Пусть X – банахово пространство и А – ограниченный линейный оператор, определенные на Х, с областью значений в банаховом пространстве Y. Пусть х ÎХ и f ÎY*. Тогда определено значение f(Ax), при этом выполняются неравенства | f(Ax)| £ ||f ||?||Ax|| £ ||f ||?||A||?||x||.

Эти неравенства показывают, что линейный функционал j(х), определенный равенством j(х) = f(Ax), является ограниченным функционалом. Таким образом, каждому линейному ограниченному функционалу f ÎY с помощью оператора А ставится в соответствие линейный непрерывный функционал j ÎХ*. Меняя элемент f мы будем получать, вообще говоря, разные элементы j; тем самым мы получаем оператор

определенный на Y*, с областью значений в пространстве X*. Этот оператор A* связан с оператором А равенством (A*f)(x) = f(Ax). Если применить введенное в п. 2 обозначение для линейного функционала f(x) = (x, f), то связь операторов будет выглядеть симметрично:

(Ax, f)=(x, A*f). (1)

Оператор A* однозначно определяется формулой (1) и называется оператором, сопряженным с оператором А.

Действительно, если для всех x и y имеют место равенства

(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),

то отсюда по следствию 4 из теоремы Хана-Банаха следует, что A 1 *y= A*y для всех y, а это означает, что A*=A 1 *.

Теорема 11. Сопряженный оператор A* – линейный и .

Доказательство. Докажем аддитивность оператора A*. Действительно, если y, z ÎY*, то из рассуждений выше вытекает существование единственного элемент (y + z)* ÎX, что (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) при всех x ÎX.

С другой стороны, с помощью формулы (1) имеем

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x, (y+z)*),

т.е. (y+z)* = A*x + A*y, откуда A*(y+z)=A*y+A*z. Это доказывает аддитивность оператора А*. Однородность также легко проверяется.

Для вычисления нормы оператора А* проведем оценки

Отсюда следует, что оператор A* – ограниченный и .

У оператора A*, в свою очередь, есть сопряженный – A**, определяемый равенством, аналогичным (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

Но, так как из (2) A**x определяется однозначно для каждого xÎХ, то из сопоставления равенств (1) и (2) следует, что

(Ax, y) = (A**x, y) "хÎХ, "yÎY.

В силу следствия 4 из теоремы Хана-Банаха последнее означает, что A**x=Ax для всех xÎX, т.е. A**= A на пространстве Х. Применяя доказанное неравенство для нормы сопряженного оператора к A* и A**, имеем , что и дает требуемое равенство: . Теорема доказана.

Теорема. 12. Если А и В линейные ограниченные операторы из банахова пространства Х в банахово пространство Y, то

1. (А+В)*=А*+В*

2. (λА)*= λА*

3. В предположении Х = Y, справедливо равенство (АВ)*=В*А*.

Доказательство. Вышеуказанные свойства вытекают из следующих соотношений:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*)y);

2. ((λA)x ,y) = λ(Ax ,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y).

Теорема доказана.

Пример 8. В пространстве L 2 рассмотрим интегральный оператор Фредгольма

с ядром, имеющим интегрируемый квадрат. Имеем, используя теорему Фубини,

, где

.

Таким образом, переход к сопряженному оператору заключается в том, что интегрирование ведется по первой переменной. Тогда как в исходном операторе оно ведется по второй.

Еще по теме 6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.:

1. 2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
2. 1. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Примеры линейных ограниченных операторов.
3. 4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
4. 2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
5. 5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).
6. 1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
7. 6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении

Изучим дополнительные свойства линейных операторов, связанные с понятием ортогональности в евклидовом пространстве. Вначале докажем следующее свойство: если A и B – линейные операторы, действующие в n -мерном евклидовом пространстве V , и (x , Ay ) = (x , By ), x , y V , то A = B .

В самом деле, положив в равенстве (x , Ay ) = (x , By ) Û (x , (A – B )y ) = 0 вектор x = (A – B )y , получим ((A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V , что равносильно равенству (A – B )y = 0 , y V , т. е. A – B = O , или A = B .

Определение 11.1. Линейный оператор A * называется сопряженным оператору A , если

(Ax , y ) = (x , A * y ), x , y V . (11.1)

Естественно возникает вопрос: существует ли для заданного оператора A сопряженный?

Теоремa 11.1. Каждый линейный оператор A имеет единственный сопряженный оператор A * .

Доказательство. Выберем в пространстве V ортонормированный базис u 1 , u 2 ,…, u n . Каждому линейному оператору A : V ®V в этом базисе отвечает матрица А = , i , j = 1, 2,..., n . Пусть – матрица, полученная из матрицы А транспонированием. Ей соответствует линейный оператор B . Тогда

(Au j , u i ) = (а 1 j u 1 + а 2 j u 2 +…+ а nj u n , u i ) = а ij ;

(u j , Bu i ) = (u j , а i 1 u 1 + а i 2 u 2 +…+ а in u n ) = а ij .

(Au j , u i ) = (u j , Bu i ), i , j = 1, 2,..., n . (11.2)

Пусть далее x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x n u n и y = у 1 u 1 + у 2 u 2 +…+ у n u n – любые два вектора из V . Рассмотрим скалярные произведения (Ax , y ) и (x , By ):

(Ax , y ) = (Au j , u i ),

(x , By ) = (u j , Bu i ).

Сравнивая эти выражения с учетом равенства (11.2) и отмеченного выше свойства, получаем равенство (Ax , y ) = (x , By ), x , y V , т. е. B = A * .

Таким образом, доказано, что для каждого линейного оператора A в конечномерном евклидовом пространстве существует сопряженный ему оператор A * , матрица которого в любом ортонормированном базисе является транспонированной по отношению к матрице оператора A . Единственность оператора A * следует из определения сопряженного оператора и доказанного выше свойства.¨

Легко убедиться в том, что оператор A * , сопряженный линейному оператору A , является линейным.

Итак, оператор A * линеен и ему соответствует матрица A * . Поэтому соответствующее формуле (11.1) матричное соотношение имеет вид

(А x , y ) = (x , A * y ), x , y V .

Сопряженные операторы обладают следующими свойствами:

1°. Е * = Е .

2°. (A *) * = A .

3°. (A + B ) * = A * + B * .

4°. (А ) * = A * , R .

5°. (AB ) * = B * A * .

6°. (A –1) * = (A *) –1 .

Справедливость свойств 1°–5° вытекает из свойств транспонирования матриц.

Убедимся в справедливости свойства 6°. Пусть A –1 существует. Тогда из равенств AA –1 = A –1 A = Е и свойств 1°, 5° вытекает, что (AA –1) * = (A –1 A ) * = Е * = = Е и (AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) * , т. е. что (A –1) * = (A *) –1 . Отсюда получаем еще одно важное свойство транспонирования матриц:

(A –1) * = (A *) –1 .

Пример 1. Пусть A – поворот евклидовой плоскости R 2 на угол j с матрицей

в ортонормированном базисе i , j . Тогда матрицей сопряженного оператора в этом базисе является

= .

Следовательно, A * – поворот плоскости на угол j в противоположном направлении.·

Пусть в -мерном унитарном пространстве задан произвольный линейный оператор.

Определение 4. Линейный оператор называется сопряженным по отношению к оператору в том и только в том случае, если для любых двух векторов из выполняется равенство

. (46)

Мы докажем, что для каждого линейного оператора существует сопряженный оператор и притом только один. Для доказательства выберем в некоторый ортонормированный базис . Тогда [см. (41)] для искомого оператора и произвольного вектора из должно выполняться равенство

.

В силу (46) это равенство может быть переписано так:

. (47)

Примем теперь равенство (47) за определение оператора .

Легко проверить, что определенный таким образом оператор является линейным и удовлетворяет равенству (46) при произвольных векторах и из . Кроме того, равенство (47) однозначно определяет оператор . Таким образом, устанавливаются существование и единственность сопряженного оператора .

Пусть – линейный оператор в унитарном пространстве, а – матрица, отвечающая этому оператору в ортонормированном базисе . Тогда, применяя формулу (41) к вектору получим:

Пусть теперь сопряженному оператору в этом же базисе отвечает матрица . Тогда по формуле (48)

Из (48) и (49) в силу (46) следует:

Матрица является транспонированной и комплексно сопряженной для . Такую матрицу принято называть (см. главу I) сопряженной по отношению к .

Таким образом, в ортонормированном базисе сопряженным операторам отвечают сопряженные матрицы.

Из определения сопряженного оператора вытекают следующие его свойства:

2. ,

3. ( – скаляр),

Введем теперь одно важное понятие. Пусть – произвольное подпространство в . Обозначим через совокупность всех векторов из , ортогональных к . Легко видеть, что есть тоже подпространство в и что каждый вектор из однозначно представляется в виде суммы , где , т. е. имеет место расщепление

Это расщепление получаем, применяя к произвольному вектору из разложение (15) предыдущего параграфа. называется ортогональным дополнением к . Очевидно, будет ортогональным дополнением к . Мы пишем , понимая под этим то, что любой вектор из ортогонален любому вектору из .

Теперь мы сможем сформулировать фундаментальное свойство сопряженного оператора:

5. Если некоторое подпространство инвариантно относительно , то ортогональное дополнение этого подпространства будет инвариантно относительно .

Действительно, пусть . Тогда из следует и отсюда в силу (46) . Так как – произвольный вектор из , то , что и требовалось доказать.

Введем следующее определение:

Определение 5. Две системы векторов и назовем биортонормированными, если

где - символ Кронекера.

Теперь докажем следующее предложение:

6. Если – линейный оператор простой структуры, то сопряженный оператор также имеет простую структуру, причем можно так выбрать полные системы собственных векторов и операторов и , чтобы они были биортонормированы:

Действительно, пусть – полная система собственных векторов оператора . Введем обозначение

Рассмотрим одномерное ортогональное дополнение к –мерному подпространству . Тогда инвариантно относительно :

Из следует: , так как в противном случае вектор должен был бы равняться нулю. Помножая на надлежащие числовые множители, получим:

Из биортонормированности систем векторов и следует, что векторы каждой из этих систем линейно независимы.

Отметим еще такое предложение:

7. Если операторы и имеют общий собственный вектор, то характеристические числа этих операторов, отвечающие общему собственному вектору, комплексно сопряжены.

В самом деле, пусть . Тогда, полагая в (46) , будем иметь , откуда .

8. Пусть – собственный вектор оператора и пусть – ортогональное дополнение к одномерному подпространству . Поскольку , то согласно утверждению 5. подпространство инвариантно относительно оператора . Таким образом, у всякого линейного оператора в -мерном унитарном пространстве существует -мерное инвариантное подпространство., то при и, следовательно, матрица оператора является верхней треугольной. Мы пришли к следующей теореме:

Для любого линейного оператора в -мерном унитарном пространстве можно построить ортонормированный базис, в котором матрица этого оператора является треугольной.

Это предложение принято называть теоремой Шура. Разумеется, привлекая общую теорему о приведении матрицы оператора к жордановой форме, легко доказать теорему Шура последовательной ортогонализацией жорданова базиса. Приведенное доказательство по существу использует лишь существование у линейного оператора, действующего в -мерном унитарном пространстве, собственного вектора.

Обратный оператор

Пусть V -линейное пространство над полем Р, А - оператор (не обязательно линейный), действующий в V.

Определение. Оператор А называется обратимым, если существует такой оператор В, действующий в V, что ВА = АВ = I.

Определение. Оператор В, удовлетворяющий условию ВА = АВ = I, называется обратным к А и обозначается.

Таким образом, оператор, обратный к оператору А, удовлетворяет условию А=А = I. Для обратимого оператора А равенства Ах = y и у = х равносильны. Действительно, пусть Ах = у, тогда у =(Ах) = (А)х = Ix = х.

Если у = х, то

Ах = А(у) = (А)у = Iу = у.

Теорема. Если линейный оператор обратим, то обратный к нему оператор также является линейным.

Доказательство. Пусть А - обратимый линейный оператор, действующий в линейном пространстве V над полем Р, - оператор, обратный к А. Возьмем произвольные векторы и числа Положим, . Тогда А=, А=. В силу линейности оператора А

Отсюда получаем:

= = ,

То есть оператор является линейным.

Сопряженный линейный оператор

Пусть заданы два унитарных пространства X, Y.

Определение. Оператор А*, действующий из Y в X, называется сопряженным по отношению к оператору А, действующему из X в Y, если для любых векторов хХ, yY выполняется равенство

(Ах, у) = (х, А*у). (1)

Теорема. Для любого линейного оператора А существует сопряженный оператор А*, и притом только один.

Доказательство. Выберем в X какой-либо ортонормированный базис Для любого вектора хХ имеет место разложение

Если оператор А* существует, то, согласно этой формуле, для любого вектора yY имеем

Или по определению

Но это означает, что если оператор А* существует, то он единственный.

Построенный таким образом оператор А* является линейным. Он удовлетворяет и равенству (Ах, у) = (х, А*у). Действительно, учитывая ортонормированность системы и принимая во внимание (1), (2), получаем для любых векторов хХ, yY

(Ах, у) = (А) =,

(х, А*у) = (А) =

Теорема доказана.

Сопряженный оператор А* связан с оператором А определенными соотношениями. Отметим некоторые из них:

Доказательство. Рассмотрим произвольный оператор А и сопряженный к нему оператор А*. В свою очередь для оператора А* сопряженным будет оператор (А*)*. Теперь для любых хХ, yY имеем

(у, (А*)*х) = (А*у,х) == = (у,Ах).