Дважды ковариантный тензор, получаемый из Римана тензора
.
путем свертывания верхнего индекса с нижним:
В римановом пространстве V n
P. т. является симметрическим: . В результате свертывания Р. т. с контравариантным метрич. тензором g ij
пространства V n
получается скалярная величина R = g ij R ij ,
называемая и н в а р и а н т о м к р и в и з н ы, или скалярной кривизной V n
. Компоненты Р. т. выражаются через основной метрич. тензор g ij
пространства V n
:
где - символы Кристоффеля 2-го рода, вычисленные относительно тензора g ij .
Тензор введен Г. Риччи .
Лит.: R i с с i G., "Atti Reale Inst. Veneto", 1903-04, t. 53, № 2, p. 1233-39; Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948. Л. А. Сидоров.
Математическая энциклопедия
Математическая энциклопедия
Математическая энциклопедия
Европейское искусство: Живопись. Скульптура. Графика: Энциклопедия
Европейское искусство: Живопись. Скульптура. Графика: Энциклопедия
Музыкальная энциклопедия
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
Большой энциклопедический словарь
Новая фаворитка Мария-Анна де Риччи-Валевская Вернувшись в Париж, император на некоторое время возомнил себя великим Наполеоном, манеры которого он копировал с семи лет. Он прибыл в ореоле военной славы. Мария-Анна де Риччи-Валевская, новая фаворитка, ждала его.Молодая
РИЧЧИ НИНА Настоящее имя – Мари Адэланд Ньели(род. в 1883 г. – ум. в 1970 г.) Одна из наиболее значительных фигур в мире моды XX столетия. Она не только была ведущим модельером своего времени, но и создала один из знаменитейших Домов моды. Nina Ricci сегодня, как и 70 лет назад,
Маттео Риччи Начиная с VII в. в Китай из стран Ближнего Востока стали переселяться христиане несторианского толка. Их количество заметно увеличилось после завоевания в XIII в. страны монголами. Они построили несколько церквей в городах и имели несколько десятков тысяч
Метрический тензор Римана: новая теорема Пифагора Риману понадобилось несколько месяцев, чтобы оправиться от последствий нервного срыва. Его доклад, наконец прочитанный в 1854 г., приняли с воодушевлением. В ретроспективе это был, бесспорно, один из наиболее выдающихся
Из книги История города Рима в Средние века автора Грегоровиус Фердинанд3. Урбан V, папа. - Война против Бернабо. - Рим чествует папу. - Россо де Риччи, сенатор, 1362 г. - Римляне приглашают папу вернуться. - Мир с Веллетри. - Мир с Бернабо. - Государственная деятельность Альборноца. - Ревизия римских статутов. - Продолжение демократического
Нина Риччи (1883–1970)В отличие от своих знаменитых коллег, Габриэль Шанель и Эльзы Скьяпарелли, она не была новатором. Нет. Она просто старалась делать женщин безупречно женственными, а разве этого мало? А её дом моды в результате оказался одним из немногих, возникших в ту Из книги Христианство и китайская культура автора
Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор , есть симметричная билинейная форма на касательном пространстве риманова многообразия . Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма , то есть степень отличия n -мерных областей n -мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. См. геометрический смысл тензора Риччи.
Пусть - n- мерное риманово многообразие , а - касательное пространство к M в точке p . Для любой пары касательных векторов в точке p , тензор Риччи , по определению, отображает в след линейного автоморфизма , заданного тензором кривизны Римана R :
Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:
где - след тензора Римана в координатном представлении.
В окрестности любой точки p риманова многообразия можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты , в которых геодезические из точки p совпадают с прямыми, проходящими через начало координат. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства (или метрике Минковского в случае псевдориманова многообразия).
В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p :
Таким образом, если кривизна Риччи положительна в направлении вектора , то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении , будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.
Пусть есть полное -мерное риманово многообразие с
Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор , есть симметричная билинейная форма на касательном пространстве риманова многообразия . Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма , то есть степень отличия n -мерных областей n -мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. Смотри геометрический смысл тензора Риччи.
Обычно обозначается R i c {displaystyle mathrm {Ric} } или .
Пусть - n- мерное риманово многообразие , а T p M {displaystyle T_{p}M} - касательное пространство к M в точке p . Для любой пары ξ , η ∈ T p M {displaystyle xi ,eta in T_{p}M} касательных векторов в точке p , тензор Риччи R i c (ξ , η) {displaystyle mathrm {Ric} (xi ,eta)} , по определению, отображает (ξ , η) {displaystyle (xi ,eta)} в след линейного автоморфизма T p M → T p M {displaystyle T_{p}Mto T_{p}M} , заданного тензором кривизны Римана R :
ζ ↦ R (ζ , η) ξ {displaystyle zeta mapsto R(zeta ,eta)xi }Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:
Ric = R i j d x i ⊗ d x j {displaystyle operatorname {Ric} =R_{ij},dx^{i}otimes dx^{j}}где R i j = R k i k j . {displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.} - след тензора Римана в координатном представлении.
В окрестности любой точки p риманова многообразия (M , g) {displaystyle (M,g)} можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты, в которых геодезические из точки p совпадают с прямыми, проходящими через начало координат. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства δ i j {displaystyle delta _{ij}} (или метрике Минковского η i j {displaystyle eta _{ij}} в случае псевдориманова многообразия).
В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p :
d μ g = [ 1 − 1 6 R j k x j x k + O (| x | 3) ] d μ Евклида {displaystyle dmu _{g}={Big [}1-{frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{3}){Big ]}dmu _{text{Евклида}}}Таким образом, если кривизна Риччи Ric (ξ , ξ) {displaystyle {textrm {Ric}}(xi ,xi)} положительна в направлении вектора ξ {displaystyle xi } , то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении ξ {displaystyle xi } , будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора ξ {displaystyle xi } будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым. с Ric M ≥ (n − 1) κ {displaystyle operatorname {Ric} _{M}geq (n-1)kappa }
есть невозрастающая функция от r {displaystyle r} .Есть симметричная билинейная форма на касательном пространстве риманова многообразия . Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма , то есть степень отличия n -мерных областей n -мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. См. геометрический смысл тензора Риччи.
Пусть texvc
- n-
мерное риманово многообразие , а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_pM
- касательное пространство к M
в точке p
. Для любой пары Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \xi, \eta\in T_pM
касательных векторов в точке p
, тензор Риччи Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ric} (\xi , \eta)
, по определению, отображает Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\xi, \eta)
в след линейного автоморфизма Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_pM\to T_pM
, заданного тензором кривизны Римана R
:
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \zeta \mapsto R(\zeta,\eta) \xi
Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i \otimes dx^j
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_{ij} = {R^k}_{ikj}.
- след тензора Римана в координатном представлении.
В окрестности любой точки p
риманова многообразия Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): (M,g)
можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты , в которых геодезические из точки p
совпадают с прямыми, проходящими через начало координат.
Кроме того, в самой точке p
метрический тензор равен метрике евклидова пространства Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \delta_{ij}
(или метрике Минковского Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \eta_{ij}
в случае псевдориманова многообразия).
В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p :
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): d\mu_g = \Big[ 1 - \frac{1}{6}R_{jk}x^jx^k+ O(|x|^3)\Big] d\mu_{{\rm Euclidean}}
Таким образом, если кривизна Риччи Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \textrm{Ric}(\xi , \xi)
положительна в направлении вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
, то узкий конус геодезических, исходящих из точки p
в направлении Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \xi
, будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \xi
будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.
Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
есть полное Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
-мерное риманово многообразие с Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Ric}_M\ge (n-1)\kappa
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): p\in M
, обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): v_p(r)
есть объём шара радиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
с центром в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): p
. обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \tilde v(r)
объём шара радиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): r
в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): n
-мерном пространстве постоянной кривизны Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \kappa
. Тогда отношение
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{v_p(r)}{\tilde v(r)}
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): r
.
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \kappa=1
то собственные числа лапласиана на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): M
не меньше чем у единичной Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): n
-мерной сферы.