Опр. Индукционные токи, возникающие в массивных проводинах при их движении в магнитном поле или под влиянием переменного магнитного поля, называются вихревыми токами или токами Фуко.

Сила вихревого тока удовлетворяет соотношению , где потокосцепление замкнутого контура вихревого тока. электрическое сопротивление цепи этого тока. Сопротивление тем меньше, чем больше удельная проводимость материала проводника и чем больше его размеры. В массивных проводниках мало и вихревые токи могут достигать большой силы даже в не очень быстро меняющихся магнитных полях.

В соответствии с правилом Ленца токи Фуко выбирают внутри проводника такие пути и направления, чтобы своим действием возможно сильнее противиться причине, которая их вызывает.

Вихревые токи вызывают сильное нагревание проводников. Поэтому в индукционных печах, служащих для плавки металлов при помощи вихревых токов, магнитное поле создается переменным током высокой частоты. Печь - катушка, питаемая высокочастотным током большой силы. Если поместить внутрь катушки проводящее тело, то в нем возникнут интенсивные вихревые токи, кот могут разогреть тело до плавления. Таким способом осуществляют плавление металла в вакууме, что позволяет получать материалы исключительно высокой частоты.

В электрических машинах и трансформаторах вихревые токи приводят к значительным потерям энергии. Ввиду этого магнитные цепи электрических машин и сердечники трансформаторов делают не сплошными, а собирают из отдельных тонких листов железа, изолированных друг от друга специальным лаком или окалиной. Вихревые токи образуются в плоскостях, перпендикулярных линиям магнитной индукции (тока «охватывают» линии индукции). Поэтому плоскости пластин, из которых собирают магнитные цепи, следует располагать параллельно линиям магнитной индукции.

Токи Фуко используются в индукционных печах, при вакуумной плавке, для получения тепла в различных нагревательных устройствах.

На заводе Электросталь есть вакуумные индукционные печи (от 30 кг до тонны), в институте 150 кг

Токи Фуко, возникающие в проводах, по которым текут переменные токи, направлены так, что ослабляют ток внутри провода и усиливают вблизи поверхности. При прохождении по проводнику быстропеременных токов они вытесняются на поверхность проводника, а внутри проводника ток практически отсутствует. Это явление называют скин-эффектом (от английскогоskin-кожа) или поверхностным эффектом . В таких случаях проводники можно делать полыми. Этот эффект можно использовать для термической закалки проводников и отжига поверхностных дефектов.

2. Явление самоиндукции . При изменении магнитного поля тока, идущего по проводнику, э.д.с. индукции возникает не только в соседних проводниках, но и в нем самом, поскольку этот проводник находится в том же магнитном поле. Возникновение э.д.с. в каком – либо проводнике при изменении силы тока в нем же самом наз. самоиндукцией , а ток, индуцируемый в этом проводнике – током самоиндукции . Вследствие самоиндукции при замыкании цепи сила тока не сразу достигает своего установившегося значения, а через некоторый промежуток времени; при размыкании цепи э.д.с. исчезает не сразу, вследствие чего в месте размыкания появляется искра, а если есть другой замкнутый контур, то в нем продолжает идти слабый ток.

Магнитный поток, создаваемый током в контуре с индуктивностью : . Индуктивность зависит от геометрических свойств (формы и размеров) контура и магнитных свойств (магнитной проницаемости) окружающей среды. Единицы индуктивности: генри .

1Гн – индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1А равен 1Вб. 1Гн=1Вб/А=1В*с/А.

Потокосцепление пропорционально силе тока, протекающего по контуру: .Линейная зависимость от наблюдается только в том случае, если среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля , т.е. в отсутствие ферромагнетиков. Иначе зависит от и зависимостьот будет сложной. В этом случае , но индуктивность считается функцией от .

Электродвижущая сила самоиндукции . в замкнутом контуре (контур не деформируется и не меняется) при изменении силы тока в нем, пропорциональна скорости изменения силы тока со временем: , где индуктивность (коэффициент самоиндукции) контура. Знак минус показывает, что наличие индуктивности в контуре приводи к замедлению тока в нем.

Индуктивность соленоида (тороида) , где число витков контура, длина, объем.

Индуктивность бесконечно длинного соленоида : при протекании по соленоиду тока внутри соленоида возбуждается однородное поле, индукция которого . Поток через каждый из витков равен , а полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом , где длина соленоида, которая предполагается очень большой, площадь поперечного сечения, число витков на единицу длины, - полное число витков. Т.к. или , где объем соленоида. В общем случае индуктивность контура зависит только от геометрической формы контура, его размеров и . Магнитная проницаемость соленоида (тороида) зависит от . Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником для определения магнитной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости от , а затем формулой . Индуктивность – аналог электрической емкости уединенного проводника.

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи (направлены противоположно току, создаваемому источником). При выключении источника тока экстратоки имеют то же направление, сто и ослабевающий ток – наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока цепи.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением и индуктивностью

· после замыкания цепи: , где э.д.с. источника тока, время, прошедшее после замыкания цепи. Величина постоянная, называемая временем релаксации.

· после размыкания цепи:, где значение силы тока в цепи при , время, прошедшее с момента размыкания цепи.

3. Взаимная индукция. Изменение магнитного потока может достигаться также изменением тока в соседнем контуре (явление взаимной индукции ). Возьмем два контура 1 и 2, расположенные близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток силой , он создает через контур 2 пропорциональный полный магнитный поток . При изменении тока в контуре 2 индуцируется э.д.с. , где индуктивность (коэффициент самоиндукции) контура. Аналогично, при протекании в контуре 2 тока силы возникает сцепленный с контуром 1 поток и . Контуры 1 и 2 наз. связанными . В отсутствии ферромагнетиков . Их величина зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей среды.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное по­ле, индукция которого, по закону Био - Савара-Лапласа (см. (110.2)), пропор­циональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорциона­лен току I в контуре:

Ф= LI , (126.1)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться э.д.с. Возникновение э.д.с. индукции в прово­дящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Из выражения (126.1) определяется единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн - индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб:

1 Гн=1 Вб/А=1В с/А.

Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Согласно (120.4), полный магнитный поток через соленоид

(потокосцепление) равен 0(N 2 I/l )S. Под­ставив это выражение в формулу (126.1), получим

т. е. индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида N, его длины l , площади S и магнитной проницаемости  вещества, из которого изготовлен сердеч­ник соленоида.

Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его разме­ров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура - аналог электри­ческой емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров и диэлектриче­ской проницаемости среды (см. §93).

Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея (см. (123.2)), получим, что э.д.с. самоиндукции

Если контур не деформируется и магнит­ная проницаемость среды не изменяется (в дальнейшем будет показано, что по­следнее условие выполняется не всегда), то L =const и

где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктив­ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Если ток со временем возрастает, то

dI/dt>0 и ξ s <0, т. е. ток самоиндукции

направлен навстречу току, обусловленно­му внешним источником, и тормозит его возрастание. Если ток со временем убыва-

ет, то dI/dt<0 и ξ s > 0, т. е. индукционный

ток имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Таким образом, контур, об­ладая определенной индуктивностью, при­обретает электрическую инертность, за­ключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

§ 127. Токи при размыкании и замыкании цепи

При всяком изменении силы тока в про­водящем контуре возникает э.д.с. само­индукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называ­емые экстратоками самоиндукции. Экстра­токи самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы пре­пятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, со­здаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезнове­ния или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под дей­ствием внешней э.д.с. в цепи течет по­стоянный ток

I 0 =ξ/R

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t= 0 отключим источник тока. Ток через катушку индук­тивности L начнет уменьшаться, что при­ведет к возникновению э.д.с. самоиндук­ции ξ s =-LdI/dt , препятствующей, со­гласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I=ξ s /R, или

IR =- LdI/dt . (127.1)

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим dI/I =- (R/L)dt. Интегрируя

это уравнение по I (от I 0 до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I 0)=-Rt/L, или

где =L/R - постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и опре­деляется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопро­тивление, тем больше т и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э.д.с.ξ возникает э.д.с. самоиндукции

ξ s =-LdI/dt , препятствующая, согласно

правилу Ленца, возрастанию тока. По за­кону Ома, IR=ξ+ξ s , или

IR =ξ-LdI/dt .

Введя новую переменную u=IR-ξ, пре­образуем это уравнение к виду du/u=-dt/  ,

где 1 - время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I =0 и u = -ξ . Следовательно, интегри­руя по и (от -ξ до IR - ξ ) и t (от 0 до t).

находим ln(IR -ξ)/-ξ=-t/  , или

где I 0 =ξ/R - установившийся ток (при t)

Таким образом, в процессе включения источника э.д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и опре­деляется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I =0 и асимптотически стремится к устано­вившемуся значению I 0 =ξ/R. Скорость нарастания тока определяется тем же вре­менем релаксации =L/R, что и убыва­ние тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндук­ции ξ s , возникающей при мгновенном уве­личении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 До R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет уста­новившийся ток I 0 =ξ/R 0 . При размыка­нии цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I 0 и , получим

Э.д.с. самоиндукции

т. е. при значительном увеличении сопро­тивления цепи (R/R 0 >> 1) обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоин­дукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учиты­вать, что контур, содержащий индуктив­ность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. само­индукции) может привести к пробою изо­ляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндук­ции не достигнет больших значений.

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции . Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. , резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t =0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент време­ни ток в цепи определяется закономОмаI = s /R , или

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим Интегрируя это уравнение по I (от I 0 до I ) и t (от 0 до t ), находим ln (I /I 0) = –Rt /L , или

где t =L / R - постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что t есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше t и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. возникает э. д. с. самоиндукции препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, или

Введя новую переменную преобразуем это уравнение к виду

где t - время релаксации.

В момент замыкания (t =0) сила тока I = 0 и u = – . Следовательно, интегрируя по и (от –до IR – ) и t (от 0 до t ), находим ln [(IR – )]/– = -t /t , или

где - установившийся ток (при t ®¥ ).

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению . Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t =L /R , что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индук­тивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 до R . Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I 0 и t , получим

Э.д.с. самоиндукции

т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R /R 0 >>1), обладающей боль­шой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникнове­ние значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.

Токи при размыкании и замыкании цепи

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, все гда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. x, резистор сопротивлением Rи катушку индуктивностью L. Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I = x S /R, или

(127.1)

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим . Интегрируя это уравнение по I (от I 0 до I) и t(от 0 до f), находим In (I/I 0) = -Rt/L, или

(127.2)

где t = L/R- постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше t и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. x возникает э. д. с. самоиндукции препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = x + x S или

Введя новую переменную u = IR - x , преобразуем это уравнение к виду

где t - время релаксации.

В момент замыкания (t = 0)сила тока I = 0 и u = -ℰ . Следовательно, интегрируя по u(от - ℰ до IR - ℰ) и t(от 0 до t), находим In [(IR - ℰ)]/ -ℰ = -t/t, или

(127.3)

где I 0 = ℰ/R - установившийся ток (при t ® ¥).

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0 = ℰ / R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t = L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции ℰ S , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 до R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I 0 = ℰ/R 0 . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (1272). Подставив в нее выражение для I 0 и т, получим

По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменениям тока в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от I индуктивностью L и сопротивлением R включен источник тока э. д. с. е (рис. 10). В цепи будет течь постоянный ток

(сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени t=0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П . Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникнет э.д.с. самоиндукции, противодействующая этому убыванию.

Рисунок 8.1 - Электрическая цепь, которую размыкают

Сила тока в цепи будет удовлетворять уравнению

Уравнение (8.2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Разделив переменные, получим

(имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде ln const). Потенцирование этого соотношения дает

Выражение (8.3) является общим решением уравнения (8.2). Значение const найдем из начальных условий. При t=0 сила тока имела значение (8.1). Следовательно, const=I 0 . Подставив это значение в (8.3), придем к выражению

Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону (8.4). График убывания I дан на рис. 8.2 (кривая 1). Скорость убывания определяется имею щей размерность времени величиной которую называют постоянной времен и цепи. Заменив в (8.4) R/L через 1/ф, получим

Рисунок 8.2 - Зависимость убывания тока при замыкании - размыкании цепи.

В соответствии с этой формулой ф есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Из (8.5) видно, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R, тем больше постоянная времени ф и тем медленнее спадает ток в цепи.

Для упрощения расчетов мы считали, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если просто разорвать цепь с большой индуктивностью, возникающее высокое индуцированное напряжение создает искру или дугу в месте разрыва.

Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения источника э. д. с., до тех пор, пока сила тока не достигнет установившегося значения (8.1), в цепи кроме э. д. с. е будет действовать э. д. с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома.

Мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению, которое отличается от уравнения (8.2) лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина е/L. Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид (8.3). Легко убедиться в том, что I=е/R= I 0 является частным решением уравнения (8.8).

Следовательно, общим решением уравнения (8.8) будет функция

Эта функция описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э. д. с. График функции (8.9) дан на рис. 8.2 (кривая 2).