Получился - граф . Вершины слева – разработчики, вершины справа – технологии (задачи). Ребра, которые их соединяют – означают то, насколько разработчик в ней разбирается. Эти цифры, т.е. степень владения разработчиком данной технологией, очень важны, но к ним обратимся чуть позже. А пока мы уже верно наметили направление, в котором эффективно решается данная задача:

3. Графы

Самые основы графов были изложены в статье (), поэтому сразу перейду к терминологии, касающейся данной задачи:

Двудольный граф – граф, у которого существует такое разбиение множества вершин на две части (доли), что концы каждого ребра принадлежат разным долям. В нашей задаче тоже есть четкое разделение: одни вершины – это разработчики, другие – задачи, и связи (эффективность владения) есть только между разработчиками и задачами.
Паросочетанием неориентированного графа G называется подмножество M его ребер E, выбранное так, что никакие два ребра из M не являются смежными, т.е. не имеют общей вершины. В терминах нашей задачи синонимом этому будет «назначение» , чтобы каждый задействованный разработчик взял на себя отдельную задачу. И не получилось такого, что два разработчика прорабатывают одну проблему, или один «бедняга» отвечал за две задачи.

В теории графов наша проблема, как это ни странно, называется Задачей о Назначениях (ЗН) . =) Она является частным случаем задачи нахождения максимального паросочетания. В самом деле, мы ведь стремимся максимально задействовать ресурсы, чтобы одновременно прорабатывалось максимальное число технологий, поэтому в терминах графов - пытаемся найти «максимальное паросочетание», составить максимальное количество пар разработчик-задача.

4. Максимальное паросочетание

Чтобы упростить себе жизнь, мы пока не обращаем внимания на способности людей. Просто хотим каждому подыскать работу. Нескольким первым попавшимся под руку разработчикам предложить работать со знакомой им технологией не составит проблем. Продолжая в том же духе, мы распределим еще несколько задач, но построенное таким образом паросочетание вряд ли будет максимальным. Возможна ситуация как та, что изображена на рисунке:

Как же увеличить паросочетания (назначения)?

Выберем незадействованного разработчика, которому еще не назначена задача. Посмотрим, с чем бы он мог справиться, т.е. знакомые ему технологии. Если нашли среди них свободную – отлично, это то, что мы и искали. Назначаем. А если задача уже «занята» другим разработчиком? Попробуем занятому разработчику подыскать другую свободную технологию, ведь в таком случае эту - мы бы назначили нашему незадействованному подопечному. В общем, из вершины незадействованного разработчика или разработчика, которому мы пытаемся переназначить задачу, мы просматриваем все знакомые ему технологии на наличие свободной:

• если нашли свободную – поиск завершен
• если задача уже кому-то назначена, то пройдя по этому ребру паросочетания, попытаемся «переназначить» технологию разработчику, участвующему в данном назначении

В ходе такого обхода графа мы пытаемся из «незадействованного разработчика» попасть в «свободную задачу». Таким образом поиск «разворачивается» в следующее дерево:

Добавим еще немного терминологии из теории графов, простыми словами:

Экспонированная вершина – это вершина, которая не участвует в текущем паросочетании. Т.е. либо «незадействованный разработчик», либо «свободная задача».
Альтернирующая цепь – это цепь, ребра которой попеременно лежат или не лежат в паросочетании. (…- владение технологией – назначенная задача – владение технологией – назначенная задача - …)
Альтернирующее дерево – дерево, состоящее из альтернирующих цепей
Аугментальная цепь – это такая альтернирующая цепь, начальная и конечная вершины которой экспонированы. Вот как называется то, что мы и ищем! =)
Аугментальное дерево – соответственно дерево, в котором хотя бы одна из веток – это аугментальная цепь.

Вот и нашли способ наращивать паросочетание, стремясь получить максимальное. Нужно строить альтенирующее дерево. Когда оно станет аугментальным, искать аугментальные цепи из «незадействованного разработчика» в «свободную задачу» и потом «переназначать» задачи вдоль них. Это выгодно, т.к. увеличивает количество «задач в обработке» на 1:

Теперь мы уже сможем задействовать наибольшее количество технологий в проекте. Самое время принять во внимание еще одно важное условие поставленной перед нами проблемы: эффективность владения технологиями. Мы ведь хотим оптимально назначить всем задачи.

5. Венгерский метод.

Найти решение с максимальной суммарной эффективностью (стоимостью). Звучит, в некотором смысле, похоже на задачу об оптимальной упаковке рюкзака. Наводит на мысль. Вот если бы нам представилась возможность действовать по принципу «жадных алгоритмов».

Мы бы для начала всем разработчикам до упора назначили задачи в соответствии с их максимальными способностями. Если всем разработчикам удалось сразу же распределить задачи - отлично. Но такое происходит не часто. Вдруг два человека, оптимально владеют одной и той же технологией, кому она достанется и что делать в этой ситуации? Одному из разработчиков нужно будет подыскать иную свободную задачу, так же наиболее соответствующую его способностям. Если при текущих (максимальных требованиях) условиях не найдется свободной задачи, то нужно будет попробовать подыскать среди задач, предварительно немного занизив наши требования. Как бы искусственно занизить способности разработчиков в графе. Если в таких условиях обнаружим свободную задачу – получим аугментальное дерево. «Поменяем» по цепочке паросочетания, после чего будет +1. И продолжим назначать таким вот оптимальным образом, пока всем не подыщем работу.

Стратегия ясна.

Мы почти разгадали принцип Венгерского алгоритма. Но как все же построить решение по принципу «жадных алгоритмов»: до упора назначить по max способностям, потом чуть занизить способности и добавив к рассмотрению новые задач, до упора назначить их, занизить… и.т.д.? Как оценить способности и оптимальность текущего назначения?

Вся «фишка» этого алгоритма заключается в следующем. Нам дан всего один параметр в графе – эффективность решения определенной задачи разработчиком, что указано на ребрах. Эта величина присвоена парам разработчик-задача. Мы же «разделим» (отделим от пар) эти величины на две. Искусственно добавим два дополнительных параметра. Одни величины будут приписаны вершинам задач, другие - вершинам разработчиков.

Попробую привести такую интерпретацию:

• у разработчиков мы укажем их «способности» , допустим в единицах «сил», просто указывающие на то, насколько эффективно мы можем их задействовать или задействовали.
• у задач мы укажем их «изученность» , или, если можно так выразиться, «переизбыток внимания». Этот параметр будем так же измерять в «силе». Переизбыток внимания к задаче возникает в следующей ситуации. Если мы какого-то разработчика «недогрузили», т.е. он способен решать задачу на 5, а ему досталась всего на 3. То у него остается еще 2 «силы» которые он, в принципе, может уделить какой-то из знакомых ему задач. Бегать между кабинетов, консультировать по телефону, давать советы тем, кто занимается любимой ему технологией.

Таким образом, величины указанные на ребрах мы «разделим» на 2 значения, приписанных уже вершинам: эффективность решения задачи = способность разработчика + изученность задачи. В принципе, логично. Чем способней разработчик или чем более известна технология, тем лучше будет реализована эта часть в проекте. Эффективней.

В конце, после того как мы найдем решение, мы конечно будем учитывать только величины на ребрах, но сейчас эта «фишка» поможет нам найти решение. =)

6. Описание алгоритма

Инициализируем граф. Будучи «упертыми оптимистами », мы для каждого разработчика рассчитаем его максимальную «способность» по знакомым ему технологиям, и присвоим ему это число. Everyone enjoys doing the kind of work for which he is best suited . О задачах пока ничего неизвестно, поэтому их «изученность» инициализируем нулями.

При поиске «свободной задачи» для «незадействованного разработчика» мы ограничимся теперь только (назовем их) оптимальными ребрами графа, т.е. теми, для которых выполняется равенство: эффективность решения задачи (ребро) = способность разработчика (вершина) + изученность задачи (вершина) .

Далее мы поступаем так же, как и при поиске максимального паросочетания. Хватаем по очереди незадействованных разработчиков и, подыскивая им свободные задачи, строим альтернирующее дерево (состоящее из чередующихся цепей), но уже только по оптимальным ребрам. Далее возможно 2 ситуации:

• Удалось обнаружить свободную задачу. Дерево стало аугментальным. «Переназначаем» задачи, наращиваем паросочетание. Начинаем строить альтернирующее дерево заново, т.к. мало ли как там граф изменился
• Мы не нашли (не достигли) свободную задачу по оптимальным ребрам. А она есть, т.к. начинали ведь мы со свободного разработчика, а в графе у нас одинаковое количество задач и разработчиков. Полученное альтернирующее дерево становится, так называемым, Венгерским (весь метод так же называется). В данном случае нам нужно будет немного понизить наши требования к разработчикам и начать поиски заново. Failure is simply the opportunity to begin again, this time more intelligently (с) .

Вот и подошли к последнему моменту Венгерского метода для чего все эти дополнительные параметры и «способности» задумывались. Допустим, что, наращивая альтернирующее дерево, мы в конечном итоге получили - Венгерское дерево. Рассмотрим, какие вершины попадут в это дерево:

• Незадействованные разработчики, т.к. именно с них мы начинаем стоить дерево
• Разработчики и задачи, до которых можно дотянуться по оптимальным ребрам из незадействованных разработчиков. Т.к. именно через их «переназначение» мы пытаемся трудоустроить последних.

Снаружи этого дерева, в оставшемся графе будут присутствовать:

• Разработчики и задачи, находящиеся в паросочетании, но недоступные из свободных вершин (разработчиков). Нашли им работу – нечего их пока трогать.
• Задачи, недостижимые по оптимальным ребрам – до них нам и нужно будет добраться. Поэтому при построении дерева мы будем отмечать вершины, в которые удалось попасть. А эти задачи, соответственно, останутся неотмеченными.

Далее в цикле мы пробежим по «границе» дерева: по тем ребрам, которые соединяют незадействованных разработчиков или разработчиков, достижимых из них (может их удастся «переназначить»), со смежными задачами (по неоптимальным ребрам). По этим ребрам мы вычислим минимальное на текущий момент «несоответствие» способностей разработчика, чтобы он смог приступить к этой задаче: delta = min(способность разработчика (вершина) + изученность задачи (вершина) - эффективность решения задачи (ребро)) .

После чего внутри венгерского дерева мы:

• Понизим способности разработчиков на delta, чтобы «присоединить» наименее безболезненным способом, по крайней мере, одно ребро к альтернирующему дереву, по которому в следующий раз будем продолжать поиски свободной задачи
• Повысим «изученность» задач на delta, чтобы внутри уже сейчас построенного аугментального графа ребра - остались оптимальными. Т.е. чтобы сохранилось равенство: эффективность решения задачи (ребро) = способность разработчика (вершина) + изученность задачи (вершина)

Мини-интерпретация: мы понижаем способности разработчикам, чтобы впоследствии «пристроить» хотя бы одного из них. Мы его пристроим, но он будет работать не в соответствии со своей квалификацией. Он бы смог большего. Поэтому у него высвобождается некоторое количество времени, чтобы проконсультировать коллег по задаче, в которой он наиболее компетентен. Она становится более изученной в команде. Ей в свою очередь наверняка занимался другой разработчик, который теперь тоже сможет подменяться в случае чего. Можно понизить и его компетенцию на изученность задачи. И так далее «по цепочке» в команде повышается «изученность» задач и немного понижаются способности разработчиков, чтобы найти им назначения.

Все. Все шаги данного метода рассмотрены. Продолжаем в том же духе… Success is not final, failure is not fatal: it is the courage to continue that counts .

7. Алгоритм словами, очень кратко

Соберем теперь все до кучи:

• Инициализация. Разработчикам – max способности. Задачи – не изучены.
• Пока не всем разработчикам нашли задачи.
  • Пока удается построить аугментальное дерево (находить свободные задачи) по оптимальным ребрам
    • «Переназначаем» задачи, увеличивая паросочетания
  • Не достигли свободной задачи. Венгерское дерево.
    • Понижаем способности разработчиков на min величину

8. Листинг

Код, конечно, будет покороче, чем все мое описание. =)

Я взял его . На мой взгляд, очень хорошая реализация. Единственное отличие, у автора приведен код метода минимизации назначений (если, допустим, на ребрах – зарплата), а в статье мы распределяли задачи с целью получения максимальной эффективности. Поэтому, слегка модифицировав код, приведу ниже реализацию максимального метода:

int n;
vector < vector > a; // Матрица эффективности a[разраб][задача]
vector xy, yx; // Паросочетания: xy[разраб], yx[задача]
vector vx, vy; // Альтернирующее дерево vx[разраб], vy[задача]
vector maxrow, mincol; // Способности, изученность

bool dotry (int i) {
if (vx[i]) return false ;
vx[i] = true ;
for (int j=0; jif (a[i][j]-maxrow[i]-mincol[j] == 0)
vy[j] = true ;
for (int j=0; jif (a[i][j]-maxrow[i]-mincol[j] == 0 && yx[j] == -1) {
xy[i] = j;
yx[j] = i;
return true ;
}
for (int j=0; jif (a[i][j]-maxrow[i]-mincol[j] == 0 && dotry (yx[j])) {
xy[i] = j;
yx[j] = i;
return true ;
}
return false ;
}

int main() {

// ... чтение a ...

Mincol.assign (n, 0);
minrow.assign (n, 0);
for (int i=0; ifor (int j=0; j maxrow[i] = max (maxrow[i], a[i][j]);

Xy.assign (n, -1);
yx.assign (n, -1);
for (int c=0; c vx.assign (n, 0);
vy.assign (n, 0);
int k = 0;
for (int i=0; iif (xy[i] == -1 && dotry (i))
++k;
c += k;
if (k == 0) {
int z = INF;
for (int i=0; iif (vx[i])
for (int j=0; jif (!vy[j])
z = min (z, maxrow[i]+mincol[j]-a[i][j]);
for (int i=0; iif (vx[i]) maxrow[i] -= z;
if (vy[i]) mincol[i] += z;
}
}
}

int ans = 0;
for (int i=0; i ans += a[i]];
printf ("%d\n" , ans);
for (int i=0; i printf ("%d " , xy[i]+1);
}

* This source code was highlighted with Source Code Highlighter .

9. Итого

Если кто-то видит Венгерку впервые. И после прочтения описания, а за ним листинга – возникнет уверенное впечатление «да тут по листингу и без этих описаний все понятно, что было распинаться». Буду все же надеяться, что хоть отчасти описание добавило понимания в работу алгоритма. Буду искренне рад за Вас! а мне, в свою очередь, это немного даст почувствовать, что писал, наверное, не зря. =)

Теги:

• задача о назначениях
• венгерский алгоритм
• алгоритм Куна

Добавить метки

Алгоритм решения:

1. Решаемзадачу на минимум. Цель данного шага - получение максимально возможного числа нулей в матрице С. Для этого находим в матрице С в каждой строке минимальный элемент и вычитаем его из каждого элемента соответствующей строки. Аналогично в каждом столбце вычитаем соответствующий минимальный элемент.

Если задана не квадратная матрица, то делаем её квадратной, проставляя стоимости равными максимальному числу в заданной матрице.

2. Если после выполнения первого шага можно произвести назначения, то есть в каждой строке и столбце выбрать нулевой элемент, то полученное решение будет оптимальным. Если назначения провести не удалось, то переходим к третьему шагу.

3. Минимальным числом прямых вычёркиваем все нули в матрице и среди не вычеркнутых элементов выбираем минимальный, его прибавляем к элементам, стоящим на пересечении прямых и отнимаем от всех не вычеркнутых элементов. Далее переходим к шагу 2.

Венгерский метод наиболее эффективен при решении транспортных задач с целочисленными объемами производства и потребления.

Пример

Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи, в которой ai = bj = 1. Поэтому ее можно решать алгоритмами транспортной задачи. Рассмотрим другой метод, который является более эффективным, учитывающим специфику математической модели. Этот метод называется венгерским алгоритмом.

Он состоит из следующих шагов:

1) преобразования строк и столбцов матрицы ;

2) определение назначения;

3) модификация преобразованной матрицы.

1-й шаг . Цель данного шага — получение максимально возможного числа нулевых элементов в матрице С. Для этого из всех элементов каждой строки вычитаем минимальный элемент соответствующей строки, а из всех элементов каждого столбца вычитаем минимальный элемент соответствующего столбца.

2-й шаг. Если после выполнения 1-го шага в каждой строке и каждом столбце матрицы С можно выбрать по одному нулевому элементу, то полученное решение будет оптимальным назначением.

3-й шаг . Если допустимое решение, состоящее из нулей, не найдено, то проводим минимальное число прямых через некоторые столбцы и строки так, чтобы все нули оказались вычеркнутыми. Выбираем наименьший невычеркнутый элемент. Этот элемент вычитаем из каждого невычеркнутого элемента и прибавляем к каждому элементу, стоящему на пересечении проведенных прямых.

Если после проведения 3-го шага оптимальное решение не достигнуто, то процедуру проведения прямых следует повторять до тех пор, пока не будет получено допустимое решение.

Пример .

Распределить ресурсы по объектам.

Решение. 1-й шаг. Значения минимальных элементов строк 1, 2, 3 и 4 равны 2, 4, 11 и 4 соответственно. Вычитая из элементов каждой строки соответствующее минимальное значение, получим

Значения минимальных элементов столбцов 1, 2, 3 и 4 равны 0, 0, 5, 0 соответственно. Вычитая из элементов каждого столбца соответствующее минимальное значение, получим

2-й шаг. Ни одно полное назначение не получено, необходимо провести модификацию матрицы стоимостей.

3-й шаг. Вычеркиваем столбец 1, строку 3, строку 2 (или столбец 2). Значение минимального невычеркнутого элемента равно 2:

Вычитаем его из всех невычеркнутых элементов и, складывая его со всеми элементами, расположенными на пересечении двух линий, получим

Ответ. Первый ресурс направляем на 3-й объект, второй — на 2-й объект, четвертый — на 1-й объект, третий ресурс — на 4-й объект. Стоимость назначения: 9 + 4 + 11 + 4 = 28.

Примечания. 1. Если исходная матрица не является квадратной, то нужно ввести фиктивные ресурсы или фиктивные объекты, чтобы матрица стала квадратной.

Предварительный этап .

Шаг 1 . При максимизации целевой функции С найти максимальный элемент и каждый элемент этого столбца вычесть из максимального. При минимизации целевой функции (суммы показателей эффективности назначений) в каждом столбце матрицы С найти минимальный элемент и вычесть его из каждого элемента этого столбца.

С  с неотрицательными элементами. В каждом столбце матрицы С  имеется, по крайней мере, один нуль.

Шаг 2 . В каждой строке матрицы С  найти минимальный элемент и вычесть его из каждого элемента этой строки.

В результате образуется матрица С 0 с неотрицательными элементами. В каждом столбце и каждой строке матрицы С 0 имеется, по крайней мере, по одному нулю.

Шаг 3 . Отме­тить произвольный нуль в первом столбце звездочкой. Начиная со второго столбца просматривать каждый столбец матрицы С 0 и отмечать в нем звездочкой нуль, расположенный в строке, где нет нуля со звездочкой. В каждом столбце можно отметить звездочкой только один нуль. Очевидно, что нули матрицы С 0 , отмеченные звездочкой, являются по построению независимыми. На этом предварительный этап заканчи­вается.

( k + 1)-я итерация . Допустим, что k -я итерация уже проведена и в результате получена матрица С k . Если в матрице С k имеется ровно п нулей со звездочкой, то процесс решения заканчивается. Если же число нулей со звездочкой меньше п , то переходим к (k + 1)-й ите­рации.

Каждая итерация начинается первым и заканчивается вторым эта­пом. Между ними может несколько раз проводиться пара этапов: третий – первый . Перед началом итерации знаком «+» выделяют столбцы матрицы С k , которые содержат нули со звездочкой .

Первый этап . Просмотреть невыделенные столбцы матри­цы С k . Если среди них не окажется нулевых элементов, то перейти к третьему этапу .

Если же невыделенный нуль матрицы С k обнаружен, то возможен один из двух случаев:

эта строка не содержит нуля со звездочкой.

В первом случае невыделенный нуль отметить штрихом и выделить строку , в которой он содержится, постановкой справа от нее зна­ка «+». Затем уничтожить знак «+», обводя его кружком над тем столбцом , на пересечении которого с данной выделенной строкой со­держится нуль со звездочкой.

 Если такой нуль найден и он единственный в столбце, то отметить его штрихом и выделить строку (строки), содержащую такой нуль (нули), знаком «+». Затем просмотреть эту строку (строки), отыскивая в них нуль со звез­дочкой.

 Если такой нуль в столбце найден, но он не единственный в столбце, то из этих нулей следует выбрать:

в первую очередь такой нуль, в одной строке с которым, нет 0*;

во вторую очередь такой нуль, в одной строке с которым имеется 0*, но в одном столбце с этим 0* имеется невыделенный нуль;

в последнюю очередь такой нуль, в одной строке с которым имеется 0*, но в одном столбце с этим 0* отсутствует невыделенный нуль;

Этот процесс законечное число шагов заканчивается одним изследующих исходов:

Исход 1 . Все нули матрицы С k выделены, т. е. находятся в выделенных строках или столбцах. В этом случае перейти к третьему этапу ;

Исход 2 . Имеется невыделенный нуль в строке, где нет нуля со звездочкой. Тогда перейти ко второму этапу , отметив последний по порядку нуль штрихом .

Во втором случае , отметив невыделенныйнуль штрихом, сразупереходят ко второму этапу.

Второй этап . Построить следующую цепочку из элементов матрицы С k : исходный нуль со штрихом, нуль со звездочкой, располо­женный в одном столбце с первым, нуль со штрихом, расположенный в одной строке с предшествующим нулем со звездочкой, и т. д. Итак, цепочка образуется передвижением от 0" к 0* по столбцу , от 0* к 0" по строке и т. д.

Можно доказать, что описанный алгоритм построения цепочки однозначен и конечен. При этом цепочка всегда начинается и закан­чивается нулем со штрихом . Далее над элементами цепочки, стоящими на нечетных местах (0"), поставить звездочки, уничтожая их над четными элементами (0*). Затем уничтожить все штрихи над элементами мат­рицы С k и знаки «+». При этом количество независимых нулей будет увеличено на единицу . (k + 1)-я итерация закончена .

Третий этап . К этому этапу следует переходить после первого этапа в случае, если все нули матрицы С k выделены , т. е. находятся в выделенных строках или столбцах. В таком случае среди невыделенных элементов матрицы С k выбрать минимальный элемент и обозначить его h > 0.

вычесть h из всех элементов матрицы С k , расположенных в невыделенных стро­ках , и

прибавить h ко всем элементам матрицы С k , расположенным в выделенных столбцах .

В результате получается новая матрица , эквивалентнаяС k .

Поскольку среди невыделенных элементов матрицы
появятся новые нули (согласно определению), следует перейти к первому этапу, а вместо матрицыС k рассматривать матрицу
.

Завершив первый этап либо перейти ко второму этапу , если невыделенный нуль находится в строке, которая не содержит нуля со звездочкой , либо вновь возвратиться к третье­му этапу , если в результате выполнения первого этапа все нули матрицы
окажутся выделенными .

В первом случае после проведения второго этапа итерация закан­чивается .

Во втором случае после проведения третьего этапа получается матрица
~
~С k . В матрице
появятся невыделенные нули, и всю последовательность операций, начиная с первого этапа, надо повторить.После конечного числа повторений очередной первый этап обязательно закончится переходом на второй этап , при выполнении которого количество независимых нулей увеличится на единицу, а после выполнения которого (k + 1)-я итерация за­канчивается .

Пример 9. Решим венгерским методом задачу:

На боевом надводном корабле имеется 5 зенитных огневых средств (ЗОС). На корабль совершается одновременный налет авиации противника в количестве 5 единиц. Поражающий потенциал каждого i –го ЗОС по j –му летательному аппарату противника равен (количество потенциально уничтожаемыхj –х летательных аппаратов за время атаки НК одним ЛА). Предполагается, что любое ЗОС может обстрелять любую цель.

Распределить ЗОС по ВЦ таким образом, чтобы суммарный поражающий потенциал был максимален, при условиях:

на одну ВЦ может быть назначено только одно ЗОС;

все цели должны быть обстреляны ЗОС.

Решение :

Предварительный этап .





Первая итерация .

Первый этап .

+ +



В

+ +

торой этап .



Вторая итерация .

П

+ +

ервый этап .



Поскольку все нули матрицы С 1 выделены следует перейти к третьему этапу.

Третий этап .

+ +

+ +

h =1 

Первый этап .



Второй этап .



В результате решения задачи о назначениях венгерским методом получили, что последовательность
=4,
=4,
=3,
=2,
=2 дает максимальное значение целевой функции=15. Из этого следует, что для отражения атаки СВН противника наиболее эффективным будет следующий вариант назначения ЗОС на ВЦ:

Упражнения .

Найти опорный план транспортной задачи методами «Северо-западного угла», «Наименьшей стоимости», «Фогеля»:

						a i
Заявки b j

Решить транспортную задачу из задания 1 распределительным методом.

Решить транспортную задачу из задания 1 методом потенциалов.

Венгерским методом решить задачу назначения при поиске максимума:

Венгерским методом решить задачу назначения при поиске минимума:

Контрольные вопросы :

Дайте формулировку транспортной задачи линейного программирования.

Чем отличается сбалансированная транспортная задача от не сбалансированной транспортной задачи?

Сколько в сбалансированной транспортной задаче должно быть базисных переменных?

Дайте определение понятиям: план, допустимый план, опорный допустимый план, оптимальный план, используемым при решении транспортной задачи.

Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом северо-западного угла.

Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом наименьшей стоимости.

Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана методом Фогеля.

Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального плана распределительным методом.

Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального плана методом потенциалов.

Дайте формулировку задачи о назначениях.

Каким образом в задаче о назначениях при разных количествах объектов и средств формируется квадратная матрица назначений?

Сформулируйте алгоритм решения задачи о назначениях Венгерским методом.

Каким образом на предварительном этапе формируется исходная матрица назначений при максимизации целевой функции?

Каким образом на предварительном этапе формируется исходная матрица назначений при минимизации целевой функции?

В чем заключается суть первого этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?

В чем заключается суть второго этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?

В чем заключается суть третьего этапа решения задачи о назначениях Венгерским методом?

Сколько первых, вторых и третьих этапов может находиться в одной итерации решения задачи о назначениях Венгерским методом? Какова последовательность выполнения этапов в итерации?

Сколько независимых нулей должно быть в матрице назначений для принятия решения о том, что оптимальное назначение средств на объекты найдено?

Методы принятия управленческих решений

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ

Задачу о назначениях можно сформулировать следующим образом: имеется n исполнителей и n работ, задана - эффективность выполнения каждой работы каждым исполнителем (таблица, в которой содержатсяn 2 чисел, характеризующих эффективность, называется n xn - или n 2 -матрицей). Задача заключается в том, чтобы назначить каждому исполнителю одну и только одну работу таким образом, чтобы оптимизировать заданную функцию эффективности. Математическая модель выглядит следующим образом:

Алгоритм решения задачи о назначениях

(венгерский метод)

, (
, что
.

Шаг 1 . Получение нулей в каждой строке

Выберем в каждой строке минимальный элемент и запишем его значение в правом столбце. Вычтем минимальные элементы из соответствующих строк. Переход к шагу 2.

Шаг 2. Получение нулей в каждом столбце.

В преобразованной таблице найдем минимальные значения в каждом столбце (графе) и запишем их в нижней строке. Вычтем минимальные элементы из соответствующих столбцов. Переход к шагу 3.

Шаг 3 . Поиск оптимального решения

Сделаем назначения. Для этого просматривают строку, содержащую наименьшее число нулей. Отмечают один из нулей этой строки и зачеркивают все остальные нули этой строки и того столбца, в котором находится отмеченный нуль. Аналогичные операции последовательно проводят для всех строк. Если назначение, которое получено при всех отмеченных нулях, является полным (число отмеченных нулей равно n ), то решение является оптимальным. В противном случае переходят к шагу 4.

Шаг 4. Поиск минимального набора строк и столбцов, содержащих все нули.

Для этого необходимо отметить:

Все строки, в которых не имеется ни одного отмеченного нуля;

Все столбцы, содержащие перечеркнутый нуль хотя бы в одной из отмеченных строк;

Все строки, содержащие отмеченные нули хотя бы в одном из отмеченных столбцов.

Действия 2) и 3) повторяются поочередно до тех пор, пока есть что отмечать. После этого необходимо зачеркнуть каждую непомеченную строку и каждый помеченный столбец.

Цель этого шага – провести минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых, пересекающих по крайней мере один раз все нули.

Шаг 5 . Перестановка некоторых нулей.

Взять наименьшее число из тех клеток, через которые не проведены прямые. Вычесть его из каждого числа, стоящего в невычеркнутых столбцах и прибавить к каждому числу, стоящему в вычеркнутых строках. Эта операция не изменяет оптимального решения, после чего весь цикл расчета повторить, начиная с шага 3.

ПРИМЕР

руководитель,	Время выполнения i -м научным руководителем j

В венгерском методе используется следующий принцип: оптимальность решения задачи о назначениях не нарушается при уменьшении (увеличении) элементов строки (столбца) на одну и ту же величину.

Решение считается оптимальным , если все измененные таким образом затраты
, (
) и можно отыскать такой набор, что
.

Выберем в каждой строке минимальный элемент и запишем его значение в правом столбце.

руководитель,	Время выполнения i -м научным руководителем j -го исследовательского проекта				Минимальное

Вычтем минимальные элементы из соответствующих строк, перейдем к новой таблице, в которой найдем минимальные значения в каждом столбце (графе) и запишем их в нижней строке.

руководитель,	а ij
Минимальное время по графе

Вычтем минимальные элементы из соответствующих столбцов.

Сделаем назначения

руководитель,	а ij

руководитель,	а ij

руководитель,	а ij

Число отмеченных (желтым цветом) нулей равно 3, т.е. назначение не является полным (3<4).

Найдем минимальный набор строк и столбцов, содержащий все нули.

руководитель,	а ij

руководитель,	а ij

руководитель,	а ij

В оставшихся клетках минимальный элемент равен 2.

руководитель,	а ij

Вычтем минимальный элемент равный 2 из каждого числа (каждой клетки) невычеркнутых (1,2,4) столбцов. Получим таблицу.

руководитель,	а ij

Прибавим минимальный элемент равный 2 к каждому числу вычеркнутых строк в преобразованной таблице. Получим таблицу.

руководитель,	а ij

Вновь сделаем назначение, отметив по порядку нули в таблице.

руководитель,	а ij

Это назначение является полным, так как число отмеченных (желтым цветом) нулей равно 4.

Время выполнения всех (четырех) проектов:

Т =3х1+4х1+2х1+8х1=17.

Данное назначение не единственное. Если во второй строке сначала отметить не второй, а четвертый нуль, получим следующее назначение.

руководитель,	а ij

Время на выполнение всех проектов не изменилось:

Т =3х1+5х1+2х1+7х1=17.

Таким образом, получены два оптимальных назначения, которым соответствует минимальное время выполнения проектов равное 17 месяцам.

