У интегратора форма выходного напряжения представляет собой интеграл от формы входного напряжения. Схема идеального интегратора на ОУ показана на рис. 54.

Согласно второму правилу ОУ i вх » i С. Ток конденсатора и напряжение на нем связаны соотношением

Поскольку согласно рис. 54

получаем

.

Согласно правилу 1 и и » и н. Поскольку и н = 0, получаем

, или .

Интегрируя обе части уравнения по времени, получаем

где В – постоянная интегрирования, т. е. начальное напряжение на конденсаторе (U C 0) в момент времени t = 0;

t = R 1 C – постоянная времени интегрирования.

Рис. 55

Таким образом, выходное напряжение интегратора (рис. 1) равно интегралу от входного напряжения и обратно пропорционально постоянной времени интегрирования.

Постоянное напряжение на выходе интегратора будет даже тогда, когда входное напряжение равно нулю. При отсутствии входного напряжения интегратор работает как усилитель без обратной связи, поскольку конденсатор препятствует протеканию тока от выхода к инверсному входу. Тем не менее, конденсатор все время заряжается малыми токами дрейфа и смещения, что приводит к усилению напряжения ошибки. Поэтому в схемах реальных интеграторов (рис. 55) параллельно конденсатору включают резистор (R2), который обеспечивает путь для протекания постоянного тока, что позволяет минимизировать напряжение ошибки. Кроме того, с помощью этого резистора ограничивается коэффициент усиления на низких частотах. Резистор R3 введен в схему для компенсации дрейфа ОУ.

Коэффициент передачи идеального интегратора (рис. 54) определяется как

,

т. е. он обратно пропорционален частоте (рис. 56).

Рис. 56

Рис. 57

Для реального интегратора (рис. 56) коэффициент передачи имеет вид

.

ЛАХ реального интегратора показана на рис. 57.

В реальном интеграторе на частотах, при которых реактивное сопротивление конденсатора Х С сравнимо с сопротивлением R 2 , общий импеданс обратной связи не будет преимущественно емкостным, что не даст точного интегрирования. В общем случае, точное интегрирование начинается на частотах, значительно превышающих частоту, при которой Х С = R 2 . Таким образом, для точного интегрирования необходимо выполнение условия

Определим критическую частоту, при которой Х С = R 2

Эта частота определяет частоту излома ЛАХ реального интегратора (рис. 57).

На частотах, меньших f 0 , когда коэффициент усиления постоянен и равен (–R 2 /R 1), схема не работает как интегратор. На частотах, превышающих f 0 , спад коэффициента усиления составляет 20 дБ/дек, т. е. схема работает как интегратор до частоты, при которой коэффициент передачи становится равным нулю.

Порядок расчета интегратора. Для расчета интегратора (рис. 55) необходимо задать:

† амплитуду входного напряжения (U вх max);

† частоту, с которой необходимо начать интегрировать входной сигнал (f );

† частоту (f 1), на которой амплитуда входного сигнала должна быть ослаблена до заданного уровня (U f 1 max).

Расчет производится в следующем порядке.

² Выбираем емкость конденсатора С в диапазоне (0,01…1) мкФ.

² Выбираем критическую частоту f 0 на одну декаду ниже f .

² Находим сопротивление резистора R2

.

² Определяем сопротивление резистора R1 таким, чтобы на частоте f 1

.

На частоте f 1 (во много раз большей f 0) влиянием резистора R2 можно пренебречь. Поэтому в этом случае применимо выражение для определения коэффициента передачи идеального интегратора

,

.

Порядок выполнения работы

1. Получить задание на расчет интегратора– значения U вх max , f , f 1 и U f 1 max .

2. Подобрать емкость конденсатора С в диапазоне (0.01...1 мкФ).

а

б

Рис. 62

4. Собрать схему интегратора (рис. 63). Ко входу интегратора подключить генератор синусоидальных сигналов (ЗГ). Установить частоту ЗГ 20 Гц. Включить питание стенда. Установить на выходе интегратора напряжение максимальной амплитуды без искажений. Изменяя частоту ЗГ от 20 Гц до 220 кГц и поддерживая постоянной амплитуду входного напряжения (U вх), снять ЛАХ интегратора. Результаты занести в таблицу 5. Отключить питание стенда. По данным из таблицы 5 построить ЛАХ интегратора и зависимость и вых = j(f ).

В прошлый раз я пытался вкратце объяснить основные принципы работы операционных усилителей. Но я просто не могу отказать в просьбе о продолжении темы. На этот раз схемы немного сложнее, но постараюсь не растягивать нудные математические выводы.

Интеграторы и дифференциаторы

Представьте, что Вам приходится считать интеграл напряжения. Страшно, не правда ли? И кому это вообще надо?
Так вот, для этих целей как раз и нужен интегратор .
В общем случае (для идеального операционника) рассматривается этот вариант:

Помните формулу заряда конденсатора?

Учитывая, что заряд будет изменяться по времени, можем смело предположить:

Далее… Неинвертирующий вход подключен на «землю». Напряжение на конденсаторе равняется противоположному напряжению на выходе, другими словами
. Это значит, что

Далее, решая и интегрируя, получаем (почти) финальную формулу:

Это, так сказать, в общем виде. В итоге, хочу обратить внимание на то, что напряжение на выходе играет существенную роль для каждого момента времени t. Его мы возьмем как свободный элемент:

Логично предположить, что интеграция идет по времени от t0 до t1

Вот Вам задачка. Конденсатор разряжен. Выходное напряжение равно нулю. Схема выключена. Конденсатор имеет емкость 1мкФ. Резистор 30кОм. Входное напряжение сначала равно -2В, затем 2В. Полярность меняется каждую секунду. Иными словами, на вход мы подали генератор импульсов.
Итак, решаем. Собираем быстренько схему в Протеусе. Рисуем график. Заносим в качестве функций входное и выходное напряжения. Нажимаем «Симулировать график». Получаем:


Вышел «пилообразный» сигнал. Обращаем внимание, что конденсатор влияет на резкость спада. Он должен колебаться в разумных пределах, чтоб успевать заряжаться/разряжаться, и чтоб не разряжаться/разряжаться * слишком быстро. Кстати, логично будет предположить, что сигнал усиливается в пределах питания нашего ОУ.

Далее, перейдем к дифференциаторам .
Тут не сложнее, чем в интеграторах.
Дифференциатор:


А вот и формула аналогового вычисления:

И снова скучные формулы…
Ток через конденсатор равен

Раз операционный усилитель близок к идеальному, то можно предположить, что ток через конденсатор равен току через резистор.
, а значит, если подставить значение тока, то получаем:

Как и в предыдущем примере, рассмотрим более практический пример. Конденсатор емкостью 50мкФ. Резистор 30кОм. На вход подаем «пилу». (Честно говоря, в протеусе не получилось сделать пилу стандартными средствами, пришлось прибегнуть к инструменту Pwlin.
Как результат, получаем график:

Подведем итоги.
Интегратор. «Прямоугольник» -> «Пила»
Дифференциатор. «Пила» -> «Прямоугольник»
P.S. Дифференциаторы и интеграторы будут рассмотрены позже в совершенно ином обличии.

Компараторы

Компаратор - это такое устройство, которое сравнивает два входных напряжения. Состояние на выходе меняется скачкообразно в зависимости от того, какое напряжение больше. Тут нет ничего особенного, просто приведу пример. На первый вход подаем постоянное напряжение, равное 3В. На второй вход - синусоидальный сигнал с амплитудой 4В. Снимаем напряжение с выхода.


График содержит исчерпывающую информацию, которая не нуждается в комментариях:

Логарифмический и экспоненциальный усилители

Для получения логарифмической характеристики необходим элемент ею обладающий. Для таких целей вполне подходит диод или транзистор. Дабы не усложнять, далее будем использовать диод.
Для начала, как обычно, приведу схему…


… и формулу:

Обращаем внимание, что е - это заряд электрона, Т - температура в Кельвинах и k - постоянная Больцмана.
Снова придется вспомнить курс физики. Ток через полупроводниковый диод можно описать как:
(изображение сделал немного больше, т.к. степень у формулы получалась «криво»)
Тут U - напряжение на диоде. I0 - ток утечки при малом обратном смещении. Прологарифмируем и получим:

Отсюда получаем напряжение на диоде (которое идентично напряжению на выходе):

Стоит сделать заметку, что при температуре 20 градусов Цельсия:

Проверим, как работает эта схема графически. Запустим протеус. Настроим входной сигнал:


Ток на диоде будет изменятся следующим образом:


Напряжение на выходе изменяется по логарифмическому закону:

Следующий пункт - экспоненциальный усилитель я оставлю без комментариев. Надеюсь, тут все будет понятно.

Вместо заключения

В этой части я старался свести математические выводы к минимуму, а сделать упор на практическое применение. Надеюсь, Вам понравилось:-)

*UPD.: Время заряда/разряда конденсатора определяется как: , где - это время переходного процесса. Для RC-цепи справедлива формула . За время Т конденсатор будет полностью заряжен/разряжен на 99%. Иногда для расчетов используют время 3

Сумматором называется устройство, выходное напряжение которого является суммой напряжений на его входе. Схема инвертирующего сумматора, приведенная на рис. 3.11, выполнена по типу инвертирующего усилителя, но ее входная цепь представляет собой n параллельных ветвей, каждая из которых содержит резисторR (i = 1, 2, …n), гдеn – число напряжений, подлежащих суммированию.

Соотношение, связывающее величины напряжений входных и выходного сигналов, получается на основе тех же предпосылок, что и при рассмотрении инвертирующего усилителя. Только к узлу “а” на входе ОУ подходит не один ток, а n – токов. Следовательно,

i= . (3.16)

Поэтому аналогично соотношению (3.5) при u= 0можно записать

= - . (3.17)

u
= - R
. (3.18)

Рисунок 3.11. Схема инвертирующего сумматора на ОУ

Из соотношения (3.18) следует, что схема на рис. 3.11 производит суммирование сигналов с одновременным умножением каждого из слагаемых на величину, зависящую от сопротивления резистора Rв соответствующей входной ветви. Для простого суммирования сопротивления всех резисторов схемы должны быть равны

R= R= … = R = R.

Схема неинвертирующего сумматора представлена на рис. 3.12. Она отличается от схемы неинвертирующего усилителя лишь наличием параллельных ветвей на неинвертирующем входе ОУ. Каждая из этих ветвей содержит резистор R, i = 1, 2, …n, гдеn– число суммируемых сигналов.

Поскольку входное сопротивление ОУ бесконечно велико, ток на входе ОУ, являющийся в схеме рис. 3.12 суммой токов всех входных ветвей, равен нулю. Поэтому:

= 0, (3.19)

где u- напряжение на неинвертирующем входе ОУ, которое, как отмечалось выше, совпадает с величиной напряжения на инвертирующем входе ОУ и определяется соотношением (3.8). Поэтому:

u
= (1 + ) .(3.20)

Таким образом, схема рис. 3.12 в общем случае может суммировать сигналы с соответствующим умножением каждого из слагаемых. Для простого суммирования необходимо, кроме равенства сопротивлений резисторов R, выбрать сопротивления резисторов Rи Rтакими, чтобы

R = (n – 1) R.

Рис.3.12. Схема неинвертирующего сумматора на ОУ

Следует иметь в виду, что при суммировании напряжение на выходе схем рис. 3.11 и 3.12 не должно превышать напряжение насыщения U вых max используемого ОУ.

3. Интегратор и дифференциатор на оу

Интегратором называется устройство, временная зависимость напряжения на выходе которого пропорциональна интегралу по времени входного напряжения. Его схема может быть выполнена по схеме инвертирующего усилителя при замене резистора в цепи обратной связи на конденсатор C, как показано на рис. 3.13. Для узла “а” этой схемы выполняется условие (3.2), а поскольку ток в цепи обратной связи обусловлен зарядом конденсатора при подаче входного сигнала, соотношение, аналогичное (3.5), может быть представлено в виде:

C
= . (3.21)

u
= -
,

где u
- выходное напряжение приt = 0. Отсчет времени обычно ведется с момента поступления на вход интегратора сигнала. Если до этого времени напряжение на входе интегратора отсутствовало, u
= 0.

u
= -
. (3.22)

Рисунок 3.13. Схема интегратора на ОУ

Таким образом, интегратор со схемой рис. 3.13, наряду с изменением полярности сигнала, осуществляет изменение его структуры. Это свойство используется для формирования импульсов специального вида, например, пилообразного, что иллюстрируется временной диаграммой рис. 3.14. Для получения такого импульса на вход интегратора необходимо подать прямоугольный импульс. Согласно соотношению (3.28), в течение длительности импульса τ выходное напряжение изменяется линейно

u вых = -
,

а в конце импульса достигнет величины

U вых =
τ,

где τ – длительность импульса. Наклон “пилы” определяется амплитудой прямоугольного импульса, а также постоянной времени переходного процесса RCзаряда конденсатора.

В обеспечении работы ОУ в линейном режиме уровень входного сигнала, его длительность и величины параметров пассивных элементов схемы должны выбираться такими, чтобы максимальное напряжение на выходе интегратора не превышало напряжения насыщения
. В противном случае будет происходить искажение выходного сигнала, что иллюстрируется рис. 3.14 для уменьшенной величины RC.

Рисунок 3.14. Временные диаграммы,

иллюстрирующие формирование пилообразного импульса

на выходе интегратора при (RC ) " и его искажения при (RC ) ""

После окончания входного сигнала конденсатор C разряжается. Только после полного его разряда во избежание искажения интегрирования может быть подан очередной импульс входного сигнала. Для уменьшения времени разряда параллельно конденсатору обычно подключается транзисторный ключ, закорачивающийся цепь разряда после окончания входного сигнала.

Если в схеме рис. 3.13 поменять местами резистор и конденсатор, как показано на рис.3.15, то для узла «а» соотношение, аналогичное (3.21) будет иметь вид:

Следовательно, схема рис.3.15 осуществляет операцию дифференцирования. Устройство, на выходе которого напряжение пропорционально производной от напряжения на входе, называется дифференциатор.

Рисунок 3.15. Схема дифференциатора на ОУ

Интегрирование является одной из основных математических операций, и ее электрическая реализация означает построение схемы, в которой скорость изменения выходного напряжения пропорциональна входному сигналу. В графической интерпретации выходное напряжение оказывается пропорциональным площади под кривой входного напряжения. Те или иные разновидности интеграторов встречатюся во многих аналоговых системах. Наиболее часто они применяются в активных фильтрах, а также в системах автоматического регулирования для интегрирования сигнала ошибки. Интегратор можно рассматривать как ФНЧ первого порядка, у которого наклон АЧХ составляет -20 дБ/декада. Две простейшие схемы интеграторов представлены на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Основные схемы интеграторов: а) простой RC-интегратор, б) интегратор с ОУ.

У простого RC-интегратора, показанного на рис. 7.1 а, имеются два серьезных недостатка. Во-первых, он значительно ослабляет входной сигнал и, во-вторых, имеет высокое выходное сопротивление. В результате такая схема на практике применяется редко. Стандартный интегратор с ОУ, показанный на рис. 7.1 б, содержит входной резистор и конденсатор Си включенный в цепь обратной связи ОУ А. Ток, поступающий на инвертирующий вход ОУ, определяется сопротивлением резистора За счет большого собственного коэффициента усиления ОУ его инвер тирующий вход оказывается виртуальной землей. В результате входной ток определяется только входным напряжением и резистором Следо ватсльно, практически весь входной ток (с точностью до входною тока ОУ - прим. ред.) протекает через конденсатор заряжая его; при этом реализуется операция интегрирования.

Передаточная функция интегратора:

Диапазон рабочих частот:

нижияя частота:

верхняя частота:

где - коэффициент усиления ОУ, а - произведение коэффициента усиления на полосу пропускания.

Входное сопротивление схемы:

Скорость дрейфа выходного напряжения (наихудший случай):

из-за напряжения смещения и входного тока смещения :

из-за утечки через сопротивление

из-за входного дифференциального сопротивления ОУ :

Конечное значение выходного напряжения смещения:

Основной проблемой в аналоговых интеграторах является дрейф выходного напряжения, вызванный зарядом конденсатора Q токами утечки, входными токами смещения и входным напряжением смещения ОУ . Схема фактически интегрирует "неидеальности" ОУ и других элементов. Если не принять никаких мер, на выходе схемы появится большое непостоянное смещение, которое, в конечном счете, приводит к насыщению ОУ. Можно предложить три способа решения этой проблемы.

Если интегратор является частью большей схемы, охваченной общей обратной связью, например фильтра с переменными параметрами из гл. 6, то дрейф интегратора не вызывает особых осложнений, так как компенсируется общей обратной связью.

Если интегрируемый сигнал не содержит постоянной составляющей, то в цепь обратной связи ОУ можно специально включить резистор показанный на рис. 7.1. Этот резистор обеспечивает путь для входных токов смещения в обход конденсатора Си Такой прием используется только в случаях, когда нижняя частота спектра входных сигналов превышает 1 Гц, так как при меньших частотах понадобится слишком большой резистор Сопротивление должно быть с одной стороны достаточно малым, чтобы уменьшить выходное смещение до приемлемого уровня, а с другой - достаточно большим для того, чтобы схема работала как интегратор во всем диапазоне частот входного сигнала.

Если требуется интегрировать сигналы Постоянного тока, в цепь обратной связи можно ввести ключ сброса для периодического разряда конденсатора

Чтобы продемонстрировать величину возможного дрейфа, предположим, что используется КМОП-ОУ с периодической коррекцией дрейфа с конденсатором обратной связи и резистором . Для таких ОУ типичными значениями являются . При таких параметрах схемы скорость дрейфа выходного

напряжения составит 0,4 мВ/час. Для снижения дрейфа необходимо тщательно продумать монтаж и конструкцию интегратора, так как, кроме входного тока смещения инвертирующего входа интегратора, на работу схемы оказывают влияние и другие токи утечки. Рекомендуется предусмотреть охранные кольца с обеих сторон платы вокруг инвертирующего входа. Плату необходимо тщательно очистить. Чтобы достичь сверхмалых токов утечки при монтаже инвертирующего входа интегратора можно использовать изолирующие фторопластовые стойки.

Если для разряда конденсатора применяется аналоговый ключ, его собственный ток утечки должен быть меньше входного тока ОУ. Для уменьшения токов утечки можно использовать последовательное соединение полевых транзисторов или аналоговых ключей.

Идеальный интегратор имеет частотную характеристику с постоянной крутизной спада -20 дБ/декада во всем диапазоне частот. Характеристики реальных интеграторов отличаются от идеальных, что показано на рис. 7.2 для случая малых входных сигналов. Нижняя рабочая частота определяется либо конечным коэффициентом усиления ОУ, либо конечным значением сопротивления утечки Интегратор может оказаться неработоспособным на низких частотах из-за большого выходного дрейфа. Верхняя рабочая частота интегратора ограничена конечным произведением коэффициента усиления на ширину полосы пропускания ОУ. Чтобы схема работала как интегратор, спектр входного сигнала должен с определенным запасом лежать в рабочем диапазоне частот (например, в 10 раз выше нижней и ниже 1/10 верхней предельных частот).

Как было отмечено, верхний предел частотной характеристики интегратора ограничивается конечной шириной полосы пропускания ОУ, который создает дополнительный полюс на АЧХ на частоте, примерно равной , где - произведение коэффициента усиления на ширину полосы пропускания ОУ. Этот дополнительный полюс вызывает появление на высоких частотах погрешности фазового сдвига и коэффициента усиления. Один из способов коррекции этой погрешности состоит во включении небольшого конденсатора параллельно резистору для устранения дополнительного полюса. Учитывая, что значение выбирается из условия Добиться полной коррекции трудно, так как точное значение как правило, неизвестно; этим способом можно уменьшить погрешности примерно на порядок, но при слишком большом значении схема может возбудиться.

В случае больших входных сигналов в схеме появляются искажения, связанные с ограниченной скоростью нарастания выходного напряжения ОУ. Необходимо убедиться, что максимальная скорость изменения выходного напряжения интегратора не превышает скорости нарастания выходного напряжения ОУ, и не ограничивается величиной тока, которым

Рис. 7.2. Частотная характеристика интегратора для малых сигналов.

ОУ может заряжать емкостную нагрузку. Особенно это важно в быстродействующих схемах при больших емкостях конденсатора Q. Максимальная скорость изменения выходного напряжения ограничивается величиной где - максимальный выходной ТОК ОУ, - емкость нагрузки.

Рис. 7.3. Применение Т-образного соединения резисторов.

изолированы друг от друга, возможно, с применением защитных печатных дорожек. Сопротивления утечки и емкости, параллельные резисторам в, оказывают меньшее влияние, так как оба эти резистора могут иметь сравнительно небольшие сопротивления, в чем, собственно, и заключается преимущество Т-образного соединения. Отметим, что Т-образное соединение можно использовать и для получения больших эквивалентных сопротивлений резистора

Базовую схему интегратора легко видоизменить для интегрирования суммы нескольких сигналов, подаваемых на инвертирующий вход (рис. 7.4). Наибольшее число сигналов ограничивается суммарной проводимостью резисторов, присоединенных к инвертирующему входу; соответствующее эквивалентное сопротивление равно

Это значение подставляется вместо в расчетное соотношение для выходного напряжения смещения; из него следует, что увеличение количества входов увеличивает дрейф выходного напряжения.

Для интегрирования разности двух сигналов применяется схема, показанная на рис. 7.5. Она очень похожа на схему дифференциального усилителя, но в ней два резистора заменены на два конденсатора. В схеме требуется тщательное согласование резисторов и конденсаторов, иначе мы получим плохой коэффициент ослабления синфазного сигнала (КОСС). Значение КОСС (комплексное - прим. ред.) при рассогласовании элементов определяется выражением:

где - разность постоянных времени Дрейф выходного напряжения описывается выражением:

Рис. 7.4. Суммирующий интегратор

Рис. 7.5. Интегрирование разности двух входных сигналов.

Рис. 7.6. Дифференциальный интегратор с высоким КОСС.

Если требуется дифференциальный интегратор с высоким КОСС, к суммирующему интегратору подключается еще один ОУ, действующий как инвертор (рис. 7.6). КОСС этой схемы намного выше, так как он зависит только от согласования резисторов, а не конденсаторов.

Для получения неинвертирующего интегратора можно либо заземлить инвертирующий вход дифференциального интегратора (рис. 7.5), либо включить после интегратора инвертирующий каскад. Инвертор лучше включать после интегратора для сохранения динамического диапазона (по скорости нарастания выходного напряжения - прим. ред.), поскольку интегратор ослабляет высокочастотные сигналы.

Исключив входной резистор (рис. 7.7 а), базовый интегратор можно превратить в интегратор тока (см. гл. 3 об усилителях заряда). Можно построить также дифференциальный интегратор тока (рис. 7.7 б). Дифференциальный интегратор тока имеет несколько серьезных недостатков, таких, как необходимость тщательного согласования конденсаторов и применение источника тока с высоким выходным сопртивлением. Эти проблемы решаются включением еще одного ОУ (рис. 7.7 в); в этом случае один ОУ действует как интегратор тока, а дополнительный - как токовое зеркало.

На рис. 7.8 приведены две Схемы для сложения интеграла от входного сигнала с самим сигналом. Надо иметь в виду, что скорость дрейфа выходного напряжения в этих схемах такая же, как в базовом интеграторе.

Если необходимо произвести операцию двойного интегрирования, например, выходного сигнала акселерометра для определения смещения, вместо использования двух интеграторов рассмотрим вариант применения ФНЧ второго порядка с наклоном АЧХ -40 дБ/декада. Реализующая этот вариант схема представлена на рис. 7.9.

Рис. 7.7. Интеграторы тока: а) простой с виртуальной землей, б) дифференциальный, в) дифференциальный с виртуальной землей.

Схема описывается следующей передаточной функцией:

При выборе компонентов - (при этом полюсы и нули компенсируются), получим:

Рис. 7.8. Суммирование входного сигнала и его интеграла: а) неинвертирующее, б) инвертирующее.

Рис. 7.9. Применение фильтра нижних частот в качестве двойного интегратора.

Отметим, что компенсация полюсов и нулей происходит на. частоте, которая обычно близка к середине рабочего диапазона частот. Для получения хорошей компенсации требуется очень точное согласование элементов. Дрейф выходного напряжения описывается выражением:

Другой способ интегрирования аналогового сигнала с использованием элементов цифровой техники показан на рис. 7.10. Здесь входной сигнал преобразуется в частоту с помощью преобразователя напряжения в частоту

Рис. 7.10. Цифро-аналоговый интегратор.

ПНЧ). После этого интеграл от входного сигнала определяется путем подсчета импульсов выходной частоты ПНЧ с помощью двоичного счетчуса. Значение интеграла преобразуется в аналоговую форму с помощью ЦАП. Достоинство этой схемы состоит в том, что значение интеграла хранится не в виде заряда на конденсаторе, а в счетчике в цифровом виде и не подвержено дрейфу.

Широкое применение находят также устройства, и которых используются ОУ с реактивными элементами в цепи обратной связи. На рис. 5.8. а приведена схема простейшего интегратора. Чтобы понять, почему такая схема способна интегрировать, запишем выражение для тока, протекающего через конденсатор:

Если ОУ близок к идеальному с током I вх = 0 и значением К настолько большим, что потенциал инвертирующего входа можно считать равным нулю, то I R =- I C .Так как U c = - U вых , то можно записать

Разрешая это выражение относительно dU вых , находим

dU вых = (-1/RC)U вх dt,

а интегрируя его, получаем

Пределами интегрирования здесь являются моменты времени, соответствующие началу и концу интервала времени наблюдения сигнала. Для скачка входного сигнала U вх интеграл является линейной функцией времени:

Этим свойством интегратора широко пользуются при проектировании прецизионных генераторов линейно изменяющегося напряжения.

Рис. 5.8 Применение ОУ для интегрирования входного сигнала: а -- интегратор на ОУ на ОУ; б -- входной сигнал интегратора; в -- выходной сигнал интегратора

Пример. В схеме генератора R =10 кОм, С =0,1 мкф. На вход ОУ подаются прямоугольные импульсы в виде меандра с частотой 1 кГц и амплитудой 5 В. (см. рис. 5.8 б). Определить, какое будет выходное напряжение?

Решение. Поскольку сигнал периодический, для описания выходного напряжения достаточно рассмотреть только один полный период, например, длительностью t 3 - t 1 . Имеем U вх = 5B при t 1 < t < t 2 , U вх = - 5В при t 2 < t < t 3 .

Эту функцию можно интегрировать на каждом из ее полупериодов. Для описания выходного сигнала достаточно выяснить его форму и значение напряжений на концах каждого полупериода. Так как U вх в течение полпериода постоянно, то

представляет собой наклонную прямую на каждом полупериоде.

Напряжение на конденсаторе за первый полупериод, т. е. в интервале между t 1 и t 2 , изменяется на величину:

Аналогично находим изменение напряжения на выходе за второй полупериод между t 3 и t 2

В установившемся режиме, на выходе получится симметричный двуполярный сигнал (без постоянной составляющей). Поскольку скорость изменения выходного напряжения одинакова по абсолютной величине и противоположна по знаку, то на границах полупериодов выходное напряжение будет принимать значение 1.25В. Полученный выходной сигнал показан на рис. 5.8, в.

Если последовательно с конденсатором обратной связи включить сопротивление (рис. 5.9 а), то выходное напряжение окажется линейной функцией входного напряжения и интеграла по времени от входного напряжения. Такая схема фактически объединяет интегратор и усилитель. Напряжение на ее выходе имеет вид

U вых = -(R ос /R 1 )U вх -1/(R 1 C) U вх dt.

Заметим, что интегратор-усилитель может иметь более одного входа.

Разностный интегратор (рис. 5.9 б) формирует интеграл по времени от разности двух сигналов. Его схему можно получить, если на рис. 5.3 г вместо резисторов nR 1 и nR 2 включить конденсаторы С 1 = С 2 = С . Выходное напряжение в этой схеме имеет вид

U вых = (1/RC)(U 2 - U 1 )dt.

Количество входов интегратора не обязательно равно одному. Схема суммирующего интегратора с n входами показана на рис. 5.9 в. Из рисунка видно, что

i C = iR 1 + iR 2 + iR n ,

-С(dU вых /dt) = (U 1 /R 1 ) + (U 2 /R 1 ) + + (U n /R n ).

При R1 = R2 = Rn =R имеем

dU вых /dt = -(U 1 + U 2 + +U n ) /CR.

Проинтегрировав это равенство, получим

Рис. 5.9 Разновидности интеграторов на ОУ: а -- интегратор усилитель, б -- разностный интегратор, в -- суммирующий интегратор

Любой интегратор, предназначенный для интегрирования в течение длительного времени, необходимо периодически сбрасывать в некоторое заданное начальное состояние (например, нулевое). Кроме того, желательно иметь возможность останавливать на некоторое время изменение выходного напряжения (режим фиксации); это дает возможность последовательно считывать несколько значений выходного напряжения и гарантирует неизменность выходного напряжения в течение времени, необходимого для такого считывания. Трехрежимный интегратор, схема которого приведена на рис. 5.10 обеспечивает возможность производить интегрирование, фиксировать выходной сигнал и периодически сбрасывать интегратор в исходное состояние. Схема имеет следующие режимы:

• · Рабочий -- собственно интегрирование.
• · Фиксации (сравнения) -- в течение определенного интервала времени выходной сигнал не меняется.
• · Установка начальных условий (или сброс) -- интегратор возвращается в исходное состояние.

В рабочем режиме интегрирование производится обычным образом и в качестве трехрежимного интегратора может быть использован любой из описанных выше интеграторов. При большой длительности интегрирования накапливается большая ошибка за счет интегрирования входного тока, напряжения смещения и тока утечки конденсатора. Максимальное время непрерывной работы интегратора определяется величиной суммарной ошибки, допустимой в данном конкретном применении. В рабочем режиме сигнал на выходе схемы рис. 5.10 имеет вид

U вых =-(1/R 1 C) U 1 dt + U нс .,

где U нс - значение напряжения, которое выходное напряжение интегратора принимает в режиме сброса. Это напряжение сброса равно

U нс =-(R ос /R 2 )U 2 .

Напряжение сброса равно нулю, если U 2 = 0. Максимальное время, в течение которого интегратор может непрерывно работать, можно найти следующим образом. Так как С=It/U , а t = CU/I , то имеем

t раб.мак.=CU ош / I вх,

где I вх -- ток смещения ОУ, U ош -- максимально допустимое напряжение ошибки за счет входного тока.

В режиме выдержки (хранения) (K1, K2 разомкнуты) входное сопротивление отсоединяется от интегратора. При этом напряжение на конденсаторе остается практически постоянным, так как входное сопротивление ОУ велико. Однако, это напряжение не будет удерживаться на конденсаторе бесконечно долго, потому что ни входное сопротивление усилителя, ни сопротивление утечки конденсатора не бесконечны. Если ток утечки конденсатора достаточно мал, то напряжение на конденсаторе будет уменьшаться по экспоненциальному закону с постоянной времени = СR вх ус .

Рис. 5.10

В режиме сброса конденсатор вынужден зарядиться или разрядиться до напряжения, определяемой цепью обратной связи R ос и R 2 . Чтобы сброс происходил достаточно быстро, резисторы выбираются настолько малой величины, насколько позволяет усилитель. В качестве ключей обычно применяют ключи на биполярных или полевых транзисторах.

Погрешность интегратора в первую очередь определяется таким параметром ОУ, как напряжение смещения и входной ток. Напряжение смещения интегрируется как ступенчатая функция, что дает дополнительный линейно нарастающий (или спадающий) выходной сигнал, полярность и наклон которого определяется соответственно полярностью и величиной U см . Ток I вх течет через конденсатор обратной связи, что также приводит к появлению наклонного выходного сигнала. В результате действия этих эффектов (они никогда не компенсируют друг друга полностью, но могут складываться и вычитаться) конденсатор обратной связи через некоторое время неизбежно зарядится до максимально возможного выходного напряжения усилителя. Такое постоянное нарастание заряда на конденсаторе накладывает ограничение на интервал времени, в течение которого может быть осуществлено интегрирование с достаточной точностью. Кроме того, U см2 -U см1 добавляется к напряжению на конденсаторе, т. е. к выходному напряжению. В итоге выражение для U вых интегратора принимает вид

Последние три члена в правой части приведенного равенства соответствуют указанным выше ошибкам, а первый -- описываемому полезному выходному сигналу. Для уменьшения ошибки интегрирования необходимо использовать ОУ с малыми значениями I см и U см , большим значением К, периодически разряжать конденсатор до некоторого заранее выбранного значения.

Операцию дифференцирования выполняет схема, приведенная на рис. 5.11.

Она создает выходное напряжение, пропорциональное скорости изменения входного. При дифференцировании входного сигнала усилитель должен пропускать только переменную составляющую входного напряжения и коэффициент усиления дифференциатора должен возрастать при увеличении скорости изменения входного сигнала.

1 с =С.

Рис. 5.11

Напряжение U c равно входному напряжению U вх , так как потенциал инвертирующего входа близок к нулю. Ели предположить, что ОУ идеален, то ток через Rос можно считать равным току через конденсатор, т. е. I R =I C . Но U вых = -RI R =-I C R , поэтому

U вых = -RC dU вх /dt.

С увеличением частоты входного сигнала уменьшается реактивное сопротивление Х С . При этом возрастает коэффициент усиления дифференциатора по отношению к высокочастотным составляющим на входе. Однако это возрастание коэффициента усиления ограничивается частотными свойствами ОУ.

Особенностью схемы дифференциатора является также ее склонность к самовозбуждению, что требует принятия мер для динамической стабилизации дифференциатора.

Представляет опасность и значительное увеличение усиления дифференциатора, обусловленное свойством входной цепи на достаточно высоких частотах. В результате высокочастотные составляющие спектра собственного шума ОУ после значительного усиления накладываются на полезный сигнал и искажают его. Поэтому на практике применяют модифицированную схему, которая выполняет функцию дифференцирования входных сигналов до частоты 1 = 1/(R 1 C 1 ) , выполняет функцию усилителя в диапазоне частот от 1 = 1(/R 1 C 1 ) , до 2 = 1/(R 2 C 2 ) и является интегратором на частотах выше 2 .

Рис. 5.12 а -- схема дифференцирующего устройства, применяемого на практике; б -- логарифмическая амплитудно-частотная характеристика дифференциатора

На рис. 5.12 б приведена логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ОУ, которая обеспечивает нормальную работу рассматриваемой схемы в режимах дифференциатора, усилителя и интегратора. Это позволяет устранить влияние собственной полосы пропускания ОУ на участке частот, где осуществляется интегрирование.