Практическое занятие арифметические основы работы компьютера. Арифметические и логические основы работы компьютера

24.11.2023

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 10 2 + 5 10 1 + 7 10 0 + 7 10 -1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

где a i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета :

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2 , а именно :

· двоичная (используются цифры 0, 1);

· восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

· шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

10 - я	2 - я	8 - я	16 - я

10 - я	2 - я	8 - я	16 - я
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16 .

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в шестнадцатиричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F 16 +7 16 +3 16

Ответ: 5+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Проверка: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3*8 1 + 1*8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1*16 1 + 9*16 0 = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25
311,2 8 = 3*8 2 + 1 8 1 + 1*8 0 + 2*8 -1 = 201,25
C9,4 16 = 12*16 1 + 9*16 0 + 4*16 -1 = 201,25

Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10 2 , 10 8 и 10 16

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100 2 , 100 8 и 100 16 .

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25 10 – 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16 .

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 –1 = 141,5;
215,4 8 = 2*8 2 + 1*8 1 + 5*8 0 + 4*8 –1 = 141,5;
8D,8 16 = 8*16 1 + D*16 0 + 8*16 –1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5*6 = 30 10 = 11110 2 = 36 8 .

11110 2 = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 30;
36 8 = 3 8 1 + 6 8 0 = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115*51 = 5865 10 = 1011011101001 2 = 13351 8 .

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
1011011101001 2 = 2 12 + 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 0 = 5865;
13351 8 = 1*8 4 + 3*8 3 + 3*8 2 + 5*8 1 + 1*8 0 = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30: 6 = 5 10 = 101 2 = 5 8 .

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351 8:163 8

Ответ: 5865: 115 = 51 10 = 110011 2 = 63 8 .

110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6*8 1 + 3*8 0 = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43 8: 16 8

Ответ: 35: 14 = 2,5 10 = 10,1 2 = 2,4 8 .

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,1 2 = 2 1 + 2 -1 = 2,5;
2,4 8 = 2*8 0 + 4*8 -1 = 2,5.

Сложение и вычитание

При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –7 10 .

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –11 10 вместо обратного кода числа –10 10) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –10 10 .

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа . Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2 n–1 , где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2 n–1 = 27 = 128). Например:

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162 10 = 10100010 2), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7 10 .

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

· на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов - образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

· время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции - окончательный результат.

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 110011 2 на 101101 2 .

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются.

В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111 2 –1 и 0.11011*2 10 . Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101*2 10 и 0.11101*2 1 . Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101*2 0 .

Умножение

Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101*2 101)*(0.1001*2 11) = (0.11101*0.1001)* 2 (101+11) = 0.100000101*2 1000 .

Деление

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:

0.1111*2 100: 0.101*2 11 = (0.1111: 0.101) * 2 (100–11) = 1.1*2 1 = 0.11 2 10 .

Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.

Упражнения

4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
[ Ответ ]

4.2. Какие целые числа следуют за числами:

[ Ответ ]

4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
[ Ответ ]

4.5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:

o а) в двоичной системе;

o б) в восьмеричной системе;

o в) в шестнадцатеричной системе?

4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?

Решение. Пусть x - искомое основание системы счисления. Тогда 100 x = 1 · x 2 + 0 · x 1 + 0 · x 0 , 21 x = 2 · x 1 + 1 · x 0 , 24 x = 2 · x 1 + 4 · x 0 . Таким образом, x 2 = 2x + 2x + 5 или x 2 - 4x - 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.
Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.

4.7. В какой системе счисления справедливо следующее:

o а) 20 + 25 = 100;

o б) 22 + 44 = 110?

4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
[ Ответ ]

4.9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

[ Ответ ]

4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 125 10 ; б) 229 10 ; в) 88 10 ; г) 37,25 10 ; д) 206,125 10 .
[ Ответ ]

4.11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1001111110111,0111 2 ;	г) 1011110011100,11 2 ;
б) 1110101011,1011101 2 ;	д) 10111,1111101111 2 ;
в) 10111001,101100111 2 ;	е) 1100010101,11001 2 .

[ Ответ ]

4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

а) 2СE 16 ; б) 9F40 16 ; в) ABCDE 16 ; г) 1010,101 16 ; д) 1ABC,9D 16 .
[ Ответ ]

4.13. Выпишите целые числа:

o а) от 101101 2 до 110000 2 в двоичной системе;

o б) от 202 3 до 1000 3 в троичной системе;

o в) от 14 8 до 20 8 в восьмеричной системе;

o г) от 28 16 до 30 16 в шестнадцатеричной системе.

4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:

[ Ответ ]

4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
[ Ответ ]

4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
[ Ответ ]

4.17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

[ Ответ ]

4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

[ Ответ ]

4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):

[ Ответ ]

4.20. Вычтите:

[ Ответ ]

4.21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:

а) 101101 2 и 101 2 ;	д) 37 8 и 4 8 ;
б) 111101 2 и 11,01 2 ;	е) 16 8 и 7 8 ;
в) 1011,11 2 и 101,1 2 ;	ж) 7,5 8 и 1,6 8 ;
г) 101 2 и 1111,001 2 ;	з) 6,25 8 и 7,12 8 .

[ Ответ ]

4.22. Разделите 10010110 2 на 1010 2 и проверьте результат, умножая делитель на частное.
[ Ответ ]

4.23. Разделите 10011010100 2 на 1100 2 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.
[ Ответ ]

4.24. Вычислите значения выражений:

o а) 256 8 + 10110,1 2 * (60 8 + 12 10) - 1F 16 ;

o б) 1AD 16 - 100101100 2: 1010 2 + 217 8 ;

o в) 1010 10 + (106 16 - 11011101 2) 12 8 ;

o г) 1011 2 * 1100 2: 14 8 + (100000 2 - 40 8).

4.25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

o а) 74 8 , 110010 2 , 70 10 , 38 16 ;

o б) 6E 16 , 142 8 , 1101001 2 , 100 10 ;

o в) 777 8 , 101111111 2 , 2FF 16 , 500 10 ;

o г) 100 10 , 1100000 2 , 60 16 , 141 8 .

4.26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, ..., -3 в однобайтовом формате:

o а) в прямом коде;

o б) в обратном коде;

o в) в дополнительном коде.

4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):

а) 31; б) -63; в) 65; г) -128.
[ Ответ ]

4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):

а) -9; б) -15; в) -127; г) -128.
[ Ответ ]

4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:

а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.
[ Ответ ]

4.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:

а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.
[ Ответ ]

4.31. Выполните вычитания чисел путем сложения их обратных (дополнительных) кодов в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место переполнение разрядной сетки:

а) 9 - 2;	г) -20 - 10;	ж) -120 - 15;
б) 2 - 9;	д) 50 - 25;	з) -126 - 1;
в) -5 - 7;	е) 127 - 1;	и) -127 - 1.

[ Ответ ]

Лекция 4. Арифметические основы компьютеров

Логика, как наука развивается с IV в. до н. э. начиная с трудов Аристотеля. Именно он подверг анализу человеческое мышление, такие его формы, как понятие, суждение, умозаключение.

Логика – (от греч. “логос”, означающего “слово” и “смысл”) – наука о законах, формах и операциях правильного мышления. Ее основная задача заключается в нахождении и систематизации правильных способов рассуждения.

Рис. 1. Основные формы абстрактного мышления

Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Всякое понятие имеет содержание и объем. Например, понятие “Черное море” – отражает единичный предмет, “Сиамская кошка” – отражает класс сиамских кошек.

Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно. Например, Абакан – столица Хакасии. Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть. Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом.

Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение. Умозаключения бывают: Дедуктивные (от общего к частному) – Все ученики ходят в школу. Вася – ученик. Вася ходит в школу. Индуктивные (от частного к общему) – Банан и персик – сладкие. Значит, все фрукты сладкие на вкус. Аналогия – Наши коровы едят траву и дают молоко. В Австралии есть поля, коровы едят эту траву. Следовательно, австралийские коровы тоже дают молоко.

В алгебре логики высказывания обозначаются именами логических переменных (А, В, С). Истина, ложь – логические константы.

Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0).

Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

	\|	следующая лекция ==>
Шестнадцатеричная система счисления используется для компактного представления (на бумаге или на экране) двоичной информации, хранимой в памяти ЭВМ.	\|

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Обработка информации и вычислений в вычислительной машине. Непозиционные и позиционные системы счисления. Примеры перевода десятичного целого и дробного числа в двоичную систему счисления. Десятично-шестнадцатеричное и обратное преобразование чисел.

контрольная работа , добавлен 21.08.2010

Система счисления как способ записи информации с помощью заданного набора цифр. История развития различных систем счисления. Позиционные и непозиционные системы. Вавилонская, иероглифическая, римская система счисления. Система счисления майя и ацтеков.

презентация , добавлен 05.05.2012

Определение понятия и видов систем счисления - символического метода записи чисел, представления чисел с помощью письменных знаков. Двоичные, смешанные системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции.

курсовая работа , добавлен 16.01.2012

Понятие и классификация систем счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Перевод правильных и неправильных дробей. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ. Навыки обращения с двоичными числами. Точность представления чисел в ЭВМ.

реферат , добавлен 13.01.2011

История систем счисления, позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичное кодирование в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Запись цифр в римской нумерации. Славянская нумерация, сохранившаяся в богослужебных книгах.

презентация , добавлен 23.10.2015

Двоичный код, особенности кодирования и декодирования информации. Система счисления как совокупность правил записи чисел с помощью определенного набора символов. Классификация систем счисления, специфика перевода чисел в позиционной системе счисления.

презентация , добавлен 07.06.2011

Система счисления как совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел, ее разновидности и критерии классификации. Свойства позиционных однородных систем с естественным множеством цифр. Преобразование чисел из одной системы в другую.

Тема №2. Арифметические и логические основы персонального компьютера

План

3.1. Системы счисления

3.3. Двоичная арифметика

4. Кодирование информации

4.1. Кодирование числовой информации

4.3. Кодирование графической информации

5. Логические основы персонального компьютера

5.2. Логические законы и правила преобразования

1. Количество информации как мера уменьшения неопределенности знания

Процесс познания можно наглядно изобразить в виде расширяющегося круга знания. Вне этого круга лежит область незнания.

Если некоторое сообщение приводит к уменьшению неопределенности знаний, говорят, что такое сообщение содержит информацию. Это позволяет количественно измерять информацию. Например, перед бросанием монеты существует неопределенность знания (возможны два равновероятностных события – «орел» или «решка», как упадет монета – угадать невозможно). После бросания наступает полная определенность, так как мы получаем зрительное сообщение о результате. Это сообщение уменьшает неопределенность знания в два раза, так как из возможных двух событий реализовалось одно.

Мера неопределенности опыта, в котором проявляются случайные события, равная средней неопределенности всех возможных его исходов, называется энтропией .

В действительности достаточно часто встречаются ситуации, когда может произойти большее число равновероятностных событий (бросание игрального кубика – 6 событий). Чем больше начальное число вероятностных событий, тем больше начальная неопределенность знания и тем большее количество информации будет содержать сообщение о результатах опыта. Другими словами, при прочих равных условиях наибольшую энтропию имеет опыт с равновероятностными исходами.

Единица количества информации – бит, такое количество информации, которое уменьшает неопределенность знаний в два раза.

В описанном опыте с бросанием монеты полученное количество информации равно 1 биту.

Существует формула, которая связывает между собой количество возможных событий N и количество информации I.

N=2 I

Из математики известно, что решение такого уравнения имеет вид:

I = log 2 N

Пример: В барабане для розыгрыша лотереи находится 32 шара. Сколько информации содержит сообщение о первом выпавшем номере?

2 I =32

I = 5

Пример: Вы подошли к светофору, когда горел желтый свет. После этого загорелся зеленый. Какое количество информации вы при этом получили?

N=2 I

N=2 (может загореться как красный, так и зеленый цвет), отсюда I=1 бит.

Пример: Вы подошли к светофору, когда горел красный свет. После этого загорелся желтый. Какое количество информации вы при этом получили?

Количество информации равно 0, так как при исправном светофоре после красного цвета обязательно должен загореться желтый свет.

Существует множество ситуаций, когда возможные события имеют различные вероятности реализации. Формулу для вычисления количества информации для событий с различными вероятностями предложил К. Шеннон в 1948 г.

где I – количество информации;

N – количество возможных событий;

p i – вероятности отдельных событий.

2. Единицы измерения информации

Бит – минимальная единица измерения информации, может принимать значения 0 или 1.

Комбинация из восьми бит называется байтом.

В вычислительной технике любая информация вне зависимости от ее природы представлена в двоичной форме, поэтому основными единицами измерения информации являются бит и байт.

Для измерения больших объемов информации используют производные единицы измерения:

1 Кб = 1024 байт

1Мб = 1024 Кб

1 Гб = 1024 Мб.

3. Арифметические основы персонального компьютера

3.1. Системы счисления

Система счисления – совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков (алфавита).

Различают два типа систем счисления:

Позиционные – значение каждой цифры определяется ее местом (позицией) в записи числа.

Непозиционные – значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Количество цифр, используемых в системе счисления, называется основанием системы счисления. В десятичной с.с. используется 10 цифр от 0 до 9, двоичная с.с. имеет 2, т.к. использует две цифры 0 и 1.

В позиционных системах числа могут записывать в развернутом виде, т.е. в виде суммы произведений цифр этого числа на основание системы счисления в степени, определяемой порядковым номером цифры в числе справа налево, начиная с нуля.

5341 10 = 5*10 3 +3*10 2 +4*10 1 +1*10 0

3.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

1. Перевод чисел из системы счисления с любым основанием в десятичную.

Для перевода числа из с.с. с любым основанием в десятичную нужно представить число в развернутом виде и вычислить сумму.

10100101 2 =1*2 7 +0*2 6 +1*2 5 +0*2 4 +0+2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =165 10

Для перевода дробных чисел действуют по тому же алгоритму, учитывая, что дробная часть будет иметь отрицательные степени основания.

101,101 2 =1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 =4+0+1+0,5+0,+0,125 =5,625 10

2. Для перевода целого числа из десятичной в с.с. с любым основанием , необходимо это число делить на основание с.с, запоминая остатки. Когда частное станет меньше делителя (основание с.с.), деление прекращается, и это частное становится старшей цифрой искомого числа. Затем все остатки записываются в обратном порядке.

Пример : перевести число 25 в двоичную систему счисления.

25:2=12(ост. 1)

12:2=6(ост.0)

6:2=3(ост.0)

3:2=1(ост.1)

25 10 =11001 2

3. Чтобы перевести дробное число из десятичной с.с. в другую, нужно:

1. Умножить дробное число на основание новой с.с.

2. Отдельно выписать целую часть полученного числа.

3. Если дробная часть полученного числа не равна нулю, или не достигнута требуемая точность вычислений, то с дробной частью повторить операции 1 и 2.

4. Полученные целые части произведений составляют искомую дробь в той последовательности, в которой они были получены.

Пример: Перевести десятичную дробь 0,625 в двоичную систему.

0,625*2=1,25 (целая часть – 1, дробная часть – 0,25)

0,25*2=0,5 (целая часть – 0, дробная часть – 0,5)

0,5*2=1 (целая часть – 1, дробная часть – 0)

Составляем двоичную дробь из целых чисел сверху вниз, предварительно записав 0 в целую часть: 0,101.

Если в исходной десятичной дроби есть и целая, и дробная части, то отдельно надо перевести его в целую часть путем деления на основание системы счисления и дробную часть – путем умножения на основание новой системы счисления. Затем записать их через запятую.

25,625 10 =11001,101 2

4. Перевод чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную с.с.

Для перевода используют таблицы соответствия.

Двоичное число необходимо разложить справа налево на группы цифр по три для перевода в восьмеричную систему и по четыре для перевода в шестнадцатеричную систему. При необходимости можно дополнить слева незначащими нулями.

Затем сопоставить эти группы по таблицам.

Соответствие двоичных и восьмеричных чисел

2 с.с
8 с.с.

Соответствие двоичных и шестнадцатеричных чисел

	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Пример: Перевести двоичное число 101011111 2 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы:

101011111 2 = 101 011 1112 = 537 8

5 3 7

101011111 2 = 0001 0101 1112 = 15F 16

1 5 F

5. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной в двоичную с.с.

Перевод осуществляется по таблицам соответствия в обратную сторону. Полученное число записывается без пробелов и незначащих нулей.

246 8 = 2 4 6 = 1100110 2

001 100 110

37D 16 = 3 7 D=1101111101 2

0011 0111 1101

3.3. Двоичная арифметика

1. Сложение производится в соответствии со следующими правилами:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10 (0 и единица в старший разряд)

Пример:

2. Вычитание производится по следующим правилам:

1 способ.

0-0=0

10-0=1

1-0=1

1-1=0

Пример:

2. способ.

Можно рассматривать вычитание как сложение положительного числа с отрицательным числом. В компьютере для представления отрицательных чисел используют дополнительный код, который получается путем замены единиц нулями и наоборот и последующего прибавления единицы к младшему.

11 2 -111 2 =

Заменяем 111 на 000, прибавляем единицу, получаем 001.

Складываем 11+001=1100, старший разряд – это знак числа, получаем 100.

4. Кодирование информации

При представлении информации в различных формах или преобразовании ее из одной формы в другую осуществляется кодирование информации.

Код – система условных символов для представления информации.

Кодирование – операция преобразования символов или группы символов одного кода в символы или группы символов другого кода.

В вычислительной технике используют двоичное кодирование. Это объясняется легкостью реализации такого способа кодирования с технической точки зрения: 1 – есть сигнал, 0 – нет сигнала.

4.1. Кодирование числовой информации.

Для работы с числами используют в основном две формы для их записи - естественная (привычная нам запись чисел) и экспоненциальная (для записи очень больших или очень маленьких чисел).

Число А в любой системе счисления в экспоненциальной форме записывается следующим образом:

A = mq n

где m - мантисса числа (должна иметь нормализованную форму, т.е. представлять собой правильную дробь с цифрой после запятой, отличной от нуля);

q - основание системы счисления;

n - порядок числа

Например, 1,3*10 16 =13000000000000000=1.3Е16

1,3* 10 -16 =0.00000000000000013=1.3Е-16

В языках программирования и в компьютерных приложениях при записи чисел в экспоненциальной форме вместо основания системы счисления 10 пишут букву Е, вместо запятой ставят точку, и знак умножения не ставится.

1. Представление целых чисел

В целом числе запятая фиксируется строго в конце и остается строго фиксированной, поэтому этот формат называется форматом с фиксированной точкой. Целые числа хранится в памяти компьютера в естественной форме. Диапазон значений целых чисел, представимых в памяти ЭВМ, зависит от размера ячеек памяти, используемых для их хранения. В k-разрядной ячейке может храниться 2 k различных значений целых чисел.

Пример: Определить диапазон хранимых чисел при 16-разрядной ячейке памяти.

2 16 =65536

Если числа только положительные, то диапазон составляет от 0 до 65535.

Если хранятся и положительные и отрицательные числа, то диапазон равен от -3276 до 32767.

Чтобы поучить внутреннее представление целого положительного числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове, нужно:

1. Перевести число N в двоичную систему счисления.

2. Полученный результат дополнить слева незначащими нулями до
k разрядов.

Пример: Получить внутреннее представление целого числа 1607 в 2-х байтовой ячейке.

N=1607 10 =110 0100 0111 2

Дополним слева незначащими нулями:

N=0000 0110 0100 0111

Для записи внутреннего представления целого отрицательного числа (-N) нужно:

1. Получив внутреннее представление целого положительного числа (N)

Получить обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0
К полученному результату добавить 1

Пример: Получить внутреннее представление целого положительного числа -1607

N=0000 0110 0100 0111
Обратный код: 1111 1001 1011 1000
Результат прибавления 1: 1111 1001 1011 1001

2. Представление чисел в экспоненциальной форме.

Числа, записанные в экспоненциальной форме, являются числами с плавающей точкой. Внутреннее представление вещественного числа сводится к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.

Таблица

Внутреннее представление вещественного числа

4.2. Кодирование текстовой информации

Для кодирования текстовой информации используют кодовые таблицы символов, где каждому символу (букве, цифре и т.д.) присвоен определенный код - десятичное число в диапазоне от 0 до 255. Традиционно для кодирования одного символа требуется 1 байт. Во всем мире в качестве стандарта принят американский стандарт - таблица ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Эта таблица кодирует только первые 128 символов (т.е. символы с номерами от 0 до 127). Остальные 128 кодов используются для кодировки символов национального алфавита, псевдографики и научных символов.

Ограниченный набор из 256 символов сегодня уже не вполне удовлетворяет возросшие требования международного общения. В последнее время появился новый международный стандарт UNICODE, который отводит на каждый символ не один, а два байта, и поэтому с его помощью можно закодировать не 256, a N=2 16 =65536 различных символов.

Пример: Каков информационный объем текста ПРОГРАММИРОВАНИЕ в 16-битной кодировке (UNICODE) и 8-битной кодировке?

Количество символов в данном тексте равно 16, таким образом, при кодировании в UNICODE объем информации будет равен 16*2=32 байта, а при 8-битной кодировке - 16 байт.

4.3. Кодирование графической информации.

В процессе кодирования изображения производится его пространственная дискретизация. Изображение разбивается на отдельные маленькие фрагменты (точки), причем каждой точке присваивается значение его цвета, т.е. код цвета.

Качество кодирования изображения зависит от размера точек и количества цветов.

Графическая информация на экране монитора представляется в виде растрового изображения, которое формируется из определенного количества строк, которые, в свою очередь, содержат определенное количество пикселей (минимальных элементов изображения).

Разрешающая способность экрана - размер сетки растра, представляемый в виде произведения М (число точек по горизонтали) на N (число точек по вертикали).

Число цветов, воспроизводимых на экране дисплея (N) и число бит, отводимых в видеопамяти под каждый пиксель (I), связаны формулой:

N = 2 I

В простейшем случае каждая точка экрана (черно-белое изображение без градаций серого) может иметь одно из двух состояний (черная или белая), соответственно для хранения ее состояния требуется 1 бит. (N=2 I )

Цветные изображения формируются в соответствии с двоичным кодом цвета каждой точки, хранящимся в видеопамяти.

Глубина цвета (битовая глубина) - количество бит, необходимое для кодирования цвета точки.

Страница - раздел видеопамяти, вмещающий информацию об одном образе экрана. В видеопамяти одновременно могут размещаться несколько страниц.

Таблица

Глубина цвета и количество отображаемых цветов

Глубина цвета (I)	Количество отображаемых цветов(N)
	2 4 =16
	2 8 =256
16 (High Color)	2 16 =65536
24 (True Color)	2 24 =16777216

Пример: На экране с разрешающей способностью 640X200 отображаются только черно-белые изображения. Какой объем памяти необходим для хранения изображения?

Битовая глубина черно-белого изображения равна 1 ,а видеопамять, как минимум, должна вмещать одну страницу, то объем видеопамяти равен

640х200х1=28000бит=16000 байт

Пример: Какой объем видеопамяти необходим для хранения четырех страниц изображения при условии, что разрешающая способность экрана равна 640x480, используемых цветов - 32.

N=2 I= 32=2 5 , глубина цвета 5 бит

640*480*5*4 = 6144000 бит = 750 Кбайт

4.4. Кодирование звуковой информации

Физическая природа звука - колебания в определенном диапазоне частот, передаваемые звуковой волной с непрерывно меняющейся амплитудой и частотой. Чем больше амплитуда сигнала, тем он громче для человека, чем выше частота сигнала, тем выше тон. Чтобы компьютер мог обработать звук, непрерывный звуковой сигнал должен быть превращен в последовательность электрических импульсов (двоичных 0 и 1).

В процессе кодирования фонограммы производится дискретизация непрерывного звукового сигнала. Непрерывная звуковая волна разбивается на отдельные маленькие временные участки, причем для каждого участка устанавливается определенная амплитуда.

Оцифровку звука выполняет специальное устройство на звуковой карте, АЦП (аналого-цифровой преобразователь), обратный процесс - воспроизведение закодированного звука производится с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП).

Каждой ступеньке присваивается значение уровня громкости звука, его код. Чем больше ступенек, тем большее количество уровней громкости будет выделено в процессе кодирования и тем большее количество информации будет нести значение каждого уровня и более качественным будет звучание.

Качество звука зависит от двух характеристик:

Глубина кодирования звука (I) - количество бит, используемое для кодирования различных уровней сигнала или состояний.

Современные звуковые карты обеспечивают 16-битную глубину кодирования звука, и общее количество различных уровней будет тогда: N=2 6 =65536

Частота дискретизации (М) - количество измерений уровня звукового сигнала в единицу времени. Измеряется в герцах. Одно измерение за 1 секунду соответствует частоте в 1 Гц, 1000 измерений в секунду=1 кГц. М может принимать значение от 8 (радиотрансляция) до 48 кГц (аудио-CD).

Чтобы найти объем звуковой информации, нужно воспользоваться формулой:

V=M*I*t

где М - частота дискретизации

I - глубина кодирования

t - время звучания

Пример: Звук воспроизводится в течение 10 секунд при частоте дискретизации 22,05 кГц и глубине звука 8 бит. Определить размер звукового файла.

М = 22,05*1000 = 22050 Гц

1=8/8=1 байт

t= 10 секунд

V = 22050* 10* 1=220500 байт

2.5. Логические основы персонального компьютера

Отсутствие ошибок в рассуждениях возможно только тогда, когда строго соблюдаются законы логики. Логика - это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений.

Формальная логика содержит в себе некоторые основные понятия, такие как: высказывание, истинность высказывания и вывод.

Высказывание - грамматически правильное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или нет. Высказывания обозначают буквами латинского алфавита. Обычно считают, что высказывание может принимать два значения: ИСТИНА или ЛОЖЬ, их английские эквиваленты TRUE или FALSE, часто используют двоичные цифры 1 (ИСТИНА) или 0 (ЛОЖЬ).

Вывод - рассуждение по правилам логики, в ходе которого из исходных высказываний (посылок) получают новое высказывание (заключение).

Простые высказывания содержат только одно утверждение, сложные высказывания содержат несколько утверждений. Формулы, выражающие зависимость значения сложного высказывания от входящих в него простых высказываний, логическое выражение, рассматривают как логические переменные.

Таблица истинности показывает, какие значения имеет логическое выражение при всех возможных комбинациях значений логических переменных.

5.1. Основные логические операции

В основе обработки компьютером информации лежит алгебра логики, разработанная английским математиком Джоржем Булем. В алгебре логики определены действия над высказываниями, выполнение которых приводит к получению новых высказываний.

1. Операция отрицания (инверсия).

Логическое отрицание меняет значение высказывания на противоположное. Обозначается « », « ¬ А», NOT, читается « не A».

Таблица

Таблица истинности для операции инверсии.

Схемные реализации логических операций называются логическими элементами или вентилями. Вентиль НЕ (инвертор) имеет один вход и один выход, единица на входе дает ноль на выходе и наоборот.

Рис. Схема логического вентиля НЕ.

2. Операция логического умножения (конъюнкция).

Высказывание, полученное в результате конъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинны все исходные высказывания. Обозначается И, «х», « ∧ », «&», AND.

Таблица 2.6. Таблица истинности для операции конъюнкции.

		А ∧ В

На выходе логического элемента И получается единица, только если на оба входа поступили единицы.

Схема логического вентиля И.

3. Операция логического сложения (дизъюнкция).

Высказывание, полученное в результате дизъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний. Обозначается ИЛИ, «+», « V », OR.

		А ∧ В

На выходе логического элемента ИЛИ получается ноль, только тогда, когда на все его входы поданы сигналы логического ноля, во всех других случаях на выходе появляется логическая единица.

Схема логического вентиля ИЛИ.

Этот вентиль также называется «включающим ИЛИ», поскольку при наличии на обоих его входах значения ИСТИНА, на выходе тоже появляется значение ИСТИНА.

4. Операция импликации.

Позволяет получить сложное высказывание из двух простых и грамматической конструкции «если, то...».

Такое сложное высказывание называют условным высказыванием. Часть импликации, идущая после слова «если», называется основанием, посылкой или антецедентом. Часть импликации, идущая после «то», называется следствием, заключением или консеквентом.

Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно, в остальные случаях импликация истинна. Обозначается знаками « → », « ⊃ ».

Таблица истинности для операции дизъюнкции.

		А → В

5. Операция эквивалентности.

С помощью операции эквивалентности можно получить сложное высказывание из двух импликаций. Такое высказывание содержит слова «если и только если», «тогда и только тогда, когда». Эквивалентность истинна, если оба высказывания имеют одинаковые значения (оба истины или оба ложны).

Обозначается знаками « ↔ », « ≡ ».

		А ↔ В

6. Операция исключающее ИЛИ.

Результат оказывается истинным только, если А или В (но не А и В) истинны. Иначе эта операция называется отрицанием эквивалентности. Обозначается XOR.

На выходе логического элемента исключающее ИЛИ получается логическая единица, только тогда, когда один из входных сигналов равен логической единице, а остальные - логическому нолю.

Таблица истинности для операции эквивалентности.

		АXORВ

Схема логического вентиля исключающее ИЛИ.

7. Операция И -НЕ.

↓ ».

Таблица истинности для операции ИЛИ - НЕ.

		АNORВ

На выходе логического элемента ИЛИ – НЕ получается логическая единица, только тогда, когда на все его входы поданы сигналы логического ноля, в любых других случаях на выходе получается логический ноль.

Схема логического вентиля ИЛИ - НЕ.

8. Операция И-НЕ.

Результатом этой операции будет значение ИСТИНА, только тогда, когда одно или оба высказывания принимают значение ЛОЖЬ. Обозначается ИЛИ - НЕ, « ⏐ », NAND.

На выходе логического элемента ИЛИ – НЕ получается логический ноль только тогда, когда на все его входы поданы сигналы логической единицы в любых других случаях на выходе получается логическая единица.

Результат этой операции является истиной только тогда, когда оба высказывания одновременно ложны. Обозначается ИЛИ - НЕ, NOR, « I».

Таблица 2.11. Таблица истинности для операции ИЛИ -НЕ.

		ANORB

Схема логического вентиля И – НЕ.

5.2. Логические законы и повила преобразования.

5.2.1. Законы алгебры логики

Закон тождества: любое высказывание тождественно само себе.

А ≡ А

Предмет обсуждения должен быть строго определён и не должен меняться до конца обсуждения. Примером нарушения этого закона может быть подмена понятий, когда, например программирование толкуется как единственное содержание информатики.

Закон непротиворечия: не могут быть одновременно истинны утверждение и его отрицание.

А ∧ =0

Примером противоречивого утверждения может служить утверждение «Идет дождь, и на улице сухо».

Закон исключенного третьего: высказывание может быть или истинным, или ложным, третьего не дано.

А ∨ =1

Закон двойного отрицания: если отрицание утверждения ложно, то исходное утверждение истинно, иначе говоря, дважды примененная операция отрицания дает исходное высказывание.

А =А

1. Правила преобразований.

Законы де Моргана.

2. Правша коммутативности.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

От перемены мест сомножителей произведение не меняется.

Правила ассоциативности.

(АУВ)УС=АУ(ВУС) (А&В)&С=А&(В&С)