Специфические особенности задач о назначениях послужили поводом к появлению эффективного венгерского метода их решения. Основная идея венгерского метода заключается в переходе от исходной квадратной матрицы стоимости С к эквивалентной ей матрице С э с неотрицательными элементами и системой п независимых нулей, из которых никакие два не принадлежат одной и той же строке или одному и тому же столбцу. Для заданного п существует п допустимых решений. Если в матрице назначения X расположить п единиц так, что в каждой строке и каждом столбце находится только по одной единице, расставленных в соответствии с расположенными п независимыми нулями эквивалентной матрицы стоимости С э, то получим допустимые решения задачи о назначениях.

Алгоритм венгерского метода рассмотрим па примере решения задачи по заданной матрице стоимости

Следует иметь в виду, что для любого недопустимого назначения соответствующая ему стоимость условно полагается равной достаточно большому числу М в задачах на минимум. Если исходная матрица не является квадратной, то следует ввести дополнительно необходимое количество строк или столбцов, а их элементам присвоить значения, определяемые условиями задачи, возможно, после редукции, а доминирующие альтернативы, дорогие или дешевые, исключить.

А. Решение задач на минимум затрат

1. Проводим редукцию матрицы по строкам и столбцам, как и в методе ветвей и границ

• 2. Методом проб и ошибок проводим поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость. Поскольку расположение нулевых элементов в матрице не позволяет образовать систему из четырех независимых нулей, то решение недопустимое.
• 3. Проводим модификацию матрицы. Вычеркиваем строки и столбцы с возможно большим количеством нулевых элементов - строки 2 и 3, столбец 1, и получаем сокращенную матрицу

Минимальный элемент сокращенной матрицы (2) вычитаем из всех ее элементов и складываем его с элементами, расположенными на пересечениях вычеркнутых строк и столбцов: 12 + 2 = 14; 3 + 2 = 5 редуцированной матрицы. В результате получаем эквивалентную матрицу

4. Метолом проб и ошибок определяем матрицу назначения X, которая позволяет по аналогично расположенным элементам исходной матрицы (в прямоугольниках) вычислить минимальную стоимость назначения

В. Решение задач на максимум прибыли

1. Модифицируем матрицу умножением всех элементов на (-1) и затем сложением их с максимальным элементом матрицы (17) так, чтобы матрица не содержала бы отрицательных элементов:

2. Редуцируя матрицу по строкам и столбцам, получим эквивалентную матрицу

3. Методом проб и ошибок строим матрицу назначения X и но ней вычисляем максимальную (в исходной матрице значения в прямоугольниках) прибыль:

Пример 4.6. Распределить производство трех видов товара Т|, Т 2 , Т3 среди пяти предприятий П|, П 2 , П:(, П 4 , П-, с целью получения максимальной прибыли от продажи товаров по следующим данным:

Издержки производства с,у единицы товара (долл.)

Годовой спрос (шт.) и цепа товара (долл.)

Формируем матрицу годовой прибыли с учетом спроса (тыс. долл.)

2. Модифицируем матрицу умножением всех элементов на (-1) и сложением с максимальным числом матрицы (8000) и для устранения дисбаланса вводим два вида Т 4 , Т Г) фиктивной продукции с нулевой прибылью, поскольку матрица должна быть квадратной:

3. Редуцируем матрицу по строкам и столбцам:

4. Модифицируем матрицу путем исключения строк 4, 5 и столбцов 3, 4, получим сокращенную матрицу

Затем определяем в ней минимальный элемент 180, вычитаем его из всех элементов этой матрицы и суммируем его с элементами, находящимися на пересечениях исключаемых строк и столбцов редуцированной матрицы (выделена в прямоугольниках), объединяем результаты и получаем эквивалентную матрицу

по которой строим матрицу назначения

и по ней, наложив на матрицу исходных данных, определяем максимальное значение прибыли

Таким образом, венгерским методом можно решать многие задачи коммерческой деятельности. Следует заметить, что наиболее сложной и тонкой работой является постановка задач, связанных с вычислением элементов матрицы стоимости претендентов по должностям. Затем необходимо определить каким-либо методом эффективность проявления личности на каждой вакантной должности, например бухгалтера, менеджера, коммерсанта или финансиста. При этом можно воспользоваться сравнением требуемого перечня необходимых и достаточных должностных качеств - эталона (табл. 4.18), например коммерсанта, и фактически имеющихся качеств у претендента. Вычислить элемент матрицы с,у как разность интегральных критериев эталона и личности с учетом еще и отрицательных качеств претендента.

Таблица 4.18

Должность	Качества
Директор	Ответственность, организатор, образование, опыт работы, воля, здоровье, интуиция, энтузиазм, коммуникабельность, самокритичность, уравновешенность, объективность, умение разбираться в людях, бесконфликтность, знание этикета
Менеджер	Образование, опыт, коммуникабельность, уравновешенность, работа с людьми, интуиция, целеустремленность, находчивость, сообразительность, активность, консультативное^, реакция
Экономист	Образование, аналитичность, опыт, коммуникабельность, уравновешенность, работа с людьми, интуиция, пунктуальность, бесконфликтность, умение предвидеть, уверенность, умение составлять бизнес-план, практичность
Бухгалтер	Образование, стаж, внимательность, усидчивость, любовь к счету, четкость, пунктуальность, исполнительность, ответственность, целеустремленность, умение вести контроль, неподкупность, логичность, практичность, самообладание, аналитичность, формализм, бюрократизм
Коммер сант	Коммуникабельность, бесконфликтность, энтузиазм, практичность, вежливость, умение убеждать, активность, кругозор в товарных группах, обязательность, исполнительность, начитанность, конкурентоспособность, находчивость, чувство юмора

Для примера в качестве претендентов воспользуемся такими известными литературными персонажами, как Гобсек, Чичиков, Собакевич, Плюшкин, Остап Бендер, положительные и отрицательные качества которых описаны в известных произведениях (табл. 4.19).

Таблица 4.19

	Ум, хитрость, уравновешенность, твердость, практичность, осторожность, сдержанность, проницательность, образованность, ловкость, деловитость, педантичность, недоверчивость, организованность, умение разбираться в людях, ответственность, целеустремленность, умение вести контроль, логичность, энтузиазм, воля, интуиция, объективность, знание этикета, реакция, сообразительность, находчивость, воля,здоровье	Жадность, бесчувственность, ехидство, жесткость, лукавство, мстительность, скряжничество, эгоистичность, скупость, некоммуникабельность, конфликтность
	Предприимчивость, находчивость, оптимизм, коммуникабельность, изобретательность, ловкость, чувство юмора, неприхотливость, напористость, приспособляемость, уравновешенность, умение работать с людьми, интуиция, целеустремленность, сообразительность, активность, консультативность, быстрая реакция, энтузиазм, здоровье, организатор, воля, умение разбираться в людях, знание этикета, внимательность, контроль, логичность, самообладание, аналитичность	Корыстолюбие, небрежность, беспринципность, жуликоватость, дерзость, меркантильность, плутовство, фантазерство, нахальство, азартность
	Аккуратность, усидчивость, педантичность, расчетливость, целеустремленность, бережливость, практичность, предприимчивость, самообладание, терпение, интуиция, ловкость, работоспособность, осторожность, образование, уравновешенность, умение работать с людьми, коммуникабельность, активность, консультативность, быстрая реакция, ответственность, энтузиазм, здоровье, организатор, объективность, умение разбираться в людях, знание этикета, внимательность, умение вести контроль, логичность, аналитичность, формализм, бюрократизм	Подхалимство, чинопочитание, жадность, меркантильность, воро- ватость, непорядочность, взяточничество, увертливость, скользкость, неуравновешенность

	Хозяйственность, деловитость, основательность, хваткость, умение торговаться, точность в делах, недоверчивость, обязательность, внимательность, четкость, исполнительность, умение вести контроль, практичность, здоровье, интуиция, объективность, умение разбираться в людях, целеустремленность, кругозор в товарных группах, конкурентоспособность, аналитичность, опыт, интуиция	Неуклюжесть, грубость, невежество, плутовство, подозрительность, бескультурье, нетерпимость к людям, конфликтность, безволие
		Бесхозяйственность, отсутствие кругозора в товарах, жадность, отсутствие коммерческой жилки, скупость, невнимательность, скопидомство, непрактичность, неуравновешенность

Решение начинаем с определения веса - значимости должностных качеств (см. табл. 4.18) методом парных сравнений (см. п. 1.3), начиная с директора (табл. 4.20).

Определяем правильность заполнения матрицы:

Вес качеств определяем по формуле М; = 5,-/и 2 , результаты заносим в табл. 4.20.

Затем, сравнивая необходимые качества должности директора (см. табл. 4.20) с качествами претендентов (табл. 4.21), строим матрицу наличия качеств директора у претендентов (см. табл. 4.21) и вычисляем значения коэффициентов эффективности Су.

Наиболее подходящим кандидатом на эту должность является Гобсек, Су = 0,6224.

По результатам сравнения определяем коэффициенты эффективности су и заносим в табл. 4.22.

Аналогичным образом проводим операции сравнения по другим должностям, а полученные значения Су представим в виде матрицы эффективности (см. табл. 4.22).

Решая полученную матрицу венгерским методом на максимум, получим матрицу оптимального распределения претендентов по должностям (табл. 4.23).

Следует заметить, что должность менеджера остается вакантной. Можно продолжить решение задачи с учетом влияния отрицательных качеств претендентов, которые уменьшают значения коэффициентов эффективности.

Таблица 4.20

Качества директора

Качества директора

1. Ответственность

2. Образование

3. Энтузиазм

4. Здоровье

5. Организатор

7. Интуиция

8. Опыт работы

9. Коммуникабельность

10. Самокритичность

11. Уравновешенность

12. Объективность

14. Знание этикета

Качества директора		Претендент
1. Ответственность
2. Образование
3. Энтузиазм
4. Здоровье
5. Организатор
7. Интуиция
8. Опыт работы
9. Коммуникабельность
10. Самокритичность
11. Уравновешенность
12. Объективность
13. Умение разбираться в людях
14. Знание этикета

Таблица 4.22

Поделись статьей:

Похожие статьи

17 апреля 2015
Лучшие смартфоны Fly Аппаратная платформа: процессор, память, быстродействие

17 апреля 2015
Соляная лампа «Каменный цветок

17 апреля 2015
Продуктивные способы потратить время в интернете

17 апреля 2015
Как установить приложение плей маркет на ноутбук