В этой статье мы остановимся на вынесении за скобки общего множителя . Для начала разберемся, в чем состоит указанное преобразование выражения. Дальше приведем правило вынесения общего множителя за скобки и подробно рассмотрим примеры его применения.

Навигация по странице.

Например, слагаемые в выражении 6·x+4·y имеют общий множитель 2 , который не записан явно. Его можно увидеть лишь после того, как представить число 6 в виде произведения 2·3 , а 4 в виде произведения 2·2 . Итак, 6·x+4·y=2·3·x+2·2·y=2·(3·x+2·y) . Еще пример: в выражении x 3 +x 2 +3·x слагаемые имеют общий множитель x , который становится явно виден после замены x 3 на x·x 2 (при этом мы использовали ) и x 2 на x·x . После вынесения его за скобки получим x·(x 2 +x+3) .

Отдельно скажем про вынесение минуса за скобки. Фактически вынесение минуса за скобки означает вынесение за скобки минус единицы. Для примера вынесем за скобки минус в выражении −5−12·x+4·x·y . Исходное выражение можно переписать в виде (−1)·5+(−1)·12·x−(−1)·4·x·y , откуда отчетливо виден общий множитель −1 , который мы и выносим за скобки. В результате придем к выражению (−1)·(5+12·x−4·x·y) , в котором коэффициент −1 заменяется просто минусом перед скобками, в итоге имеем −(5+12·x−4·x·y) . Отсюда хорошо видно, что при вынесении минуса за скобки в скобках остается исходная сумма, в которой изменены знаки всех ее слагаемых на противоположные.

В заключение этой статьи заметим, что вынесение за скобки общего множителя применяется очень широко. Например, с его помощью можно более рационально вычислять значения числовых выражений . Также вынесение за скобки общего множителя позволяет представлять выражения в виде произведения, в частности, на вынесении за скобки основан один из методов разложения многочлена на множители .

Список литературы.

• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.

Чичаева Дарина 8в класс

В работе ученица 8 класса расписала правило разложения многочлена на множители путём вынесения общего множителя за скобки с подробным ходом решения множества примеровм по данной теме. На каждый разобранный пример предложено по 2 примера для самостоятельного решения, к которым есть ответы. Работа поможет изучить данную тему тем ученикам, которые по каким-то причинам её не усвоил при прохождении программного материала 7 класса и (или) при повторении курса алгебры в 8 классе после летних каникул.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №32

«Ассоциированная школа ЮНЕСКО «Эврика-развитие»

г. Волжского Волгоградской области

Работу выполнила:

Ученица 8В класса

Чичаева Дарина

г. Волжский

2014

Вынесение общего множителя за скобки

• - Одним из способов разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки;
• - При вынесении общего множителя за скобки применяется распределительное свойство ;
• - Если все члены многочлена содержат общий множитель , то этот множитель можно вынести за скобки .

При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложение многочлена на множители.

Рассмотрим многочлен 6a 2 b+15b 2 . Каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →из этого мы получим: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них – общий множитель 3b , а другой – сумма 2а 2 и 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Таким образом, мы разложили многочлен: 6a 2 b+15b 2 на множители, представив его в виде произведения одночлена 3b и многочлена 2a 2 +5b. Данный способ разложения многочлена на множители называют вынесение общего множителя за скобки.

Примеры:

Разложите на множители:

А) kx-px.

Множитель х х выносим за скобки.

kx:x=k; px:x=p.

Получим: kx-px=x*(k-p).

б) 4a-4b.

Множитель 4 есть и в 1 слагаемом и во 2 слагаемом. Поэтому 4 выносим за скобки.

4а:4=а; 4b:4=b.

Получим: 4a-4b=4*(a-b).

в) -9m-27n.

9m и -27n делятся на -9 . Поэтому выносим за скобки числовой множитель -9.

9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

Имеем: -9m-27n=-9*(m+3n).

г) 5y 2 -15y.

5 и 15 делятся на 5; y 2 и у делятся на у.

Поэтому выносим за скобки общий множитель 5у .

5y 2 : 5у=у; -15y: 5у=-3.

Итак: 5y 2 -15y=5у*(у-3).

Замечание: Из двух степеней с одинаковым основанием выносим степень с меньшим показателем.

д) 16у 3 +12у 2 .

16 и 12 делятся на 4; y 3 и y 2 делятся на y 2 .

Значит, общий множитель 4y 2 .

16y 3 : 4y 2 =4y; 12y 2 : 4y 2 =3.

В результате мы получим: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4у+3).

е) Разложите на множители многочлен 8b(7y+a)+n(7y+a).

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель (7y+a) , который можно вынести за скобки. Итак, получим: 8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

ж) a(b-c)+d(c-b).

Выражения b-c и c-b являются противоположными. Поэтому, чтобы сделать их одинаковыми, перед d меняем знак «+» на «-»:

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Примеры для самостоятельного решения:

1. mx+my;
2. ах+ау;
3. 5x+5y ;
4. 12x+48y;
5. 7ax+7bx;
6. 14x+21y;
7. –ma-a ;
8. 8mn-4m 2 ;
9. -12y 4 -16y;
10. 15y 3 -30y 2 ;
11. 5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
12. 8m(a-3)+n(a-3);
13. x(y-5)-y(5-y);
14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Ответы.

1) m(х+у); 2) а(х+у); 3) 5(х+у); 4) 12(х+4у); 5) 7х(a+b); 6) 7(2х+3у); 7) -а(m+1); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5с+у 2 ); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

Урок математики в 7 а классе

1.	ФИО (полностью)	Трофименко Надежда Павловна
2.	Место работы	МОУ «Милославская школа»
3.	Должность	Учитель математики
4.	Предмет
5.	Класс
6.	Тема и номер урока в теме	Вынесение общего множителя за скобки (1 урок в теме)
7.	Базовый учебник	Ю.М. Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова,М.И. Шабунин. « Алгебра 7 класс» учебник для общеобразовательных организаций.М.Просвещение.2016.

8. Цели урока

Для учителя:

образовательные

организовать учебную деятельность:

По освоению алгоритма вынесения общего множителя за скобки и понимания логики его построения;

По выработке умения применять алгоритм вынесения общего множителя за скобки

развивающие

создать условия для развития регулятивных умений:

Самостоятельно определять цели учебной деятельности;

Планировать пути достижения целей;

Соотносить свои действия с планируемыми результатами;

Контролировать и оценивать учебную деятельность по результатам;

Организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

- воспитательные

Создать условия для формирования ответственного отношения к учению;

Создать условия для развития самостоятельности учащихся в организации и осуществлении своей учебной деятельности.

Создать условия для патриотического воспитания

Создать условия для экологического воспитания

Для учащихся:

Освоить алгоритм вынесения общего множителя за скобки и понимания логики его построения;

Выработать умения применять алгоритм вынесения общего множителя за скобки

9.Используемые УУД: регулятивные (Целеполагание, планирование деятельности, контроль и оценка)

10.Тип урока: изучение нового материала

11.Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная

12. Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, эмблема урока, учебники по математике, электронная презентация, выполненная в программе Power Point, раздаточный материал

Структура и ход урока

Этапы урока		Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Образовательный
Организационный		Здравствуйте, ребята! Я очень рада видеть вас! Девиз нашего урока: Я слышу и забываю. Я вижу и запоминаю. Я делаю и понимаю . Конфуций. Придадим нашему уроку необычную окраску(эмблема зеленого дерева и красного сердца), эмблема на доске. В конце урока мы раскроем секрет этой эмблемы	Проверяют рабочее место, приветствуют учителя, включаются в рабочий ритм урока
Актуализация знаний и мотивация		Сегодня на уроке вы изучите новый материал. Но прежде поработаем устно. 1.Выполнить умножение одночленов: 2а 2 *3ав; 2ав*(-а 4) ; 6х 2 *(-2х); -3с*5х; -3х*(-ху 2);-4а 2 в*(-0,2ав 2) При правильном ответе открывают первую букву 2) Какие одночлены следует поставить вместо *, чтобы получилось верное равенство: х 3 * = х 6 ; - а 6 = а 4 *; *у 7 = у 8 ; -2а 3 * = 8а 5 ; 5ху 4 * = 25х 2 у 6 . При правильном ответе открывают вторую букву 3) Представить одночлен 12х 3 у 4 в виде произведения двух множителей, один из которых равен 2х 3 ; 3у 3 ; -4х ; 6ху ; -2х 3 у ; 6х 2 у 2 . При правильном ответе открывают третью букву 4) Представить различными способами одночлен 6х 2 у в виде произведения двух множителей. Открываем 4 букву 5) Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стертым. Восстановите его …*(х – у) = 3ах – 3ау …*(-х + у 2 – 1) = ху 2 – у 4 +у …*(а +в – 1) = 2ах +2вх – 2х …*(а – в) = а 2 в – а 3 …*(2у 2 – 3) = 10у 4 – 15у 2 .Открываем 5 букву 6.Вычислить 768*95 – 668*95 = 76,8*9,5 + 23,2*9,5 = Открываем 6 букву. Из букв получилась фамилия немецкого математика.	Устно выполняют задание Комментируют решение, используя правила Открывают буквы на доске Ученик(получил заранее задание) Историческая справка : Михель Штифель (1487-1567), немецкий математик и странствующий проповедник; автор книги “Полная арифметика», он ввёл термин «показатель степени», а также рассматривал свойства многочленов и внес существенный вклад в развитие алгебры.(фото)
3.Целеполагание и мотивация	Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.	На доске: Найти значение выражения а 2 – 3ав при а = 106,45; в = 2,15 . Как это сделать? а) Можно подставить числовые значения а и в и найти значение выражения, но это сложно. в) А можно поступить иначе? Как? На доске записываем тему урока: «Вынесение общего множителя за скобки.» Ребята, пишем аккуратно! Помним, что для производства тонны бумаги требуется спилить примерно 17 взрослых деревьев. Попробуем поставить цели урока по схеме: С какими понятиями познакомится? Какие навыки и умения освоим?	Предлагают свои варианты решения
4. Усвоение новых знаний и способов усвоения (первичное знакомство с материалом)	Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми изученной темы	Открываем учебник стр 120-121, читаем и отвечаем на вопросы стр 121. Выделяют пункты алгоритма Алгоритм вынесения общего множителя за скобки Найти общий множитель коэффициентов многочленов Вынести его за скобку 3. Учитель: Я приведу пример вынесения множителя за скобки в русском языке. В выражении “Взять книгу, взять ручку, взять тетрадь” функцию общего множителя выполняет глагол “взять”, а книга, тетрадь и ручка – это дополнения. Это же выражение можно сказать по другому “взять книгу, тетрадь и ручку”. 4 Я написала правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы. На доске появляется запись: Попрубуйте нарисовать схематично правило вынесения общего множителя	Читают материал Отвечают на вопросы Находят лист с алгоритмом А, теперь попробуйте вы: Съесть: суп, кашу, салат На доске рисуют обратную схему
5. Релаксация		Включает мультфильм « задание на лето» Из зимней погоды попадаем в теплое лето. Но фрагмент поучительный, попробуйте уловить главную мысль	Смотрят фрагмент мультфильма и делают вывод о красоте родного края	Фрагмент мультфильма « Задание на лето»
6.Первичное закрепление	Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.	Фронтально у доске: № 318, 319, 320,321,324,325,328 По очереди, по желанию	Решают у доски с комментариями
6. Организация первичного контроля	Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков	Самостоятельно решают по тексту на листочках и проверяют по ответам на доске: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (дифференцированно) 1 вариант Закончите разложение многочлена на множители: 5ах – 30ау = 5а(…………..) х 4 – 5х 3 – х 2 = х 2 (…………..) Разложите на множители многочлен - 5ав + 15а 2 в, вынося за скобки множитель: а) 5а; б) -5а. Разложите на множители: 5х + 5у = 7ав + 14ас= 20а – 4в= 5mn – 5= ах – ау= 3x 2 – 6x= 2а – 10ау= 15a 2 + 5a 3 = 2 вариант Закончите запись: 18ав +16в= 2в(…………) 4а 2 с – 8ас= 4ас(………..) Разложите на множители многочлен -15а 2 в + 5ав 4 двумя способами: а) вынося за скобки множитель 5ав; б) вынося за скобки множитель -5ав. 5х+6ху= 2ав – 3а 3 в= 12ав – 9в= х 3 -4х 2 +6х= 6а 4 – 4а 2 = 4а 4 -8а 3 +12а 2 = 24х 2 у -12ху= 9в 2 -6в 4 +3в= 4. Найдите значение выражения, разложив его на множители: ху 2 +у 3 при х=97, у=3. 3 вариант Вынесите за скобки общий множитель и выполните проверку, умножив одночлен на многочлен: а) 12ху+ 18х= б) 36ав 2 – 12а 2 в= 2. Закончите запись: 18а 3 в 2 +36ав = 18ав(…………) 18а 3 в 2 +36ав = -18ав(…………) 3. Вынесите за скобки общий множитель: 12а 2 +16а= -11х 2 у 2 +22ху= 2а 4 -6а 2 = -12а 3 в 3 +6ав= 30а 4 в- 6ав 4 = х 8 -8х 4 +х 2 = 4. Замените М многочленом или одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством: 12а 2 в-8ав 2 +6ав=М*(6а-4в+3) 15х 2 у-10х3у2+25х 4 у 3 =5х 2 у*М 5. Найдите значение выражения: а) 2,76а-ав при а=1,25 и в=0,76; б) 2ху+2у 2 при х=0,27 и в=0,73.	Выполняют свою работу, после выполнения получают ключи и проверяют, ставят + или минус, оценивают свою работу по критериям на доске:(ответы на доске) 10-12 баллов- «5» 8-9 баллов - «4» 6-7 баллов -«3» Меньше 6 - нужно поработать еще.	Листы с дифференцированным заданием
7. Подведение итогов урока.	Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых	Отметить активно работающих учащихся и подвести итоги самостоятельной работы: Поднимите руки, у кого 5,4,3.	Анализируют свою работу
8. Информация о домашнем задании	Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.	Параграф № 19 № 322,326, 329 Делаем по образцам заданий в классной работе	Записывают задания в дневник
9. Рефлексия		Учитель: Это был урок – поиск. Мы с вами искали точки соприкосновения друг с другом, учились общаться, а также раскрыли один из методов объяснения и закрепления темы. Вернемся к целям урока и проанализируем как мы их достигли А, о чем мы еще поговорили, кроме вынесения общего множителя за скобки? Возвращаемся к эмблеме урока.	Зачитывают цели и анализируют их выполнение О связи математики и русского языка, О красоте родного края, об экологии

