Определение 1

Сначала давайте вспомним правила умножения одночлена на одночлен:

Для умножения одночлен на одночлен необходимо сначала перемножить коэффициенты одночленов, затем воспользовавшись правилом умножения степеней с одинаковым основанием умножить переменные входящие в состав одночленов.

Пример 1

Найти произведение одночленов ${2x}^3y^2z$ и ${\frac{3}{4}x}^2y^4$

Решение:

Сначала вычислим проиведение коэффициентов

$2\cdot\frac{3}{4} =\frac{2\cdot 3}{4}$ в этом задании мы использовали правило умножения числа на дробь - чтобы умножить целое число на дробь надо умножить число на числитель дроби, а знаменатель ставить без изменений

Теперь воспользуемся основным свойством дроби - числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, отличное от $0$. Разделим числитель и знаменте6ль этой дроби на $2$, т. е сократим на $2$ данную дробь $2\cdot\frac{3}{4}$ =$\frac{2\cdot 3}{4}=\ \frac{3}{2}$

Получившийся результат оказался неправильной дробью, т. е такой, у которой числитель больше знаменателя.

Преобразуем эту дробь по средствам выделения целой части. Вспомним, что для выделения целой части необходимо неполное частное, получившиеся при делении числителя на знаменатель записать, как целую часть, остаток от деления в числитель дробной части, делитель в знаменатель.

Мы нашли коэффициент будущего произведения.

Теперь последовательно будем перемножать переменные $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Тут мы воспользовались правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Тогда итогом умножения одночленов будет:

${2x}^3y^2z \cdot {\frac{3}{4}x}^2y^4=1\frac{1}{2}x^5y^6$.

Тогда исходя из данного правила можно выполнить следующее задание:

Пример 2

Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена ${4x}^3y+8x^2$

Преставим каждый из одночленов,входящих в состав многолена как прозведение двух одночленов для того, чтобы выделить общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене.

Сначала начнем с первого одночлена ${4x}^3у$. Разложим его коэффициент на простые множители: $4=2\cdot 2$. Аналогично поступим с коэффициентом второго одночлена $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Зметим, что два множителя $2\cdot 2$ входят в состав и первого и второго коэффициентов, значит $2\cdot 2=4$--это чило войдет в общий одночлен как коэффициент

Теперь обратим внимание, что в первом одночлене $x^3$ ,а во втором та же переменная в степени $2:x^2$. Значит, переменную $x^3$ удобно представить так:

Переменная $y$ входит в состав только одного слагаемого многочлена, значит, не может входить в общий одночлен.

Представим первый и второй одночлен, входящий в многочлен как произведение:

${4x}^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Заметим, что общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене это $4x^2$.

${4x}^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Теперь применим распределительный закон умножения, тогда полученное выражение можно представить в виде произведения двух множителей. Одним из множителей будет являться общий множитель: $4x^2$ а другой -- сумма оставшихся множителей: $xy + 2$. Значит:

${4x}^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Этот метод называется разложением на множители с помощью вынесения общего множителя.

Общим множителем в данном случае выступал одночлен $4x^2$ .

Алгоритм

Замечание 1

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен - он будет коэффициентом общего множителя-одночлена, который мы вынесем за скобки

Одночлен, состящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3 будет общим множителем. который можно вынести за скобки как общий множитель.

Пример 3

Вынести общий множитель $3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2$

Решение:

Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители

$45=3\cdot 3\cdot 5$

И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:

Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени

$a^3=a^2\cdot a$

Переменная $b$ входит только во второй и третий одночлен, значит, в общий множитель не войдет.

Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $3a$- это и будет общий множитель. тогда:

$3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

В этой статье мы остановимся на вынесении за скобки общего множителя . Для начала разберемся, в чем состоит указанное преобразование выражения. Дальше приведем правило вынесения общего множителя за скобки и подробно рассмотрим примеры его применения.

