а) Последовательность прямоугольных импульсов .

Рис 2. Последовательность прямоугольных импульсов.

Данный сигнал является четной функцией и для его представления удобно использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье:

. (17)

Длительность импульсов и период их следования входят в полученную формулу в виде отношения, которое называется скважностью последовательности импульсов :.

. (18)

Значение постоянного слагаемого ряда с учетом соответствует:

.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:

. (19)

График функции носит лепестковый характер. Горизонтальную ось градуируют в номерах гармоник и в частотах.

Рис 3. Представление последовательности прямоугольных импульсов

в виде ряда Фурье.

Ширина лепестков , измеренная в количестве гармоник, равна скважности (при , имеем , если ). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности . Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов . Ширина лепестков, измеренная в единицах частоты, равна , т.е. обратно пропорциональна длительности сигнала. Можно сделать вывод: чем короче импульс, тем шире спектр .

б) Пилообразный сигнал.

Рис 4. Пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал в пределах периода описывается линейной функцией

, . (20)

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме содержит только синусные составляющие:

Ряд Фурье пилообразного сигнала имеет вид:

Для спектров прямоугольного и пилообразного сигналов характерно, что амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально .

в) Последовательность треугольных импульсов .

Ряд Фурье имеет вид:

Рис 5. Последовательность треугольных импульсов.

Как видим, в отличие от последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник. Это связано с тем, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала.

Лекция №3. Преобразование Фурье.

Свойства преобразования Фурье.

1.3 Сделать общие выводы.

Часть 2

Цель работы: углубление теоретических знаний, полученных в ходе изучения преобразования Фурье (Fourier Transform)

Необходимые теоретические сведения.

Изменяя период Т и длительность импульса как показано на рис. 7, можно изменять спектр сигнала. С увеличением периода гармоники сближаются, не изменяя форму огибающей.

Рис.7 – Изменение спектра

Смоделируем одиночный прямоугольный импульс, периодическую последовательность импульсов с периодом Т и 10Т .

t = 0:.0314:25; y= square(2*pi*t/10, pi*pi); z = rectpuls(2*pi*t1/10); subplot(4,2,1); plot(t,x) subplot(4,2,2); plot(t,y) subplot(4,2,3); plot(t1,z)

Проведем спектральный анализ полученных сигналов. Непериодические процессы - таковыми являются информационные сигналы , одиночные импульсы , хаотические колебания (шумы ) - обладают сплошным или непрерывным спектром. Интуитивно к такому выводу можно прийти, представляя одиночный импульс частью периодической последовательности, период которой неограниченно увеличивается. Действительно, при увеличении интервала между импульсами гармоники на спектральных диаграммах периодических последовательностей импульсов сближаются: чем реже следуют импульсы, тем меньше расстояние между соседними гармониками (оно равно 1/T ). Спектр одиночного импульса (предельный случай увеличения периода) становится непрерывным, и вводится он не рядами, а интегралами Фурье .

Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрально­го анализа непериодических сигналов.

В описанных ниже функциях реализован особый метод быстрого преобразования Фурье (БПФ) - Fast Fourier Transform (FFT ), позволяющий резко уменьшить число арифметических операций в ходе приведенных выше преобразований. Метод особенно эффективен, если число обрабатываемых элементов (отсчетов) составляет 2 n , где n - целое положительное число. В MatLab используются следующие функции:

fft(X ) - возвращает для вектора X дискретное преобразование Фурье, по возможности используя алгоритм быстрого преобразования Фурье. Если X - матрица, функция fft возвращает преобразование Фурье для каждого столбца матрицы;

fft(X.n) - возвращает n-точечное преобразование Фурье. Если длина вектора X меньше n, то недостающие элементы заполняются нулями. Если длина X больше п, то лишние элементы удаляются. Когда X - матрица, длина столбцов корректируется аналогично;

ft(X,[ Ldirn) и fft(X,n,dim) - применяют преобразование Фурье к одной из размерностей массива в зависимости от значения параметра dim .

Возможно одномерное обратное преобразование Фурье, реализуемое следующими функциями:

ifft(F) - возвращает результат дискретного обратного преобразования Фурье вектора F . Если F - матрица, то ifft возвращает обратное преобразование Фурье для каждого столбца этой матрицы;

ifft(F.n) - возвращает результат n-точечного дискретного обратного преобразования Фурье вектора F ;

ifft(F.,dim) иу = ifft(X,n,dim) - возвращают результат обратного дискретного преобразования Фурье массива F по строкам или по столбцам в зависимости от значения скаляра dim .

Для любого X результат последовательного выполнения прямого и обратного преобразований Фурье ifft(fft(x)) равен X с точностью до погрешности округления. Если X - массив действительных чисел, ifft(fft(x)) может иметь малые мнимые части.

Получим спектры смоделированных сигналов.

Вызовем программу SPTool (Signal Processing Tool) . Импортируем смоделированные сигналы и рассчитаем спектр сигнала. С этой целью выделяем сигнал в списке сигналов и нажмите кнопку Create , расположенную под списком спектров. В окне Spectrum Viewer в поле Parameters нужно указать метод спектрального анализа. Указываем метод ДПФ (используется быстрое преобразование Фурье БПФ (FFT)). Указав метод, следует щёлкнуть мышью по кнопке Apply . Будет выведен график спектральной плотности мощности. Имеется возможность выводить спектры в линейном или в логарифмическом масштабе (меню Options ).

Непрерывным (сплошным) является спектр хаотических (шумовых ) колебаний . В этом случае спектральная характеристика, как функция частоты, также представляет собой хаотический (случайный ) процесс , статистические параметры которого определяются спецификой конкретного случайного временного процесса. Сформируем сигнал, содержащий регулярные составляющие с частотами 50 Гц и 120 Гц и случайную аддитивную компоненту с нулевым средним.

ЗАДАНИЕ 2

Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Как уже было сказано выше, периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирихле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье:

s(t) = S n exp(jnDwt), S n = S(nDw), Dw = 2p/T, (1)

где весовые коэффициенты S n ряда определяются по формуле:

S n = (1/T) s(t) exp(-jnDwt) dt. (2)

Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jnDwt) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Функцию весовых коэффициентов S(nDw ) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых значений n с шагом по частоте, обратным периоду: Dw = 2p/Т (или Df = 1/T ). Первую частотную составляющую спектра при n = 1, равную w 1 = 1×Dw = 2p/T (или f 1 = 1/T ), называют основной частотой сигнала (первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектра nw 1 при n>1 называют гармониками сигнала. Значения S(nDw) по положительным и отрицательным значениям n являются комплексно сопряженными.

С чисто математических позиций множество функций exp(jnDwt) , -¥ < n < ¥ образует бесконечномерный базис линейного пространства L 2 ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты S n по (2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти базисные функции. Соответственно, сигнал s(t) в форме ряда Фурье (1) – это бесконечномерный вектор в пространстве L 2 , точка с координатами S n по базисным осям пространства exp(jnDwt). Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (2) с использованием тождества Эйлера

exp(±jwt) = cos(wt) ± j×sin(wt)

можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:

S n = (1/T) s(t) dt = А n - jB n . (3)

A n ≡ A(nDw) = (1/T) s(t) cos(nDwt) dt, (4)

B n ≡ B(nDw) = (1/T) s(t) sin(nDwt) dt. (5)

На рис. 4 приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс на интервале (1-3.3), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спектра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(nDw) = A(-nDw), так как при вычислении значений A(nDw) по формуле (4) используется четная косинусная функция cos(nDwt) = cos(-nDwt). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(nDw) = -B(-nDw), так как для ее вычисления по (5) используется нечетная синусная функция sin(nDwt) = - sin(-nDwt).

Рис. 4. Сигнал и его комплексный спектр.

Комплексные числа дискретной функции (3) могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплекс. экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:

S n = R n exp(jj n), (3")

R n 2 ≡ R 2 (nDw) = A 2 (nDw)+B 2 (nDw),j n ≡ j(nDw) = arctg(-B(nDw)/A(nDw)).

Рис. 5. Модуль и аргумент спектра.

Модуль спектра R(nDw) называют двусторонним спектром амплитуд или АЧХ - сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов j(nDw)) - двусторонним спектром фаз или ФЧХ. Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию: R(nDw) = R(-nDw), а спектр фаз нечетную: j(nDw) = -j(-nDw). Пример спектра в амплитудном и фазовом представлении для сигнала, показанного на рис. 4, приведен на рис. 5. При рассмотрении спектра фаз следует учитывать периодичность 2p угловой частоты (при уменьшении фазового значения до величины менее -p происходит сброс значения -2p).

Если функция s(t) является четной, то все значения B(nDw) по (5) равны нулю, т.к. четные функции ортогональны синусным гармоникам и подынтегральное произведение s(t)·sin(nDwt) дает нулевой интеграл. Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все значения коэффициентов А(nDw) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым. Этот фактор не зависит от выбора границ задания периода функции на числовой оси. На рис. 6(А) можно наглядно видеть ортогональность первой гармоники синуса и четной функции, а на рис. 6(В) соответственно косинуса и нечетной функции в пределах одного периода. Учитывая кратность частот последующих гармоник первой гармонике спектра, ортогональность сохраняется для всех гармоник ряда Фурье.

Рис. 6. Ортогональность функций.

При n = 0 имеем В о = 0, и получаем постоянную составляющую сигнала:

S 0 ≡ A o ≡ R o ≡ (1/T) s(t) dt.

2.5. Тригонометрическая форма рядов Фурье.

Объединяя комплексно сопряженные составляющие (члены ряда, симметричные относительно центрального члена ряда S 0), можно перейти к ряду Фурье в тригонометрической форме:

s(t) = А о +2 (A n cos(nDwt) + B n sin(nDwt)), (6)
s(t) = А о +2 R n cos(nDwt + j n). (6")

Значения A n , B n вычисляются по формулам (4-5), значения R n и j n - по формулам (3").

Ряд (6) представляют собой разложение периодического сигнала s(t) на сумму вещественных элементарных гармонических функций (косинусных и синусных) с весовыми коэффициентами, удвоенные значения которых (т.е. значения 2×A n , 2×B n) не что иное, как амплитуды соответствующих гармонических колебаний с частотами nDw. Совокупность амплитудных значений этих гармоник образует односторонний физически реальный (только для положительных частот nDw) спектр сигнала. Для сигнала на рис. 4, например, он полностью повторяет правую половину приведенных на рисунке спектров с удвоенными значениями амплитуд (за исключением значения А о на нулевой частоте, которое, как это следует из (6), не удваивается). Но такое графическое отображение спектров используется довольно редко (за исключением чисто технических приложений). Более широкое применение для отображения физически реальных спектров находит формула (6"). Спектр амплитуд косинусных гармоник при таком отображении называется амплитудно-частотным составом сигнала, а спектр фазовых углов гармоник – фазовой характеристикой сигнала. Форма спектров повторяет правую половину соответствующих двусторонних спектров (см. рис. 5) также с удвоенными значениями амплитуд. Для четных сигналов отсчеты фазового спектра могут принимать только значения 0 или p, для нечетных соответственно ±p/2.

Ряды Фурье произвольных аналоговых периодических сигналов могут содержать бесконечно большое количество членов. Однако одним из важных достоинств преобразования Фурье является то, что при ограничении (усечении) ряда Фурье до любого конечного числа его членов обеспечивается наилучшее по средней квадратической погрешности приближение к исходной функции (для данного количества членов).

На верхнем графике рисунка 7 приведен реконструированный сигнал при N = 8 (гармоники первого пика спектра, центр которого соответствует главной гармонике сигнала и члену ряда n = w s /Dw), N = 16 (гармоники двух первых пиков) и N=40 (пять первых пиков спектра). Естественно, что чем больше членов ряда включено в реконструкцию, тем ближе реконструированный сигнал к форме исходного сигнала. Принцип последовательного приближения к исходной форме наглядно виден на нижнем графике рисунка. На нем же можно видеть и причины появления пульсаций на реконструкции скачков функций, которые носят название эффекта Гиббса . При изменении количества суммируемых членов ряда эффект Гиббса не исчезает. Не изменяется также относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка) и относительное затухание (по коэффициенту последовательного уменьшения амплитуды пульсаций по отношению к максимальному выбросу), изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник.

Эффект Гиббса имеет место всегда при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности функции.

В ряд Фурье может разлагаться и произвольная непериодическая функция, заданная (ограниченная, вырезанная из другого сигнала, и т.п.) на интервале (a,b), если нас не интересует ее поведение за пределами данного интервала. Однако следует помнить, что применение формул (1-6) автоматически означает периодическое продолжение данной функции за пределами заданного интервала (в обе стороны от него) с периодом Т = b-a. Однако при этом на краях интервала может возникнуть явление Гиббса, если уровень сигнала на краях не совпадает и образуются скачки сигнала при его периодическом повторении, как это видно на рис. 8. При разложении исходной функции в ограниченный ряд Фурье и его обработке в частотной области на самом деле при этом обрабатывается не исходная функция, а реконструированная из ограниченного ряда Фурье. При усечении рядов Фурье определенное искажение функций существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций) этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.

Рис. 7. Реконструкция (восстановление) сигнала

Рис. 8. Проявление эффекта Гиббса

Похожая информация.

2.1. Спектры периодических сигналов

Периодическим сигналом (током или напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется через некоторый интервал времени T , который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой, периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими или несинусоидальными . Можно показать, и практика это доказывает, что, если входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими. При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.

Существует общая методика исследования периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е. синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное равенство: . Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота колебания которой связана с периодом T целочисленными соотношениями.

Для рассматриваемого примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического сигнала T 1 = T , а период второй гармоники в два раза меньшим T 2 = T /2, т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:

Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( ), а начальные фазы равны нулю.

Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй гармоники

негармонического сигнала

В электротехнике гармоническая составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется первой или основной гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется

k - ой гармоникой. Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой гармоникой. В общем случае ряд Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих разных частот:

(2.1)

где k - номер гармоники; - угловая частота k - ой гармоники;

ω 1 = ω =2 π / T - угловая частота первой гармоники; - нулевая гармоника.

Для сигналов часто встречающихся форм разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2 приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить, что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала отсчета времени t будут изменяться начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину, измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в амперах, если это сигнал тока.

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Таблица 2

График f (t )	Ряд Фурье функции f (t )	Примечание
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

Сигналы 7 и 8 формируются из синусоиды посредством схем, использующих вентильные элементы.

Совокупность гармонических составляющих, образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого негармонического сигнала. Из этого набора гармоник выделяют и различают амплитудный и фазовый спектр. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех гармоник, который обычно представляют диаграммой в виде набора вертикальных линий, длины которых пропорциональны (в выбранном масштабе) амплитудным значениям гармонических составляющих, а место на горизонтальной оси определяется частотой (номером гармоники) данной составляющей. Аналогично рассматривают фазовые спектры как совокупность начальных фаз всех гармоник; их также изображают в масштабе в виде набора вертикальных линий.

Следует заметить, что начальные фазы в электротехнике принято измерять в пределах от –180 0 до +180 0 . Спектры, состоящие из отдельных линий, называют линейчатыми или дискретными . Спектральные линии находятся на расстоянии f друг от друга, где f - частотный интервал, равный частоте первой гармоники f .Таким образом, дискретные спектры периодических сигналов имеют спектральные составляющие с кратными частотами - f , 2f , 3f , 4f , 5f и т.д.

Пример 2.1. Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала прямоугольной формы, когда длительности положительного и отрицательного сигнала равны, а среднее значение функции за период равно нулю

u (t ) = Vпри0<t <T /2

u (t ) = -VприT /2<t <T

Для сигналов простыхчасто используемых форм решение целесообразно находить с помощью таблиц.

Рис. 2.2. Линейчатый амплитудный спектр прямоугольного сигнала

Из разложения в ряд Фурье сигнала прямоугольной формы (см. табл.2 - 1) следует, что гармонический ряд содержит только нечетные гармоники, при этом амплитуды гармоник убывают пропорционально номеру гармоники. Амплитудный линейчатый спектр гармоник представлен на рис. 2.2. При построении принято, что амплитуда первой гармоники (здесь напряжения) равна одному вольту: B; тогда амплитуда третьей гармоники будет равна B, пятой - B и т.д. Начальные фазы всех гармоник сигнала равны нулю, следовательно, фазовый спектр имеет только нулевые значения ординат.

Задача решена.

Пример 2.2. Найти амплитудный и фазовый спектр для напряжения, изменяющегося по закону: при -T /4<t <T /4; u (t ) = 0 при T /4<t <3/4T . Такой сигнал формируется из синусоиды посредством исключения (схемным путем с использованием вентильных элементов) отрицательной части гармонического сигнала.

а)б)

Рис. 2.3. Линейчатый спектр сигнала однополупериодного выпрямления: а)амплитудный; б)фазовый

Для сигнала однополупериодного выпрямления синусоидального напряжения (см. табл.2 - 8) ряд Фурье содержит постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую гармонику и далее набор только четных гармоник, амплитуды которых быстро убывают с ростом номера гармоники. Если, например, положить величину V = 100 B, то, умножив каждое слагаемое на общий множитель 2V/π , найдем (2.2)

Амплитудный и фазовый спектры этого сигнала изображены на рис.2.3а,б.

Задача решена.

В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность сигнала t независимо от его формы много меньше периода T , то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6, при выполнении условия τ <<T . Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.