§ 10. Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть подавали натуральные числа в виде произведения. Например, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙5 ∙ 7 др.

Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать па множители. Например, 5а: - 5у - 5(х - y); а 3 и 3а 2 = а 2 (а + 3) и тому подобное.

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители - вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительная свойство умножения a(b + с) = ab + ас, если его записать в обратном порядке: аb + ас - a(b + с). Это означает, что многочлен аb + ас разложили на два множителя а и b + с.

Во время разложения на множители многочленов с целыми коэффициентами множителем, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Разложить выражение на множители:

3) 15а 3 b - 10а 2 b 2 .

Р а з в’ я з а н н я.

1) Общим множителем является число 4, поэтому

8m + 4 = 4 . 2m + 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) Общим множителем является переменная а, поэтому

at + 7ap = a(t + 7p).

3) В данном случае общим числовым множителем есть наибольший общий делитель чисел 10 и 15 - число 5, а общим буквенным множителем является одночлен а 2 b. Итак,

15а 3 b - 10а 2 b 2 = 5а 2 b ∙ 3а - 5a 2 b ∙ b = 5а 2 b(3а - 2b).

Пример 2. Разложить па множители:

1) 2m(b - с) + 3р(b - с);

2) х(у - t) + c(t - в).

Р а з в ’ я з а н н я.

1) В данном случае общим множителем является двочлен b = c.

Следовательно, 2m(b - с ) + 3р(b - c ) = (b - с)(2m + 3р).

2) Слагаемые имеют множители в - t и t - в, которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемого вынесем за скобки множитель -1, получим: c(t - в) = -с(у - t).

Следовательно, х(у - t) + c(t - в) = х(у - t) - с(у - t) = (у - t) (х - с).

Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлена.

Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.

Пример 3. Найти корни уравнения 5х 2 - 7х = 0.

Р а з в ’ я з а н н я. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: х(5х - 7) = 0. Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, будем иметь: х = 0 или 5х - 7 = 0, откуда х = 0 или х = 1,4.

Ответ: 0; 1,4.

Какое преобразование называют разложением многочлена на множители? На примере многочлена ab + ас объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.

1. (Устно) Найдите общий множитель в выражении:

1. (Устно) Разложите на множители:

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1. (Устно) правильно выполнило разложения на множители:

1) 7а + 7 = 7а;

2) 5m - 5 = 5(m - 5);

3) 2а - 2 = 2(а - 1);

4) 7ху - 14х = 7х - (у - 2);

5) 5mn + bn = 5m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

1. Запишите сумму в виде произведения:

1. Разложите на множители:

1. Разложите на множители:

4) 7а + 21ау;

5) 9х 2 - 27х;

6) 3а - 9а 2 ;

8) 12ах - 4а 2 ;

9) -18ху + 24в 2 ;

10) а 2 b - ab 2 ;

11) рм - р 2 m;

12) -х 2 y 2 - ху.

1. Вынесите за скобки общий множитель:

4) 15ху + 5х;

6) 15m - 30m 2 ;

7) 9xy + 6х 2 ;

9) -p 2 q - рq 2 .

1. Разложите на множители:

5) 3b 2 - 9b 3 ;

7) 4y 2 + 12y 4 ;

8) 5m 5 + 15m 2 ;

9) -16a 4 - 20a.

1. Разложите на множители:

4) 18p 3 - 12p 2 ;

5) 14b 3 + 7b 4 ;

6) -25m 3 - 20m.

1. Запишите сумму 6x 2 в + 15x в виде произведения и найдите его значение, если х = -0,5, у = 5.
2. Запишите выражение 12а 2 b - 8а в виде произведения и найдите его значение, если а = 2, 6 = .
3. Вынесите за скобки общий множитель:

1) а 4 + а 3 - а 2 ;

2) m 9 - m 2 + m 7 ;

3) b 6 + b 5 - b 9 ;

4) -в 7 - в 12 - в 3 .

1. Представьте в виде произведения:

1) р 7 + р 3 - р 4 ;

2) а 10 - a 5 + а 8 ;

3) b 7 - b 5 - b 2 ;

4) -m 8 - m 2 - m 4 .

1. Вычислите удобным способом:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

1. Решите уравнение:

1) x 2 - 2x = 0;

2) x 2 + 4х = 0.

1. Найдите корни уравнения:

1) х 2 + 3x = 0;

2) х 2 -7х = 0.

1) 4а 3 + 2а 2 - 8а;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6 ;

3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3 ;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5 .

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1) 5с 8 - 5с 7 + 10с 4 ;

2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;

3) 8р 7 - 4р 5 + 10р 3 ;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3 .

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;

2) 12а 2 b - 18аb 2 + 30аb 3 ;

3) 8х 2 у 2 - 4х 3 в 5 + 12x 4 в 3 ;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15рq 3 .

1. Разложите многочлен на множители:

1) 12а - 6а 2 х 2 - 9а 3 ;

2) 12b 2 в - 18b 3 - 30b 4 в;

3) 16bx 2 - 8b 2 х 3 + 24b 3 х;

4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5 .

1. Вычислите удобным способом:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

1. Найдите значение выражения:

1) 4,23 а - а 2 , если а = 5,23;

2) х 2 у + х 3 , если х = 2,51, в = -2,51;

3) ам 5 - m 6 , если = -1, а = -5;

4) -ху - х 2 , если х = 2,7, в = 7,3.

1. Найдите значение выражения:

1) 9,11 а + а 2 , если а = -10,11;

2) 5х 2 + 5a 2 х, если а = ; х = .

1. Разложите многочлен на множители:

1) 2р(х - у) + q(x - у);

2) а(х + у) - (х + у);

3) (а - 7) - b(а - 7);

4) 5(а + 1) + (а + 1) 2 ;

5) (х + 2) 2 - х(х + 2);

6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .

1. Представьте выражение в виде произведения:

1) а(х - у) + b(у - х);

2) г(b - 5) - n(5 - b);

3) 7х - (2b - 3) + 5у(3 - 2b);

4) (х - y) 2 - а(у - х);

5) 5(х - 3) 2 - (3 - х);

6) (а + 1)(2b - 3) - (а + 3)(3 - 2b).

1. Разложите на множители:

1) 3х(b - 2) + у(b - 2);

2) (m 2 - 3) - х(m 2 - 3);

3) а(b - 9) + с(9 - b);

4) 7(а + 2) + (а + 2) 2 ;

5) (с - m) 2 - 5(m - с);

6) -(х + 2у) - 5(х + 2y) 2 .

1. Найдите корни уравнения:

1) 4x 2 - х = 0;

2) 7х 2 + 28х = 0;

3) х 2 + х = 0;

4)х 2 - х = 0.

1. Решите уравнение:

1) 12х 2 + х = 0;

2) 0,2 x 2 - 2х = 0;

3) х 2 - х = 0;

4) 1 - х 2 + - х = 0.

1. Решите уравнение:

1) х(3х + 2) - 5(3х + 2) = 0;

2) 2х(х - 2) - 5(2 - х) = 0.

1. Решите уравнение:

1) х(4х + 5) - 7(4х + 5) = 0;

2) 7(х - 3) - 2х(3 - х) = 0.

1) 17 3 + 17 2 кратное числу 18;

2) 9 14 - 81 6 кратное числу 80.

1. Докажите, что значение выражения:

1) 39 9 - 39 8 делится на 38;

2) 49 5 - 7 8 делится на 48.

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1) (5m - 10) 2 ;

2) (18а + 27b) 2 .

1. Найдите корни уравнения:

1) х(х - 3) = 7х - 21;

2) 2х(х - 5) = 20 - 4х.

1. Решите уравнение:

1) х(х - 2) = 4х - 8;

2) 3х(х - 4) = 28 - 7х.

1. Докажите, что число:

1) 10 4 + 5 3 делится на 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 делится на 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 делится на 25;

4) 21 3 + 14 а - 7 3 делится на 34.

Упражнения для повторения

1. Упростите выражение и найдите его значение:

1) -3x 2 + 7x 3 – 4х 2 + 3x 2 , если х = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n, если m = 7, n = -1.

1. Запишите вместо звездочек такие коэффициенты одночлен, чтобы равенство превратилось в тождество:

1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;

2) 7х 2 - 10у 2 - ху - (*х 2 - *ху + * 2) = -х 2 + 3у 2 + ху.

1. Длина прямоугольника втрое больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 40 см 2 . Найдите длину и ширину прямоугольника.

Интересные задачи для учеников ленивых

Известно, что а < b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| > |с| и |b| < |с|?

На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.

Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.

Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:

В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.

В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?

Найдём значение выражения: .

В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.

Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .

Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.

Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : .

Выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .

Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?

Вспомним, что многочлен - сумма одночленов.

Рассмотрим многочлен . Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен - произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.

Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: .

Рассмотрим ещё один пример: .

Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .

Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.

Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: .

В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:

Усложним пример, увеличив количество одночленов:

После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.

Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:

Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим легкий прием, который позволит вам быстро решить эту проблему.

Общим множителем также может быть искомое значение :

Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении.