можем попасть как на линии уровня, соответствующие большему значению f , так и меньшему. Следовательно, такая точка не может быть точкой экстремума.

Тем самым, необходимым условием экстремума в нашем случае будет совпадение касательных. Чтобы записать его в аналитической форме, заметим, что оно эквивалентно параллельности градиентов функций f и ψ в данной точке, поскольку вектор градиента перпендикулярен касательной к линии уровня. Это условие выражается в следующей форме:

где λ - некоторое число, отличное от нуля, и являющееся множителем Лагранжа.

Рассмотрим теперь функцию Лагранжа , зависящую от и λ :

Необходимым условием ее экстремума является равенство нулю градиента . В соответствии с правилами дифференцирования, оно записывается в виде

Мы получили систему, первые два уравнения которой эквивалентны необходимому условию локального экстремума (1), а третье - уравнению . Из нее можно найти . При этом , поскольку в противном случае градиент функции f обращается в нуль в точке , что противоречит нашим предположениям. Следует заметить, что найденные таким образом точки могут и не являться искомыми точками условного экстремума - рассмотренное условие носит необходимый, но не достаточный характер. Нахождение условного экстремума с помощью вспомогательной функции L и составляет основу метода множителей Лагранжа, примененного здесь для простейшего случая двух переменных. Оказывается, вышеприведенные рассуждения обобщаются на случай произвольного числа переменных и уравнений, задающих условия.

На основе метода множителей Лагранжа можно доказать и некоторые достаточные условия для условного экстремума, требующие анализа вторых производных функции Лагранжа.

Применение

• Метод множителей Лагранжа применяется при решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях (например, в экономике).
• Основной метод решения задачи об оптимизации качества кодирования аудио и видео данных при заданном среднем битрейте (оптимизация искажений - англ. Rate-Distortion optimization ).

См. также

Ссылки

• Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. - изд. 2-е, испр. и доп. - М.: ФАЗИС, 1997.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Множители Лагранжа" в других словарях:

Множители Лагранжа - дополнительные множители, преобразующие целевую функцию экстремальной задачи выпуклого программирования (в частности, линейного программирования) при ее решении одним из классических методов методом разрешающих множителей… … Экономико-математический словарь

множители Лагранжа - Дополнительные множители, преобразующие целевую функцию экстремальной задачи выпуклого программирования (в частности, линейного программирования) при ее решении одним из классических методов методом разрешающих множителей (методом Лагранжа).… … Справочник технического переводчика

Механики. 1) Лагранжа уравнения 1 го рода дифференциальные ур ния движения механич. системы, к рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы,… … Физическая энциклопедия

Механики обыкновенные дифференциальные уравнения 2 го порядка, описывающие движения механич. систем под действием приложенных к ним сил. Л. у. установлены Ж. Лаг ранжем в двух формах: Л. у. 1 го рода, или уравнения в декартовых координатах с… … Математическая энциклопедия

1) в гидромеханике ур ния движения жидкости (газа) в переменных Лагранжа, к рыми являются координаты ч ц среды. Получены франц. учёным Ж. Лагранжем (J. Lagrange; ок. 1780). Из Л. у. определяется закон движения ч ц среды в виде зависимостей… … Физическая энциклопедия

Метод множителей Лагранжа, метод нахождения условного экстремума функции f(x), где, относительно m ограничений, i меняется от единицы до m. Содержание 1 Описание метода … Википедия

Функция, используемая при решении задач на условный экстремум функций многих переменных и функционалов. С помощью Л. ф. записываются необходимые условия оптимальности в задачах на условный экстремум. При этом не требуется выражать одни переменные … Математическая энциклопедия

Метод решения задач на Условный экстремум; Л. м. м. заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции т. н. функции Лагранжа. Для задачи об экстремуме функции f (х1, x2,..., xn) при… …

Переменные, с помощью к рых строится Лагранжа функция при исследовании задач на условный экстремум. Использование Л. м. и функции Лагранжа позволяет единообразным способом получать необходимые условия оптимальности в задачах на условный экстремум … Математическая энциклопедия

1) в гидромеханике уравнения движения жид кой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми являются координаты частиц среды. Из Л. у. определяется закон движения частиц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним… … Большая советская энциклопедия

Способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных x 1 , x 2 , ..., x n , что и целевая функция z . Пусть решается задача определения условного экстремума функции z = f (X) при ограничениях φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Составим функцию

которая называется функцией Лагранжа . X , - постоянные множители (множители Лагранжа ). Отметим, что множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если f (x 1 , x 2 , ..., x n ) - доход, соответствующий плану X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , а функция φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то X , - цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(Х) - функция n + m переменных (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Определение стационарных точек этой функции приводит к решению системы уравнений

Легко заметить, что . Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции z = f (X) сводится к нахождению локального экстремума функции L(X) . Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума - исследования знака второго дифференциала d 2 L(X) в стационарной точке при условии, что переменные приращения Δx i - связаны соотношениями

полученными путем дифференцирования уравнений связи.

Решение системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными с помощью средства Поиск решения

Настройка Поиск решения позволяет находить решение систе­мы нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

где
- нелинейная функция от переменныхx и y ,
- произвольная постоянная.

Известно, что пара (x , y ) является решением системы уравнений (10) тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнение с двумя неизвестными:

С другой стороны, решение системы (10) - это точки пересечения двух кривых: f ] (x , y ) = C и f 2 (х, у) = С 2 на плоскости ХО Y .

Из этого следует метод нахождения корней системы. нелинейных уравнений:

Определить (хотя бы приближенно) интервал существования решения системы уравнений (10) или уравнения (11). Здесь не­обходимо учитывать вид уравнений, входящих в систему, область определения каждого их уравнений и т. п. Иногда применяется подбор начального приближения решения;

Протабулировать решение уравнения (11) по переменным x и y на выбранном интервале, либо построить графики функций f 1 (x , y ) = С, и f 2 (х,у) = С 2 (система(10)).

Локализовать предполагаемые корни системы уравнений - найти несколько минимальных значений из таблицы табулирование­ корней уравнения (11), либо определить точки пересечения кривых, входящих в систему (10).

4. Найти корни для системы уравнений (10) с помощью надстройки Поиск решения.

Жозеф Луи Лагранж родился в Турине (Италия) в итало-французской семье. Он учился, а затем преподавал в Артиллерийском училище. В 1759 г. по рекомендации Эйлера 23-летнего Лагранжа избирают в члены Берлинской академии наук. В 1766 г. он уже стал ее президентом. Фридрих II пригласил Лагранжа в Берлин. После смерти Фридриха II в 1786 г. Лагранж переехал в Париж. С 1722 г. он был членом Парижской академии наук, в 1795 г. его назначили членом Бюро долгот, и он принял активное участие в создании метрической системы мер. Круг научных исследований Лагранжа был необычайно широк. Они посвящены механике, геометрии, математическому анализу, алгебре, теории чисел, а также теоретической астрономии. Основным направлением исследований Лагранжа было представление самых различных явлений в механике с единой точки зрения. Он вывел уравнение, описывающее поведение любых систем под действием сил. В области астрономии Лагранж много сделал для решения проблемы устойчивости Солнечной системы; доказал некоторые частные случаи устойчивого движения, в частности для малых тел находящихся в так называемых треугольных точках либрации.

Метод Лагранжа ─ это метод решения задачи условной оптимизации, при котором ограничения, записываемые как неявные функции, объединяются с целевой функцией в форме нового уравнения, называемого лагранжианом .

Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования:

Дана система нелинейных уравнений (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Найти наименьшее (или наибольшее) значение функции (2)

(2) f (х1,х2,…,хn),

если отсутствуют условия неотрицательности переменных и f(х1,х2,…,хn) и gi(x1,x2,…,xn) ─ функции, непрерывные вместе со своими частными производными.

Чтобы найти решение этой задачи, можно применить следующий метод: 1. Вводят набор переменных λ1, λ2,…, λm, называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа (3)

(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .

2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным xi и λi и приравнивают их нулю.

3. Решая систему уравнений, находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

4.Среди точек, подозрительных не экстремум, находят такие, в которыхдостигается экстремум, и вычисляют значения функции в этих точках.

4. Сравнить полученные значения функции f и выбрать наилучшее.

По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве х1 изделия I способом затраты равны 4*х1+х1^2 руб., а при изготовлении х2 изделий II способом они составляют 8*х2+х2^2 руб. Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.

Решение: Математическая постановка задачи состоит в определении наименьшего значения функции двух переменных:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, при условии x1 +x2 = 180.

Составим функцию Лагранжа:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Вычислим ее частные производные по х1,х2, λ и приравняем их к 0:

Перенесем в правые части первых двух уравнений λ и приравняем их левые части, получим 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, или x1 − x2 = 2.

Решая последнее уравнение совместно с уравнением x1 + x2 = 180, находим x1 = 91, x2 = 89, то есть получили решение, удовлетворяющее условиям:

Найдем значение целевой функции f при этих значениях переменных:

F(x1, x2) = 17278

Эта точка является подозрительной на экстремум. Используя вторые частные производные, можно показать, что в точке (91,89) функция f имеет минимум.

Пусть и - дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции векторного аргумента . Требуется найти экстремум функции при условии, что аргумент удовлетворяет системе ограничений:

(последнее условие называют также условием связи).

Наиболее простым методом нахождения условного экстремума является сведение задачи к нахождению безусловного экстремума путем разрешения уравнения связи относительно m переменных и последующей их подстановки в целевую функцию.

Пример 3. Найти экстремум функции при условии .

Решение . Из уравнения связи выразим х 2 через х 1 и подставим полученное выражение в функцию у :

Эта функция имеет единственный экстремум (минимум) при х 1 =2. Соответственно, х 2 =1. Таким образом, точкой условного экстремума (минимума) заданной функции является точка .

В рассмотренном примере уравнение связи легко разрешимо относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях выразить переменные удается не всегда. Соответственно, описанный выше подход применим не ко всем задачам.

Более универсальным методом решения задач отыскания условного экстремума является метод множителей Лагранжа . Он основан на применении следующей теоремы. Если точка является точкой экстремума функции в области, определяемой уравнениями , то (при некоторых дополнительных условиях) существует такой m -мерный вектор , что точка является стационарной точкой функции

Алгоритм метода множителей Лагранжа

Шаг 1 . Составить функцию Лагранжа:

где - множитель Лагранжа, соответствующий i -му ограничению.

Шаг 2 . Найти частные производные функции Лагранжа и приравнять их к нулю

Шаг 3. Решив получившуюся систему из n +m уравнений, найти стационарные точки.

Заметим, что в стационарных точках выполняется необходимое, но не достаточное условие экстремума функции. Анализ стационарной точки на наличие в ней экстремума в данном случае достаточно сложен. Поэтому метод множителей Лагранжа в основном используют в тех случаях, когда о существовании минимума или максимума исследуемой функции заранее известно из геометрических или содержательных соображений.

При решении некоторых экономических задач множители Лагранжа имеют определенное смысловое содержание. Так, если - прибыль предприятия при плане производства n товаров , - издержки i -го ресурса, то l i - оценка этого ресурса, характеризующая скорость изменения оптимума целевой функции в зависимости от изменения i -го ресурса.

Пример 4. Найти экстремумы функции при условии .

Решение . Функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Составим функцию Лагранжа:

Найдем частные производные и приравняем их к нулю.

Получаем две стационарные точки:

Принимая во внимание характер целевой функции, линиями уровня которой являются плоскости, и функции (эллипс) заключаем, что в точке , функция принимает минимальное значение, а в точке максимальное.

Пример 5. В области решений системы

найти максимальное и минимальное значение функции при условии .

Решение . Пересечением области допустимых решений и прямой является отрезок MN : М (0,6), N (6,0). Поэтому экстремальные значения функция может принимать либо в стационарных точках, либо в точках M и N . Для нахождения стационарной точки применим метод Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю

Решая систему, получаем стационарную точку K (2,2;3,8). Сравним значения целевой функции в точках K , M , N :

Следовательно,

Пример 6. Известен рыночный спрос на определенное изделие в количестве 180 штук. Это изделие может быть изготовлено двумя предприятиями одного концерна по различным технологиям. При производстве х 1 изделий первым предприятием его затраты составят руб., а при изготовлении х 2 изделий вторым предприятием они составляют руб.

Определить, сколько изделий, изготовленных по каждой технологии, может предложить концерн, чтобы общие издержки его производства были минимальны.

Решение . Математическая модель задачи:

Для нахождения минимального значения целевой функции при условии х 1 + х 2 =180, т.е. без учета требования неотрицательности переменных, составим функцию Лагранжа:

Найдем первые производные функции Лагранжа по х 1 , х 2 , l , и приравняем их к 0. Получим систему уравнений:

Решая эту систему, найдем следующие корни: , т.е. получаем координаты точки, подозрительной на экстремум.

Чтобы определить, является ли точка ( ) локальным минимумом, исследуем определитель Гессе, для чего вычислим вторые частные производные целевой функции:

Так как

то определитель Гессе положительно определен; следовательно, целевая функция является выпуклой и в точке ( ) имеем локальный минимум: