Большинство людей на нашей планете при счете пользуются десятичной системой счисления, а вот в компьютерах используется двоичная. Некоторые племена на заре развития человечества использовали двенадцатеричную и шестидесятеричную. Именно от них нам остались 12 часов на циферблате и 60 минут в часу.
Порою необходимо перевести число из одной системы в другую. В этой статье рассмотрим конкретнее, как переводить в десятичную систему из некоторых других популярных систем.
Прежде всего нужно понять, что такое система счисления и её основание. Система счисления - способ представления чисел в виде комбинации тех или иных цифр. Основание системы - количество цифр, в ней использующихся. Например, в десятичной системе с основанием 10 всего 10 цифр - от 0 до 9. В шестнадцатеричной, соответственно, 16 цифр, для обозначения которых используются арабские цифры 0 - 9 и латинские буквы A - F вместо цифр 10 - 15. Например, 2F7BE 16 - число шестнадцатеричной системы. При такой записи нижним индексом обозначается основание системы счисления. Ключевым различием между системами с разными основаниями является "ценность" числа 10. В шестнадцатеричной системе 10 16 будет равно 16 10 , а в двоичной 10 2 равно всего лишь двум. 100 16 будет вычисляться как
100 16 = 10 16 * 10 16 = 16 10 * 16 10 = 256 10 .
Следует также различать понятия "цифра" и "число". Цифра обозначается одним символом, а число - может и несколькими. Например, число 9 10 в двоичной системе будет выглядеть как 1001 2 , а цифра 9 в двоичной системе не существует как таковая.
Чтобы перевести в десятичную систему число, нужно научиться применять несложный алгоритм.
2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10 .
Рассмотрим на примерах, как самые популярные - шестнадцатеричную, восьмеричную и двоичную системы перевести в десятичную.
Разумеется, считать каждый раз вручную неудобно, нерационально, да и неохота. Существует множество калькуляторов, умеющих переводить числа из системы в систему. К примеру, стандартный калькулятор Windows в режиме "Программист" (клавиши Alt+3 или меню "Вид") может работать с системами оснований 2, 8, 10 и 16.
1. Порядковый счет в различных системах счисления.
В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».
Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.
Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.
Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 |
3 | 11 | 10 | 3 |
4 | 100 | 11 | 4 |
5 | 101 | 12 | 10 |
6 | 110 | 20 | 11 |
7 | 111 | 21 | 12 |
8 | 1000 | 22 | 13 |
9 | 1001 | 100 | 14 |
10 | 1010 | 101 | 20 |
11 | 1011 | 102 | 21 |
12 | 1100 | 110 | 22 |
13 | 1101 | 111 | 23 |
14 | 1110 | 112 | 24 |
15 | 1111 | 120 | 30 |
Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):
0 | 0 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 3 |
4 | 4 |
5 | 5 |
6 | 6 |
7 | 7 |
8 | 8 |
9 | 9 |
10 | |
11 | |
12 | 10 |
13 | 11 |
14 | 12 |
15 | 13 |
2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.
Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.
Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.
Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.
3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.
Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.
Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:
Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.
Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.
Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.
4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).
Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.
Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:
Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.
0 | 0 |
1 | 1 |
10 | 2 |
11 | 3 |
100 | 4 |
101 | 5 |
110 | 6 |
111 | 7 |
Т.е.
Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.
0 | 0 |
1 | 1 |
10 | 2 |
11 | 3 |
100 | 4 |
101 | 5 |
110 | 6 |
111 | 7 |
1000 | 8 |
1001 | 9 |
1010 | A |
1011 | B |
1100 | C |
1101 | D |
1110 | E |
1111 | F |
5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.
Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.
Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.
Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:
В повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления, знакомой нам еще со школьной скамьи. Однако помимо нее, существует и множество других систем. Как записывать цифры не в десятичной, а, например, в ?
Необходимость перевести десятичное число в двоичный вид выглядит пугающей только на первый взгляд. На самом деле это довольно просто - необязательно искать даже онлайн-сервисы для совершения операции.
Двоичное число 10011100, полученное в результате нехитрой операции, и будет двоичным выражением числа 156.
Ещё один пример, но уже на картинке
Обратный перевод - из двоичной в десятичную систему - может показаться чуть более сложным. Но если использовать простой метод удвоения, то и с этой задачей получится справиться за пару минут. Для примера возьмем все то же число, 156, но в двоичном виде - 10011100.
Когда в двоичной записи останется только одна последняя цифра, и прибавлять больше будет нечего, операция будет завершена. При помощи нехитрой проверки можно убедиться, что в ответе получится нужное десятичное число 156.