Навигация по странице.

Например, слагаемые в выражении 6·x+4·y имеют общий множитель 2 , который не записан явно. Его можно увидеть лишь после того, как представить число 6 в виде произведения 2·3 , а 4 в виде произведения 2·2 . Итак, 6·x+4·y=2·3·x+2·2·y=2·(3·x+2·y) . Еще пример: в выражении x 3 +x 2 +3·x слагаемые имеют общий множитель x , который становится явно виден после замены x 3 на x·x 2 (при этом мы использовали ) и x 2 на x·x . После вынесения его за скобки получим x·(x 2 +x+3) .

Отдельно скажем про вынесение минуса за скобки. Фактически вынесение минуса за скобки означает вынесение за скобки минус единицы. Для примера вынесем за скобки минус в выражении −5−12·x+4·x·y . Исходное выражение можно переписать в виде (−1)·5+(−1)·12·x−(−1)·4·x·y , откуда отчетливо виден общий множитель −1 , который мы и выносим за скобки. В результате придем к выражению (−1)·(5+12·x−4·x·y) , в котором коэффициент −1 заменяется просто минусом перед скобками, в итоге имеем −(5+12·x−4·x·y) . Отсюда хорошо видно, что при вынесении минуса за скобки в скобках остается исходная сумма, в которой изменены знаки всех ее слагаемых на противоположные.

В заключение этой статьи заметим, что вынесение за скобки общего множителя применяется очень широко. Например, с его помощью можно более рационально вычислять значения числовых выражений . Также вынесение за скобки общего множителя позволяет представлять выражения в виде произведения, в частности, на вынесении за скобки основан один из методов разложения многочлена на множители .

Список литературы.

• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.

Определение 1

Сначала давайте вспомним правила умножения одночлена на одночлен:

Для умножения одночлен на одночлен необходимо сначала перемножить коэффициенты одночленов, затем воспользовавшись правилом умножения степеней с одинаковым основанием умножить переменные входящие в состав одночленов.

Пример 1

Найти произведение одночленов ${2x}^3y^2z$ и ${\frac{3}{4}x}^2y^4$

Решение:

Сначала вычислим проиведение коэффициентов

$2\cdot\frac{3}{4} =\frac{2\cdot 3}{4}$ в этом задании мы использовали правило умножения числа на дробь - чтобы умножить целое число на дробь надо умножить число на числитель дроби, а знаменатель ставить без изменений

Теперь воспользуемся основным свойством дроби - числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, отличное от $0$. Разделим числитель и знаменте6ль этой дроби на $2$, т. е сократим на $2$ данную дробь $2\cdot\frac{3}{4}$ =$\frac{2\cdot 3}{4}=\ \frac{3}{2}$

Получившийся результат оказался неправильной дробью, т. е такой, у которой числитель больше знаменателя.

Преобразуем эту дробь по средствам выделения целой части. Вспомним, что для выделения целой части необходимо неполное частное, получившиеся при делении числителя на знаменатель записать, как целую часть, остаток от деления в числитель дробной части, делитель в знаменатель.

Мы нашли коэффициент будущего произведения.

Теперь последовательно будем перемножать переменные $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Тут мы воспользовались правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Тогда итогом умножения одночленов будет:

${2x}^3y^2z \cdot {\frac{3}{4}x}^2y^4=1\frac{1}{2}x^5y^6$.

Тогда исходя из данного правила можно выполнить следующее задание:

Пример 2

Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена ${4x}^3y+8x^2$

Преставим каждый из одночленов,входящих в состав многолена как прозведение двух одночленов для того, чтобы выделить общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене.

Сначала начнем с первого одночлена ${4x}^3у$. Разложим его коэффициент на простые множители: $4=2\cdot 2$. Аналогично поступим с коэффициентом второго одночлена $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Зметим, что два множителя $2\cdot 2$ входят в состав и первого и второго коэффициентов, значит $2\cdot 2=4$--это чило войдет в общий одночлен как коэффициент

Теперь обратим внимание, что в первом одночлене $x^3$ ,а во втором та же переменная в степени $2:x^2$. Значит, переменную $x^3$ удобно представить так:

Переменная $y$ входит в состав только одного слагаемого многочлена, значит, не может входить в общий одночлен.

Представим первый и второй одночлен, входящий в многочлен как произведение:

${4x}^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Заметим, что общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене это $4x^2$.

${4x}^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Теперь применим распределительный закон умножения, тогда полученное выражение можно представить в виде произведения двух множителей. Одним из множителей будет являться общий множитель: $4x^2$ а другой -- сумма оставшихся множителей: $xy + 2$. Значит:

${4x}^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Этот метод называется разложением на множители с помощью вынесения общего множителя.

Общим множителем в данном случае выступал одночлен $4x^2$ .

Алгоритм

Замечание 1

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен - он будет коэффициентом общего множителя-одночлена, который мы вынесем за скобки

Одночлен, состящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3 будет общим множителем. который можно вынести за скобки как общий множитель.

Пример 3

Вынести общий множитель $3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2$

Решение:

Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители

$45=3\cdot 3\cdot 5$

И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:

Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени

$a^3=a^2\cdot a$

Переменная $b$ входит только во второй и третий одночлен, значит, в общий множитель не войдет.

Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $3a$- это и будет общий множитель. тогда:

$3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки

Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое произведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Разложить на множители многочлен:

А) 2х + 6у, в) 4а 3 + 6а 2 ; д) 5а 4 - 10а 3 + 15а 8 .
б) а 3 + а 2 ; г) 12аЬ 4 - 18а 2 b 3 с;

Р е ш е н и е.
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.

б) а 3 + а 2 = а 2 (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).

в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных - наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а 2). Получаем:

4а 3 + 6а 2 = 2а 2 2а + 2а 2 3 = 2а 2 (2а + 3).

г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:

12аb 4 - 18а 2 Ь 3 с = 6аЬ 3 2b - 6аЬ 3 Зас = 6аb 3 (2b - Зас).

д) 5а 4 -10а 3 +15а 8 = 5а 3 (а-2 + За 2).

Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.

Замечание . В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.

Например:

Пример 2. Разложить на множители:

Х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 .

Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х 2 .
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.

В ы в о д: за скобки можно вынести х 2 . Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x 2 .

Получим:
-х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 = - х 2 (х 2 у 3 + 2ху 2 - 5).

Пример 3 . Можно ли разделить многочлен 5а 4 - 10а 3 + 15а 5 на одночлен 5а 3 ? Если да, то выполнить деление .

Решение. В примере 1д) мы получили, что

5а 4 - 10а 3 + 15а 8 - 5а 3 (а - 2 + За 2).

Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а 3 , при этом в частном получится а - 2 + За 2 .

Подобные примеры мы рассматривали в § 18; просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.

Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 15 и 18, - с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен .

А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.

Пример 4. Разложить на множители:

2x(x-2) + 5(x-2) 2 .

Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:

2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2ху + 5у 2 .

Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:

2ху + 5у 2 - у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:

у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).

В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую

2х(х - 2) + 5(х - 2) 2 = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10).

Календарно-тематичне планування з математики, відео з математики онлайн , Математика в школі скачати

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 (3 + 4) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · (b + c) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Определение 1

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Пример 1

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · (7 + 2 − 5) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · (7 + 2 − 5) .

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · (3 − 7) + 2 , в выражении (x 2 + y) · x · y − (x 2 + y) · x 3 – общий множитель (x 2 + y) и получить в итоге (x 2 + y) · (x · y − x 3) .

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Пример 2

Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · (3 · x + 2 · y) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · (x 2 + x + 3) .

Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как (− 1) · 5 + (− 1) · 12 · x − (− 1) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter