После того, как автор сайта смог научить своего бота решать линейное диофантово уравнение с двумя переменными , возникло желание научить бота решать подобные уравнения, но уже с тремя неизвестными. Пришлось окунутся в книги.

Вынырнув оттуда через два месяца, автор понял, что он ничего не понял. Зело умные математики, так мудрёно писали алгоритм вывода формул, что мне смертному было стыдно. Опечалился было, но мысль на книжных просторах все таки одну полезную нашел, и с этой мысли пришло понимание как решать диофантовые уравнения с тремя неизвестными.

Итак для всех, кто не математик, но хочет им быть:)

Диофантовое уравнение с тремя неизвестными имеет вот такой вид

где целые числа

Если мы подумаем какое же общее решение может быть у неизвестных, то самое банальное выглядит так

Подставим наше общее решение в уравнение

Какой же от этого прок, спросит нетерпеливый читатель? А вот какой, сгруппируем все по неизвестным,получим

Смотрите, в правой части стоит какое то постоянное число, обозначенное буквой d

Значит, от t (она же переменная, мало ли каким она значением хочет стать) оно не зависит а значит

Логично предположить что и от z оно не зависит а значит

а вот от постоянных значений A 3 и B 3 оно зависит напрямую, то есть

Что же в конечном итоге мы получили? А получили мы три типовых классических диофантовых уравнений с двумя неизвестными , которые решать мы можем легко и непринужденно.

Попробуем решить?

В первых строках поисковых систем нашлось вот такое уравнение

Первое уравнение будет вот такое

корни его

Избавимся от нулей, взяв к примеру k=-1. (Хотите можете взять 2 или 100 или -3) На окончательное решение это не повлияет.

Решаем второе уравнение

и его корни

здесь пусть k=0 (так как X и Y не совпадают уже при нулевых значениях)

И последнее третье уравнение

Корни тут такие

Подставим теперь все найденные значения в общий вид

Вот и все!

Заметьте, что все решается очень легко и прозрачно! Наверняка преподаватели и способные студенты возьмут себе на вооружение эту методику, так как в книгах автор бота её так и нашел.

Еще один пример, уже решенный с помощью бота.

Дополнение: Когда будете решать подобные уравнения с помощью бота, можете столкнуться с тем, что бот Вам выдаст ошибку с просьбой, поменять переменные местами, для другой попытки решить уравнение. Это связано с тем что при промежуточных вычислениях, получается нерешаемое уравнение

Как пример

При попытке решить уравнение

в нашем случае

мы получим ошибку, так как при любых значениях, в левой части будет всегда(!!) чётное число, а в правой части как мы видим нечетное.

Но это не значит что изначальное уравнение нерешаемое. Достаточно поменять слагаемые в другом порядке, например так

и получаем ответ

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Система из трех уравнений с тремя неизвестными не во всех случаях имеет решение, несмотря на большое количество уравнений. Как правило, данного рода системы решаются с помощью метода подстановки или с помощью метода Крамера. Второй метод дает возможность определить на первых этапах, имеет ли система решение.

Допустим, нам дана следующая система из трех уравнений с тремя неизвестными:

\[\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end{matrix}\right.\]

Можно решить данную неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера:

\[\Delta _A\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}=2\]

Определитель системы \ не равен нулю. Найдем вспомогательные определители \ если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество

\[\Delta _1\begin{vmatrix} 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end{vmatrix}=6\]

\[\Delta _2\begin{vmatrix} 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end{vmatrix}=2\]

\[\Delta _3\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end{vmatrix}=-2\]

Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Ответ: получили решение

\[\left\{\begin{matrix} X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end{matrix}\right.\]

Где можно решить систему уравнений с тремя неизвестными онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.