Функция вида , где называется квадратичной функцией .

График квадратичной функции – парабола .

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

То есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :

Давайте подытожим:

1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.

2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример 2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

III уровень

3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе

1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6);

2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;

3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Параметры параболы:

Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром , точка О (0, 0) – вершиной . При этом прямая OF , относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

Величина где M (x , y ) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом , прямая D : x = –p /2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетом параболы.

Основное характеристическое свойство параболы : все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

Решение. 1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О Оx . Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px , находим: 2p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D : x = 2 (рис. 26).

2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy . Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py , находим: 2p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D : y = 1 (рис. 27).

Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x 2 + 8x – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

В результате получим

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).

Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение

(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Определите параметры параболы и построить ее:

1) y 2 = 2x ; 2) y 2 = –3x ;

3) x 2 = 6y ; 4) x 2 = –y .

1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4;

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).

3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.

1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.

II уровень

2.1. Определить тип и параметры кривой.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F и заданной прямой d , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы .

Директориальное свойство параболы

Точка F называется фокусом параболы, прямая d - директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, - вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы - параметром параболы, а расстояние \frac{p}{2} от вершины параболы до её фокуса - фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок FM , соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки M . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.

Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства , и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице (e=1) .

Геометрическое определение параболы , выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,б). Вершину O параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки O к точке F ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Составим уравнение параболы, используя её геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса F\!\left(\frac{p}{2};\,0\right) и уравнение директрисы x=-\frac{p}{2} . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей параболе, имеем:

FM=MM_d,

где M_d\!\left(\frac{p}{2};\,y\right) - ортогональная проекция точки M(x,y) на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:

\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2}=x+\frac{p}{2}.

Возводим обе части уравнения в квадрат: {\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} . Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы

y^2=2\cdot p\cdot x, т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.

Уравнение параболы в полярной системе координат

Уравнение параболы в полярной системе координат Fr\varphi (рис.3.45,в) имеет вид

r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}, где p - параметр параболы, а e=1 - её эксцентриситет.

В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус F параболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке F , перпендикулярный директрисе и не пересекающий её (рис.3.45,в). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем MM_d=r . Поскольку MM_d=p+r\cos\varphi , получаем уравнение параболы в координатной форме:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-\cos\varphi},

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 для ).

Геометрический смысл параметра в уравнении параболы

Поясним геометрический смысл параметра p в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51) x=\frac{p}{2} , получаем y^2=p^2 , т.е. y=\pm p . Следовательно, параметр p - это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы.

Фокальным параметром параболы , так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при \varphi=\frac{\pi}{2} получаем r=p , т.е. параметр параболы совпадает с её фокальным параметром.

Замечания 3.11.

1. Параметр p параболы характеризует её форму. Чем больше p , тем шире ветви параболы, чем ближе p к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).

2. Уравнение y^2=-2px (при p>0 ) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат Oxy и каноническая Ox"y" .

3. Уравнение (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 определяет параболу с вершиной O"(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

Уравнение (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0 , также определяет параболу с вершиной O"(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат Ox"y" .

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 является параболой с вершиной в точке O"\!\left(-\frac{b}{2a};\,-\frac{b^2-4ac}{4a}\right) , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при a>0 ) или вниз (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\!,

которое приводится к каноническому виду (y")^2=2px" , где p=\left|\frac{1}{2a}\right| , при помощи замены y"=x+\frac{b}{2a} и x"=\pm\!\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right) .

Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента a . Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с x_0=-\frac{b}{2a} и y_0=-\frac{b^2-4ac}{4a} , переименования координатных осей (3.38), а в случае a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 и a<0 соответственно.

5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы , поскольку замена переменной y на -y не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки M(x,y) , принадлежащей параболе, и координаты точки M"(x,-y) , симметричной точке M относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы .

Пример 3.22. Изобразить параболу y^2=2x в канонической системе координат Oxy . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.

Решение. Строим параболу, учитывая её симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя x=2 в уравнение параболы, получаем y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2 . Следовательно, точки с координатами (2;2),\,(2;-2) принадлежат параболе.

Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: p=1 . Координаты фокуса x_F=\frac{p}{2}=\frac{1}{2},~y_F=0 , т.е. F\!\left(\frac{1}{2},\,0\right) . Составляем уравнение директрисы x=-\frac{p}{2} , т.е. x=-\frac{1}{2} .

Общие свойства эллипса, гиперболы, параболы

1. Директориальное свойство может быть использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e , называется:

а) , если 0\leqslant e<1 ;

б) , если e>1 ;

в) параболой , если e=1 .

2. Эллипс, гипербола, парабола получаются в сечениях кругового конуса плоскостями и поэтому называются коническими сечениями . Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы.

3. К числу общих свойств эллипса, гиперболы и параболы можно отнести биссекториальное свойство их касательных. Под касательной к линии в некоторой её точке K понимается предельное положение секущей KM , когда точка M , оставаясь на рассматриваемой линии, стремится к точке K . Прямая, перпендикулярная касательной к линии и проходящая через точку касания, называется нормалью к этой линии.

Биссекториальное свойство касательных (и нормалей) к эллипсу, гиперболе и параболе формулируется следующим образом: касательная (нормаль) к эллипсу или к гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами точки касания (рис.3.51,а,б); касательная (нормаль) к параболе образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опущенным из нее на директрису (рис.3.51,в). Другими словами, касательная к эллипсу в точке K является биссектрисой внешнего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль - биссектрисой внутреннего угла F_1KF_2 треугольника); касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль - биссектрисой внешнего угла); касательная к параболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника FKK_d (а нормаль - биссектрисой внешнего угла). Биссекториальное свойство касательной к параболе можно сформулировать так же, как для эллипса и гиперболы, если считать, что у параболы имеется второй фокус в бесконечно удаленной точке.

4. Из биссекториальных свойств следуют оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы , поясняющие физический смысл термина "фокус". Представим себе поверхности, образованные вращением эллипса, гиперболы или параболы вокруг фокальной оси. Если на эти поверхности нанести отражающее покрытие, то получаются эллиптическое, гиперболическое и параболическое зеркала. Согласно закону оптики, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения, т.е. падающий и отраженный лучи образуют равные углы с нормалью к поверхности, причем оба луча и ось вращения находятся в одной плоскости. Отсюда получаем следующие свойства:

– если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (рис.3.52,а);

– если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, расходятся так, как если бы они исходили из другого фокуса (рис.3.52,б);

– если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, идут параллельно фокальной оси (рис.3.52,в).

5. Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы можно сформулировать следующим образом:

– середины параллельных хорд эллипса (гиперболы) лежат на одной прямой, проходящей через центр эллипса (гиперболы) ;

– середины параллельных хорд параболы лежат на прямой, коллинеарной оси симметрии параболы .

Геометрическое место середин всех параллельных хорд эллипса (гиперболы, параболы) называют диаметром эллипса (гиперболы, параболы) , сопряженным к этим хордам.

Это определение диаметра в узком смысле (см. пример 2.8). Ранее было дано определение диаметра в широком смысле, где диаметром эллипса, гиперболы, параболы, а также других линий второго порядка называется прямая, содержащая середины всех параллельных хорд. В узком смысле диаметром эллипса является любая хорда, проходящая через его центр (рис.3.53,а); диаметром гиперболы является любая прямая, проходящая через центр гиперболы (за исключением асимптот), либо часть такой прямой (рис.3.53,6); диаметром параболы является любой луч, исходящий из некоторой точки параболы и коллинеарный оси симметрии (рис.3.53,в).

Два диаметра, каждый их которых делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. На рис.3.53 полужирными линиями изображены сопряженные диаметры эллипса, гиперболы, параболы.

Касательную к эллипсу (гиперболе, параболе) в точке K можно определить как предельное положение параллельных секущих M_1M_2 , когда точки M_1 и M_2 , оставаясь на рассматриваемой линии, стремятся к точке K . Из этого определения следует, что касательная, параллельная хордам, проходит через конец диаметра, сопряженного к этим хордам.

6. Эллипс, гипербола и парабола имеют, кроме приведенных выше, многочисленные геометрические свойства и физические приложения. Например, рис.3.50 может служить иллюстрацией траекторий движения космических объектов, находящихся в окрестности центра F притяжения.

Астрономы могут похвастаться очередной значительной находкой. На этот раз они напали на след двух звёздных скоплений, в каждом из которых есть массивные звёзды. Открытие в мгновение перечеркнуло ранее принятый теоретический предел массы космических гигантов. Масса одной из найденных звёзд при рождении превышала массу Солнца в 150 масс и составляла около 300 масс.

Астрономы могут похвастаться очередной существенной находкой. На этот раз они напали на след 2-х звёздных скоплений, в каждом из которых есть массивные звезды. Открытие в мгновение перечеркнуло раньше принятый гипотетический предел многих космических гигантов. Масса одной из найденных кинозвезд при рождении превышала массу Солнца в 150 масс и составляла около 300 масс. Благодаря открытию скопления космических монстров, исследователи смогут вычислить предел многих кинозвезд.
Кинозвезды-великаны были обнаружены в молодых скоплениях NGC 3603 и RMC 136. Исследованиями занимались исследователи из Университета Шеффилда. Группа под руководством проф. астрофизики Пола Кроутера (Paul Crowther) наблюдала за объектами с помощью инфракрасного аппарата 8-метрового телескопа VLT ESO. За исключением этого в наблюдениях были использованы архивные данные телескопа Хаббл.
В звёздном скоплении NGC 3603 случается непрерывный процесс рождения новых кинозвезд. Они образовываются в протяженных газово-пылевых облаках. В отличие от RMC 136 скопление NGC 3603 располагается в системе Млечный путь, на расстоянии от Солнца всего в 22 000 световых лет. II-е звёздное скопление, тоже небезызвестное как R136 располагается на ещё более значительном расстоянии от Солнца-165 000 световых лет (туманность Тарантул, галактика Большое Магелланово Облако). И, соответственно, выходит за пределы нашей Галактики. Объекты там отличаются возрастом, гигантской массой и весьма высокой температурой.
Проводимые раньше исследования указывали, что в скоплениях весьма вероятно присутствие кинозвезд-гигантов. Однако лишь теперь астрономам удалось отыскать объекты в десятки раз ярче и массивнее Солнца. Температура поверхности кинозвезд превышает температуру поверхности Солнца в 7раз (около 40 000 градусов). Модельные расчёты указывают на то, что гипергиганты сформировались и имели первоначальную массу более 150 солнечных масс. Самой огромной оказалась R136a1. Теперь масса светила может достигать 265 солнечных масс. Если её сравнить со Звездой Эта Киля (90-100 масс Солнца), то превосходство R136a1 понятно. Это по праву наиболее большая кинозвезда из всех раньше открытых.
Тоже в звёздном скоплении R136 были обнаружены ещё 3 гигантских светила. Их многих составляют 135 и 194 масс Солнца. Есть вероятность, что 1 из них в скором времени увеличится в два раза. Наподобие того, как в скоплении NGC 3603 увеличились многих 2-х кинозвезд. Великаны входили в двойную систему, при формировании их масса составляла примерно 150 солнечных.
От многих светила зависит сила звёздного ветра. Чем массивнее она, тем сильнее порывы ветра с её поверхности. Это к тому же оказывает влияние на продолжительность существования кинозвезды: из-за постоянного ветра, кинозвезда теряет собственную массу. Так около млн. лет тому назад, при собственном рождении, кинозвезда R136a1 обладала массой около 320 солнечных. Каждые 20 тыс. лет она теряла около 1 массу Солнца. Вот и получается, что с того момента она утратила 1/5 собственной первоначальной многих. Суперзвезда R136a1 уже близка к тому моменту, когда она станет сверхновой. До взрыва гиганту остался примерно 1 миллион лет, а это ещё 1/2 отмеренного срока.
Если сопоставить яркость Солнца и кинозвезды R136a1, то получится следующее. В первую очередь, соотношение яркости возможно сравнить с полной Луной. Во столько раз R136a1 будет ярче Солнца. Если кинозвезды поменять местами, то перемены в Солнечной системе произойдут незамедлительно. Масса гиганта повлияет на продолжительность г. на Земле: он сократится до 3-х недель. Сильное ультрафиолетовое облучение испепелит поверхность Земли и, соответственно, жизнь на нашей планете окажется невозможной.
Сверхмассивные кинозвезды- редкое явление. Они рождаются только в плотных звёздных скоплениях, что замедляет процесс исследований. Вся сложность заключается в том, что обнаружить их посреди крупного числа кинозвезд может лишь инфракрасная камера. Её разрешающая способность обязана быть весьма высокой.
Группа ученых из Университета Шеффилда постаралась оценить максимальную массу кинозвезд в скоплениях NGC 3603 и RMC 136. Тоже они старались подсчитать наиболее крупные кинозвезды. Дело в том, что массу одиночной кинозвезды вычислить почти нереально. Требуется, хотя бы, выяснить её температуру и скорость утраты многих. Нижний предел кинозвезд составляет не менее 80 масс Юпитера. Всё, что менее этого размера- бурые лилипуты. Но еще и верхняя планка звездных масс также есть. В виду последних открытий, учёным пришлось серьезно увеличить массовый предел. Сейчас цифра достигает 300 солнечных масс, а это почти вдвое более прошлого массового значения.
Стало известно, что в звёздном скоплении R136 массу более 150 масс Солнца (на миг рождения) имеют лишь 4 кинозвезды. 1 из них, а именно R136a1, создаёт ветер мощностью в 50 раз более, который, к примеру, исходит от туманности Орион. Это максимально близкая к нашей планете область образования кинозвезд. 4 гиганта серьезно влияют на общую картину скопления. Их излучения- уже 1/2 вклада в сильный звёздный ветер скопления R136. II-ая 1/2 принадлежит остальным 100 000 кинозвезд.
Процесс образования гигантских кинозвезд пока не понятен. Узнать это довольно непросто, ведь исследованиям мешают 2 фактора: недолгий срок существования крупных кинозвезд и мощный ветер, который беспрерывно привносит большое число изменений в массу кинозвезд. Потому учёным трудно до окончания разобраться с такими непростыми объектами как R136a1. Непонятен даже путь их образования. Версия о слиянии кинозвезд в одну к тому же остаётся возможной.
Кинозвезды, имеющие от 8 до 150 масс Солнца, живут недолго и взрываются как сверхновые. После себя они оставляют не только лишь нейронные кинозвезды, но еще и вороные дырки. Находка исследователей из Университета Шеффилда лишь увеличивает шанс на существовании теории о экстремально ярких сверхновых. Кинозвезды массой от 150 до 300 солнечных масс появляются из-за неустойчивости, которую вызывают пары частица-античастица. Кинозвезды-великаны взрываются ещё до коллапса в их ядрах. Особенным считается то, что после взрыва подобных мощных кинозвезд не остаётся ничего. При этом они выбрасывают в космос вещество в виде железа с массой до 10 солнечных масс. Существование кинозвезд-гигантов разрешает проблему максимального значения многих светил. За последнее время взрывоопасные объекты уже были обнаружены. Использованы материалы сайта Гомел-сат.

В этой главе изучается операция предельного перехода - основная операция математического анализа. Сначала рассмотрим предел функции натурального аргумента, поскольку все основные результаты теории пределов отчетливо видны в этой простой ситуации. Затем рассмотрим предел в точке функции действительной переменной.

2.1 Предел последовательности

2.1.1 Определение и примеры

Определение 2.1. Функцияf: N → X , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Значения f(n), n N, называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое происходит отображение, снабжая символ соответствующим индексом (аргументом функции f): xn = f(n). Элемент xn называется n-м членом последовательности. В связи с этим последовательность часто обозначают символом {xn } или {xn }+ n=1 ∞ , а также записывают в виде x1 , x2 , . . . , xn , . . . .

В дальнейшем в этой главе будем рассматривать только последовательность f: N → R действительных чисел.

Определение 2.2. Интервал, содержащий точкуa R, называют окрестностью этой точки. Интервал(a − δ, a + δ) ,δ > 0 , называют δ -окрестностью точкиa и обозначаютU a (δ) илиV a (δ) (часто пишут короче:U a илиV a ).

Определение 2.3. Числоa R называют пределом числовой последовательности{x n } , если для любой окрестности точкиa существует номерN N такой, что все элементыx n последовательности, номера которых большеN, содержатся вU a . При этом пишут

n lim→∞ xn = aили lim xn = aили xn → aпри n → ∞.

В логической символике определение 2.3 имеет вид:

a R. a = lim xn Ua N = N(Ua ) N: n > N xn Ua .

Поскольку Ua (ε) = (a − ε, a + ε) = {x R: |x − a| < ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения2.3

Определение 2.4. Числоa называют пределом числовой последовательности{x n } , если для любого положительного числаε найдется номерN = N(ε) такой, что все члены последовательности с номерамиn > N удовлетворяют неравенству|x n − a| < ε .

Соответственно, в логической символике это определение имеет вид: a R, a = lim xn ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε

Замечание. Первые члены последовательности не влияют на существование и величину предела в случае его существования.

Иногда полезна следующая геометрическая интерпретация определения 2.3 предела последовательности:

Число a называется пределом последовательности{x n } , если вне любой окрестности точкиa находится не более конечного числа членов последовательности{x n } .

Ясно, что если вне некоторой окрестности точки a находится бесконечное число членов {xn }, то a не является пределом {xn }.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.1. Если {xn } : xn = c, то lim xn = c, так как все члены последовательности, начиная с первого, принадлежат любой окрестности

Пример 2.2. Покажем, что последовательность {xn } : xn =

имеет предел и lim xn = 0.

Зафиксируем ε > 0. Так как

≤ n

< ε для n >

То, полагая N = max{1, }, получим:

|xn | ≤

Следовательно, ε > 0 N = max{1, } N: n > N |xn | < ε.

Замечание. Одновременно мы доказали, что lim

Пример 2.3. Покажем, что lim

0, если q > 1.

Поскольку q > 1, то q = 1 + α, где α > 0. Поэтому n > 1 по формуле бинома Ньютона

qn = 1 + nα +n(n − 1) α2 + · · · + αn > nα.

Отсюда следует, что							N > 1. Зафиксируем ε > 0, положим
N = max{1, } и получим, что

Итак, ε > 0 N = max{1, } N: n > N |1/qn | < ε.

Пример 2.4. Покажем, что последовательность {xn } : xn = (−1)n , не имеет предела.

Для любого числа a укажем такую окрестность, вне которой расположено бесконечное множество членов данной последовательности. Для этого зафиксируем точку a R и рассмотрим ee единичную окрестность Ua (1) = (a − 1, a + 1). Поскольку x2k = 1, x2k+1 = −1, k N, и хотя бы одно из чисел +1 или −1 не принадлежит Ua (1), то вне Ua (1) находится бесконечное множество членов последовательности {xn }. Следовательно, число a не является её пределом. В силу произвольности числа a заключаем, что @ lim xn .

Определение 2.5. Числовая последовательность, имеющая пределом число, называется сходящейся. Все остальные последовательности называются расходящимися.

В логической символике определение 2.5 имеет вид: {xn } сходится a R: lim xn = a.

дящимися, а последовательность {(−1)n } - расходящейся.

2.1.2 Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 2.1. Последовательность не может иметь двух различных пределов.

Пусть числовая последовательность {xn } имеет два различных предела a и b. Для определенности будем считать, что a < b. Положим

ε = b − 2 a . По определению2.4 предела последовательности найдем N1 и

n −

такие, что

n > N , то есть

| n −

Тогда n > N = max{N1 , N2 }

< xn <

Чего быть не может.

Определение 2.6. Числовая последовательность {x n } называется ограниченной сверху (соответственно, снизу или ограниченной), если множество X = {x n | n N} является ограниченным сверху (снизу или ограниченным). Если X - неограниченное множество, то {x n } называется неограниченной последовательностью.

C учетом определений 2.1 и2.2 имеем:

{xn } ограничена сверху M R: n N xn ≤ M, {xn } ограничена снизу M R: n N xn ≥ M, {xn } ограничена M > 0: n N |xn | ≤ M,

{xn } не ограничена M > 0 n N: |xn | > M.

Теорема 2.2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Пусть последовательность {xn } сходится и lim xn = d. Полагая в определении2.4 ε = 1, найдем номер N такой, что |xn − d| < 1, n > N, то есть d − 1 < xn < d + 1, n > N. Введем обозначения:

a = min{x1 , x2 , . . . , xN , d − 1}, b = max{x1 , x2 , . . . , xN , d + 1}.

Тогда a ≤ xn ≤ b, n N.

Замечание. Ограниченность последовательности - необходимое, но недостаточное условие сходимости (см.пример 4) .

Теорема 2.3. Если числовая последовательность {x n } сходится и lim x n = a , то последовательность {|x n |} сходится и lim |x n | = |a|.

Так как a = lim xn , то ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε.

Отсюда следует, что n > N ||xn | − |a|| ≤ |xn − a| < ε.

Замечание 1. Из теоремы2.3 и примера3 следует, что при |q| > 1

lim q n = 0.

Замечание 2. Обратное утверждение к теореме2.3 не имеет места.