§ 10. Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть подавали натуральные числа в виде произведения. Например, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙5 ∙ 7 др.

Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать па множители. Например, 5а: - 5у - 5(х - y); а 3 и 3а 2 = а 2 (а + 3) и тому подобное.

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители - вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительная свойство умножения a(b + с) = ab + ас, если его записать в обратном порядке: аb + ас - a(b + с). Это означает, что многочлен аb + ас разложили на два множителя а и b + с.

Во время разложения на множители многочленов с целыми коэффициентами множителем, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Разложить выражение на множители:

3) 15а 3 b - 10а 2 b 2 .

Р а з в’ я з а н н я.

1) Общим множителем является число 4, поэтому

8m + 4 = 4 . 2m + 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) Общим множителем является переменная а, поэтому

at + 7ap = a(t + 7p).

3) В данном случае общим числовым множителем есть наибольший общий делитель чисел 10 и 15 - число 5, а общим буквенным множителем является одночлен а 2 b. Итак,

15а 3 b - 10а 2 b 2 = 5а 2 b ∙ 3а - 5a 2 b ∙ b = 5а 2 b(3а - 2b).

Пример 2. Разложить па множители:

1) 2m(b - с) + 3р(b - с);

2) х(у - t) + c(t - в).

Р а з в ’ я з а н н я.

1) В данном случае общим множителем является двочлен b = c.

Следовательно, 2m(b - с ) + 3р(b - c ) = (b - с)(2m + 3р).

2) Слагаемые имеют множители в - t и t - в, которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемого вынесем за скобки множитель -1, получим: c(t - в) = -с(у - t).

Следовательно, х(у - t) + c(t - в) = х(у - t) - с(у - t) = (у - t) (х - с).

Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлена.

Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.

Пример 3. Найти корни уравнения 5х 2 - 7х = 0.

Р а з в ’ я з а н н я. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: х(5х - 7) = 0. Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, будем иметь: х = 0 или 5х - 7 = 0, откуда х = 0 или х = 1,4.

Ответ: 0; 1,4.

Какое преобразование называют разложением многочлена на множители? На примере многочлена ab + ас объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.

1. (Устно) Найдите общий множитель в выражении:

1. (Устно) Разложите на множители:

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1. (Устно) правильно выполнило разложения на множители:

1) 7а + 7 = 7а;

2) 5m - 5 = 5(m - 5);

3) 2а - 2 = 2(а - 1);

4) 7ху - 14х = 7х - (у - 2);

5) 5mn + bn = 5m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

1. Запишите сумму в виде произведения:

1. Разложите на множители:

1. Разложите на множители:

4) 7а + 21ау;

5) 9х 2 - 27х;

6) 3а - 9а 2 ;

8) 12ах - 4а 2 ;

9) -18ху + 24в 2 ;

10) а 2 b - ab 2 ;

11) рм - р 2 m;

12) -х 2 y 2 - ху.

1. Вынесите за скобки общий множитель:

4) 15ху + 5х;

6) 15m - 30m 2 ;

7) 9xy + 6х 2 ;

9) -p 2 q - рq 2 .

1. Разложите на множители:

5) 3b 2 - 9b 3 ;

7) 4y 2 + 12y 4 ;

8) 5m 5 + 15m 2 ;

9) -16a 4 - 20a.

1. Разложите на множители:

4) 18p 3 - 12p 2 ;

5) 14b 3 + 7b 4 ;

6) -25m 3 - 20m.

1. Запишите сумму 6x 2 в + 15x в виде произведения и найдите его значение, если х = -0,5, у = 5.
2. Запишите выражение 12а 2 b - 8а в виде произведения и найдите его значение, если а = 2, 6 = .
3. Вынесите за скобки общий множитель:

1) а 4 + а 3 - а 2 ;

2) m 9 - m 2 + m 7 ;

3) b 6 + b 5 - b 9 ;

4) -в 7 - в 12 - в 3 .

1. Представьте в виде произведения:

1) р 7 + р 3 - р 4 ;

2) а 10 - a 5 + а 8 ;

3) b 7 - b 5 - b 2 ;

4) -m 8 - m 2 - m 4 .

1. Вычислите удобным способом:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

1. Решите уравнение:

1) x 2 - 2x = 0;

2) x 2 + 4х = 0.

1. Найдите корни уравнения:

1) х 2 + 3x = 0;

2) х 2 -7х = 0.

1) 4а 3 + 2а 2 - 8а;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6 ;

3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3 ;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5 .

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1) 5с 8 - 5с 7 + 10с 4 ;

2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;

3) 8р 7 - 4р 5 + 10р 3 ;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3 .

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;

2) 12а 2 b - 18аb 2 + 30аb 3 ;

3) 8х 2 у 2 - 4х 3 в 5 + 12x 4 в 3 ;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15рq 3 .

1. Разложите многочлен на множители:

1) 12а - 6а 2 х 2 - 9а 3 ;

2) 12b 2 в - 18b 3 - 30b 4 в;

3) 16bx 2 - 8b 2 х 3 + 24b 3 х;

4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5 .

1. Вычислите удобным способом:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

1. Найдите значение выражения:

1) 4,23 а - а 2 , если а = 5,23;

2) х 2 у + х 3 , если х = 2,51, в = -2,51;

3) ам 5 - m 6 , если = -1, а = -5;

4) -ху - х 2 , если х = 2,7, в = 7,3.

1. Найдите значение выражения:

1) 9,11 а + а 2 , если а = -10,11;

2) 5х 2 + 5a 2 х, если а = ; х = .

1. Разложите многочлен на множители:

1) 2р(х - у) + q(x - у);

2) а(х + у) - (х + у);

3) (а - 7) - b(а - 7);

4) 5(а + 1) + (а + 1) 2 ;

5) (х + 2) 2 - х(х + 2);

6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .

1. Представьте выражение в виде произведения:

1) а(х - у) + b(у - х);

2) г(b - 5) - n(5 - b);

3) 7х - (2b - 3) + 5у(3 - 2b);

4) (х - y) 2 - а(у - х);

5) 5(х - 3) 2 - (3 - х);

6) (а + 1)(2b - 3) - (а + 3)(3 - 2b).

1. Разложите на множители:

1) 3х(b - 2) + у(b - 2);

2) (m 2 - 3) - х(m 2 - 3);

3) а(b - 9) + с(9 - b);

4) 7(а + 2) + (а + 2) 2 ;

5) (с - m) 2 - 5(m - с);

6) -(х + 2у) - 5(х + 2y) 2 .

1. Найдите корни уравнения:

1) 4x 2 - х = 0;

2) 7х 2 + 28х = 0;

3) х 2 + х = 0;

4)х 2 - х = 0.

1. Решите уравнение:

1) 12х 2 + х = 0;

2) 0,2 x 2 - 2х = 0;

3) х 2 - х = 0;

4) 1 - х 2 + - х = 0.

1. Решите уравнение:

1) х(3х + 2) - 5(3х + 2) = 0;

2) 2х(х - 2) - 5(2 - х) = 0.

1. Решите уравнение:

1) х(4х + 5) - 7(4х + 5) = 0;

2) 7(х - 3) - 2х(3 - х) = 0.

1) 17 3 + 17 2 кратное числу 18;

2) 9 14 - 81 6 кратное числу 80.

1. Докажите, что значение выражения:

1) 39 9 - 39 8 делится на 38;

2) 49 5 - 7 8 делится на 48.

1. Вынесите за скобки общий множитель:

1) (5m - 10) 2 ;

2) (18а + 27b) 2 .

1. Найдите корни уравнения:

1) х(х - 3) = 7х - 21;

2) 2х(х - 5) = 20 - 4х.

1. Решите уравнение:

1) х(х - 2) = 4х - 8;

2) 3х(х - 4) = 28 - 7х.

1. Докажите, что число:

1) 10 4 + 5 3 делится на 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 делится на 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 делится на 25;

4) 21 3 + 14 а - 7 3 делится на 34.

Упражнения для повторения

1. Упростите выражение и найдите его значение:

1) -3x 2 + 7x 3 – 4х 2 + 3x 2 , если х = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n, если m = 7, n = -1.

1. Запишите вместо звездочек такие коэффициенты одночлен, чтобы равенство превратилось в тождество:

1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;

2) 7х 2 - 10у 2 - ху - (*х 2 - *ху + * 2) = -х 2 + 3у 2 + ху.

1. Длина прямоугольника втрое больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 40 см 2 . Найдите длину и ширину прямоугольника.

Интересные задачи для учеников ленивых

Известно, что а < b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| > |с| и |b| < |с|?

Определение 1

Сначала давайте вспомним правила умножения одночлена на одночлен:

Для умножения одночлен на одночлен необходимо сначала перемножить коэффициенты одночленов, затем воспользовавшись правилом умножения степеней с одинаковым основанием умножить переменные входящие в состав одночленов.

Пример 1

Найти произведение одночленов ${2x}^3y^2z$ и ${\frac{3}{4}x}^2y^4$

Решение:

Сначала вычислим проиведение коэффициентов

$2\cdot\frac{3}{4} =\frac{2\cdot 3}{4}$ в этом задании мы использовали правило умножения числа на дробь - чтобы умножить целое число на дробь надо умножить число на числитель дроби, а знаменатель ставить без изменений

Теперь воспользуемся основным свойством дроби - числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, отличное от $0$. Разделим числитель и знаменте6ль этой дроби на $2$, т. е сократим на $2$ данную дробь $2\cdot\frac{3}{4}$ =$\frac{2\cdot 3}{4}=\ \frac{3}{2}$

Получившийся результат оказался неправильной дробью, т. е такой, у которой числитель больше знаменателя.

Преобразуем эту дробь по средствам выделения целой части. Вспомним, что для выделения целой части необходимо неполное частное, получившиеся при делении числителя на знаменатель записать, как целую часть, остаток от деления в числитель дробной части, делитель в знаменатель.

Мы нашли коэффициент будущего произведения.

Теперь последовательно будем перемножать переменные $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Тут мы воспользовались правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Тогда итогом умножения одночленов будет:

${2x}^3y^2z \cdot {\frac{3}{4}x}^2y^4=1\frac{1}{2}x^5y^6$.

Тогда исходя из данного правила можно выполнить следующее задание:

Пример 2

Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена ${4x}^3y+8x^2$

Преставим каждый из одночленов,входящих в состав многолена как прозведение двух одночленов для того, чтобы выделить общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене.

Сначала начнем с первого одночлена ${4x}^3у$. Разложим его коэффициент на простые множители: $4=2\cdot 2$. Аналогично поступим с коэффициентом второго одночлена $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Зметим, что два множителя $2\cdot 2$ входят в состав и первого и второго коэффициентов, значит $2\cdot 2=4$--это чило войдет в общий одночлен как коэффициент

Теперь обратим внимание, что в первом одночлене $x^3$ ,а во втором та же переменная в степени $2:x^2$. Значит, переменную $x^3$ удобно представить так:

Переменная $y$ входит в состав только одного слагаемого многочлена, значит, не может входить в общий одночлен.

Представим первый и второй одночлен, входящий в многочлен как произведение:

${4x}^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Заметим, что общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене это $4x^2$.

${4x}^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Теперь применим распределительный закон умножения, тогда полученное выражение можно представить в виде произведения двух множителей. Одним из множителей будет являться общий множитель: $4x^2$ а другой -- сумма оставшихся множителей: $xy + 2$. Значит:

${4x}^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Этот метод называется разложением на множители с помощью вынесения общего множителя.

Общим множителем в данном случае выступал одночлен $4x^2$ .

Алгоритм

Замечание 1

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен - он будет коэффициентом общего множителя-одночлена, который мы вынесем за скобки

Одночлен, состящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3 будет общим множителем. который можно вынести за скобки как общий множитель.

Пример 3

Вынести общий множитель $3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2$

Решение:

Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители

$45=3\cdot 3\cdot 5$

И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:

Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени

$a^3=a^2\cdot a$

Переменная $b$ входит только во второй и третий одночлен, значит, в общий множитель не войдет.

Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $3a$- это и будет общий множитель. тогда:

$3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.

Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.

Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:

В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.

В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?

Найдём значение выражения: .

В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.

Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .

Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.

Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : .

Выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .

Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?

Вспомним, что многочлен - сумма одночленов.

Рассмотрим многочлен . Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен - произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.

Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: .

Рассмотрим ещё один пример: .

Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .

Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.

Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: .

В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:

Усложним пример, увеличив количество одночленов:

После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.

Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:

Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим легкий прием, который позволит вам быстро решить эту проблему.

Общим множителем также может быть искомое значение :

Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении.

Урок алгебры в 7-м классе "Вынесение общего множителя за скобки"

Комарова Галина Александровна

Цель : совершенствование практических умений и навыков учащихся при разложении многочлена множители путем вынесения общего множителя за скобки, применение его при решении уравнений. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень. Развивать умения: применять правила, анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное.

Задачи :

создать ситуацию успеха на уроке, условия для самостоятельной деятельности учащихся на уроке;

способствовать пониманию учебного материала урока;

воспитывать коммуникативность и толерантность в отношениях учащихся между собой.

Тип урока : комбинированный.

Методы: стимулирующие, поисковые, наглядные, практические, словесные, игровые, дифференцированная работа.

Формы проведения: индивидуальные, коллективные, групповые.

Оценка знаний ведется по 5-бальной системе.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний с дидактическими играми.

Результаты обучения: Уметь выносить общий множитель за скобки, уметь применять данный способ при разложении на множители, уметь использовать вынесение за скобки общего множителя при решении уравнений.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся.

Когда ученики Пифагора просыпались, они должны были произносить такие стихи:

«Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью,

Думой раскинь, какие дела тебе день приготовил».

2. Разминка - графический тест теоретического материала.

Верно ли утверждение, определение, свойство?

1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. (нет -)

2. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. (да Λ)

3. Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами. (да Λ)

4. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется одночленом . (нет -)

5. При умножении любого числа или выражения на ноль получается ноль. (да Λ)

6. В результате умножения одночлена на многочлен получается многочлен. (да Λ)

7. Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак "-”, скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, не меняют на противоположные. (нет-)

8.Общий числовой множитель является наибольшим общим делителем коэффициентов одночленов. (да Λ)

9. Из одинаковых буквенных множителей одночленов выносим за скобку его наименьшую степень . (да Λ)

Проверка: ––ΛΛ- ΛΛ-ΛΛ

Выставите себе оценки:

«5» - ошибок нет «4» - две ошибки «3» - четыре ошибки «2» - больше четырех ошибок

3. Актуализация опорных знаний.

Индивидуальная работа по карточкам №1, №2, №3 (3 учащихся).

Фронтальная работа с классом:

Задание 1 . Продолжите фразу:

Одним из способов разложения многочлена на множители является… (вынесение общего множителя за скобки );

При вынесении общего множителя за скобки применяется… (распределительное свойство );

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то…(этот множитель можно вынести за скобки )

Задание 2 .

Какой числовой множитель будет общим в следующих выражениях: 12 y 3 -8 y 2 ; 15х 2 - 75х . (4у 2 ; 15х)

Какую степень множителей а и х можно вынести за скобки

а 2 х- а 5 х 3 + 3а 3 х 2 (а 2 х )

Сформулировать алгоритм вынесения общего множителя.

Алгоритм:

Найти НОД для всех коэффициентов одночленов и вынести его за скобку:

2) наименьшую степень:

разделить :

4. Изучение нового материала.

Определи общий множитель в данных выражениях и вынеси его за скобку:

2а+6=

3 хy-3y=

18m-9nm=

x 2 -x 3 +x 6 =

3y+3xy=

(Работа в парах, взаимопроверка )

Используя ключ к шифру, расшифруй слово.

А

Л

Г

У

Т

3y (x -1) или

-3у(-х+1)

9m (2-n )

2(а+3)

X 2 (1-x +x 4)

3(7c 2 -5a 3)

Ответ: Галуа.

Эварист Галуа (1811-1832)

Галуа - гордость французской науки. Будучи еще ребёнком, он прочитал геометрию Лежандра, как увлекательную книгу. К 16 годам дарования Галуа проявились настолько, что выдвинули его в ряд величайших математиков того времени. Научные труды Галуа по теории алгебраических уравнений высших степеней положили начало развитию современной алгебры.

Всего 20 лет прожил гениальный математик, гордость мировой науки, из которых пять посвятил математике. В 2011 году исполняется 200 лет со дня его рождения.

Предлагаю вам решить уравнение, в левой части которого многочлен второй степени.
12x 2 +6 x =0. Вынесем за скобки 3х. Получим.

6х(2х+1)=0 Произведение равно нулю, когда хотя бы 6х=0 или 2х+1=0. один из множителей равен нулю.

х=0:6 2х=-1

х=0 х = -1:2

х=-0,5

и находим х=0 или х= -0,5

Ответ: х 1 =0, х 2 = -0,5

5. Физкультминутка.

Учащимся зачитываются высказывания. Если высказывание верно, то учащиеся должны поднять руки вверх, а если неверно, то присесть и хлопнуть.

7 2 =49 (Да).

30 = 3 (Нет).

Наибольшим общим множителем многочлена 5а-15в является 5 (Да).

5 2 =10 (Нет).

На руках 10 пальцев. На 10 руках 100 пальцев (Нет).

5 0 =1 (Да)

0 делится на все числа без остатка (Да).

вопрос на засыпку 5:0=0

6. Домашнее задание.

I ,II группа

Правило в тетради, № 709(д,е), 718(г,)719(г),

III группа:

Правило в тетради, № 710(а,б),715(в,г)

Дополнительное задание (по желанию)

Известно, что при некоторых значениях а и b значение выражения а - b равно 3. Чему равно при тех же a и b значение выражения

а) 5а-5b ; б) 12b - 12а; в) (а - b ) 2 ; г) (b -а) 2 ;

7. Закрепление.

,II группа решают номер 710(а,в)

III группа решает номер 709(а,в)

Придумайте сами уравнение второй степени

Работа учащихся по заданию карточки № 5-6 у доски и в тетрадях. (диф)

Найди ошибку

5. Самостоятельная работа.

Учащимся предлагается выполнение самостоятельной работы обучающего характера в виде теста, с последующей самопроверкой, правильные ответы можно расположить на оборотной стороне доски.

6. Подведение итогов урока.

Рефлексия: Кто сегодня у нас работал лучше всех на уроке?

Какую оценку мы им поставим?

Я работал хорошо

Понял, как решать уравнения вынесением

Общего множителя за скобки

Доволен уроком

Нуждаюсь в помощи учителя или консультанта

МЫ А как мы вместе сегодня поработали?

Примеры карточек.

Карточка №1.

2х-2 y

5ab+10a

2a 3 -a 5

a(x-2)+b(x-2)

-7xy+y

Карточка №2.

Вынесите общий множитель за скобки:

5ab-10ac

4xy-16x 2

a 2 -4a+3a 5

0,3a 2 b+0,6ab 2

x 2 (y-6)-x(y-6)

Карточка №3.

Вынесите общий множитель

за скобки:

-3x 2 y-12y 2

5a 2 -10a 3 +15a 5

6c 2 x 3 -4c 3 x 3 +2x 2 c

7a 2 b 3 -1,4a 3 b 4 +2,1a 2 b 5

3a(x-5)+7(5-x)

Карточка №5- 1

Вынесите общий множитель за скобки:

3x + 3y;

5a – 15b;

8x+12y;

Реши уравнение

1) 2x² + 5x = 0

Карточка №5-2

1) 10 а – 10 в

2) 3 ху – х 2 у 2

3) 5 у 2 + 15 у 3

2.Реши уравнение

2x² - 9x = 0

Карточка №6

1. Вынесите общий множитель за скобки:

1) 8 а + 8 в.

2) 4 х у + х 3 у 3

3) 3 в у – 6 в.

2.Реши уравнение

2x² +7x = 0

Дополнительные задания

1.Найдите ошибку:

3х (х-3)=3х 2 -6х; 2х+3ху=х(2+у);

2.Вставьте пропущенное выражение:

5х(2х 2 -х)=10х 3 -…; -3ау-12у=-3у (а+…);

3.Вынеси общий множитель за скобки:

5a - 5b; 3x + 6 y; 15a – 25b; 2,4x + 7,2y.

7a + 7b; 8x – 32a; 21a + 28b; 1,25x – 1,75a .

8x – 8y; 7a + 14b; 24x – 32a; 0,01a + 0, 03y.

4.Замените «М» одночленом так, чтобы полученное равенство было верным:

а) М × (а – b ) = 4 ac – 4 bc ;

б) М × (3а – 1) = 12а 3 – 4а 2 ;

в) М × (2а – b ) = 10а 2 – 5а b .

VIII. Фронтальная работа (на внимательность, на усвоение новых правил).

На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.

2 х 3 – 3 х 2 – х = х (2 х 2 – 3 х).

2 х + 6 = 2 (х + 3).

8 х + 12 у = 4 (2 х - 3у).

а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).

4 -2а = – 2 (2 – а).

Алгоритм:

Найти НОД для всех коэффициентов одночленов и вынести его за скобку

2) Из одинаковых буквенных множителей одночленов вынести за скобку его наименьшую степень

3) Каждый одночлен многочлена разделить на общий множитель и результат деления записать в скобки

Лист контроля знаний ученика 7 А класса _________________________________________

1. Графический

диктант

2.шифровка

3.Индивид. Работа по карточкам

4.тест

5.Всего баллов

6.Отметка учителя

ответ

Тест

1.Какую степень множителя а можно вынести за скобки у многочлена

a²x - аx³

а) а б) a² в) a ³

2 х³ -8x²

а) 4 б) 8 в) 2

a²+ab – ac +a

а) а(a+b-c+1) б) a (a+b-c)

в) a 2 (a+b-c+1)

7m³ + 49m²

а) 7m ² (m +7m 2) б) 7m ² (m +7)

в) 7m ² (7m +7)

5.Разложите на множители:

x(x – y) + a(x – y)

а) (x-y)(x+a) б) (y-x)(x+a)

в) (x+a)(x+y)

6. Реши уравнение

6y-(y-1)=2(2y-4)

а) -9 б) 8 в) 9

г) другой ответ

7.Вынеси общий множитель

x(x – y) + a(y- х)

а) (x-y)(x- a) б) (y-x)(x+a)

в) (x+a)(x+y)

Ответы

Тест

1.Какую степень множителя b можно вынести за скобки у многочлена

b² - a³b³

а) b б) b ² в) b ³

2.Какой числовой множитель можно вынести за скобки у многочлена

15a³ - 25a

а) 15 б) 5 в) 25

3.Вынесите за скобки общий множитель всех членов многочлена

x ² - xy + xp – x

а) x (x -y +p -1) б) x (x -y +p )

в) x 2 (x-y+p-1 )

4.Представьте в виде произведения многочлен

9b² - 81b

а) 9b(b-81) б) 9b 2 (b-9)

в) 9b(b-9)

5.Разложите на множители:

a(a + 3) – 2(a +3)

а) (a+3)(a+2) б) (a+3)(a-2)

в) (a-2)(a-3)

6 . Реши уравнение

3x-(12x-x)=4(5-x)

а) -4 б) 4 в) 2

г) другой ответ

7.Вынеси общий множитель

a (a - 3) – 2(3-а)

а) (a -3)(a+2) б) (a+3)(a-2)

в) (a-2)(a-3)

Ответы

Вариант I

Выполнить действие:

(3х+10у) – (6х+3у)

а) 9х+7у; б) 7у-3х; в) 3х-7у; г) 9х-7у

6х 2 -3х

а) 3х(2х-1); б) 3х(2х-х); в) 3х 2 (2-х); г)3х(2х+1)

3. Привести к стандартному виду многочлен :

Х+5х 2 +4х-х 2

а) 6х 2 +3х; б) 4х 2 +3х; в)4х 2 +5х; г) 6х 2 -3х

4. Выполнить действие:

3х 2 (2х-0,5у)

а)6х 2 -1,5х 2 у; б) 6х 2 -1,5ху; в) 6х 3 -1,5х 2 у ; г) 6х 3 -0,5х 2 у;

5. Решить уравнение:

8х+5(2-х)=13

а) х=3; б) х=-7; в)х=-1; г) х=1;

6. Вынести общий множитель за скобки:

х(х-у)-6у(х-у)

а) (х-у)(х-6у ) ; б) (х-у)(х+6у) ;

в) (х+у)(х-6у) ; г) (х-у)(6у-х) ;

7. Решить уравнение:

Х 2 +8х=0

а) 0 и-8 б) 0и8; в) 8 и -8

Вариант II

Выполнить действие:

(2а-1)+(3+6а)

а) 8а+3; б) 8а+4; в) 8а+2 ; г) 6а+2

Вынести общий множитель за скобки:

7а-7в

а) 7(а-в); б) 7(а+в); в)7(в- а); г) а(7-в);

Привести к стандартному виду многочлен:

4х 2 +3х-5х 2

а) -х 2 +3х ; б) 9х 2 +3х; в) 2х 2 ; г) –х 2 -3х;

Выполнить умножение:

4а 2 (а-в)

а)4а 3 -в; б) 4а 3 -4ав; в) 4а 3 -4а 2 в ; г) 4а 2 -4а 2 в;

Разложить на множители:

а(в-1)-3(в-1)

а) (в-1)(а-3) ; б) (в-1)(а+3) ; в) (в+1)(а-3) ; г) (в-3)(а-1) ;

Решить уравнение:

4(а-5)+а=5

а) а=1; б) а=-5; в) а=3; г) а=5;

7. Решить уравнение:

6х 2 -30х=0

а) 0 и 5 б) 0 и -5 в) 5 и -5

Галуа

Заходил паренек в сюртучке небогатом,

Чтобы в лавке табак и мадеру купить.

Приглашала любезно, как младшего брата,

Разбитная хозяйка и впредь заходить.

Провожала до двери, вздыхая устало,

Вслед ему разводила руками: «Чудак!

На четыре сантима опять обсчитала,

А четыре сантима теперь не пустяк!

Кто-то мне наболтал, будто видный ученый,

Математик какой-то мосье Галуа.

Как же может открыть мировые законы

Эта вот, с позволенья сказать, голова?!»

Но всходил на мансарду, обманутый ею,

Брал заветный набросок в чердачной пыли

И доказывал вновь с беспощадностью всею,

Что хозяева сытых желудков - нули. (А. Марков

Вариант 1

1 . 4-2х

А. 2(2 + х).В. 4(1 - х).

Б. 2(2-х).Г. 4(1 + х).

2. а 3 в 2 – а 4 в

А. а 4 в(в - а).В. а 3 в(в - а).

Б. а 3 в 2 (1 - а).Г. а 3 в(1 - а).

3. 15х y 2 + 5х y - 20х 2 y

А. 5хy (3y + 1 - 4х).В. 5хy (3y - 4х).

Б. 5х(3y 2 + у - 2х).Г. 5х(3у 2 + у - 4х).

4. а( b +3) +( b + 3).

А. (b + 3) (а + 1).В. (b + 3)а.

Б. (3 + b ) (a - 1).Г. (3 + b )(1-а).

5. х(y - z ) - (z - y ).

А. (х - 1) (y - z ).В. (х - 1) (z - у).

В.(х + 1)(у-z ).Т.(х + 1)(z -у).

6. Реши уравнение

3y - 12 y 2 =0

Разложение многочленов на множители

Вариант 2

1. 6а-3.

А. 3(2а-1).В. 6(а-1).

Б. 3(2а+1).Г. 3(а-1).

2. а 2 b 3 – a 3 b 4

А. а 2 b 3 (1 - аb ).В. а 3 (b 3 – b 4).

Б. аb 3 (1 - а 2 b ).Г. b 3 (х 2 - х 3).

3. 12х 2 у - 6ху - 24ху 2 .

А. 6ху(2х - 1 - 4у).В. 6ху(2х - 4у).

Б. 6ху(6х - 1 - 4у).Г. 6ху(2х + 4у + 1).

4. х( y + 5) + ( y +5).

А. (х - 1) (у + 5).В. (х + 1) (у + 5).

Б.(у + 5)х.Г. (х - 1) (5 - у).

5. а(с- b )- (b -с) .

А. (а - 1) (b + с).В. (а - 1) (b - с).

Б. (а + 1) (с - b ).Г. (а + 1) (b - с).

6. Реши уравнение

Урок математики в 7 а классе

1.	ФИО (полностью)	Трофименко Надежда Павловна
2.	Место работы	МОУ «Милославская школа»
3.	Должность	Учитель математики
4.	Предмет
5.	Класс
6.	Тема и номер урока в теме	Вынесение общего множителя за скобки (1 урок в теме)
7.	Базовый учебник	Ю.М. Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова,М.И. Шабунин. « Алгебра 7 класс» учебник для общеобразовательных организаций.М.Просвещение.2016.

8. Цели урока

Для учителя:

образовательные

организовать учебную деятельность:

По освоению алгоритма вынесения общего множителя за скобки и понимания логики его построения;

По выработке умения применять алгоритм вынесения общего множителя за скобки

развивающие

создать условия для развития регулятивных умений:

Самостоятельно определять цели учебной деятельности;

Планировать пути достижения целей;

Соотносить свои действия с планируемыми результатами;

Контролировать и оценивать учебную деятельность по результатам;

Организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

- воспитательные

Создать условия для формирования ответственного отношения к учению;

Создать условия для развития самостоятельности учащихся в организации и осуществлении своей учебной деятельности.

Создать условия для патриотического воспитания

Создать условия для экологического воспитания

Для учащихся:

Освоить алгоритм вынесения общего множителя за скобки и понимания логики его построения;

Выработать умения применять алгоритм вынесения общего множителя за скобки

9.Используемые УУД: регулятивные (Целеполагание, планирование деятельности, контроль и оценка)

10.Тип урока: изучение нового материала

11.Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная

12. Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, эмблема урока, учебники по математике, электронная презентация, выполненная в программе Power Point, раздаточный материал

Структура и ход урока

Этапы урока		Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Образовательный
Организационный		Здравствуйте, ребята! Я очень рада видеть вас! Девиз нашего урока: Я слышу и забываю. Я вижу и запоминаю. Я делаю и понимаю . Конфуций. Придадим нашему уроку необычную окраску(эмблема зеленого дерева и красного сердца), эмблема на доске. В конце урока мы раскроем секрет этой эмблемы	Проверяют рабочее место, приветствуют учителя, включаются в рабочий ритм урока
Актуализация знаний и мотивация		Сегодня на уроке вы изучите новый материал. Но прежде поработаем устно. 1.Выполнить умножение одночленов: 2а 2 *3ав; 2ав*(-а 4) ; 6х 2 *(-2х); -3с*5х; -3х*(-ху 2);-4а 2 в*(-0,2ав 2) При правильном ответе открывают первую букву 2) Какие одночлены следует поставить вместо *, чтобы получилось верное равенство: х 3 * = х 6 ; - а 6 = а 4 *; *у 7 = у 8 ; -2а 3 * = 8а 5 ; 5ху 4 * = 25х 2 у 6 . При правильном ответе открывают вторую букву 3) Представить одночлен 12х 3 у 4 в виде произведения двух множителей, один из которых равен 2х 3 ; 3у 3 ; -4х ; 6ху ; -2х 3 у ; 6х 2 у 2 . При правильном ответе открывают третью букву 4) Представить различными способами одночлен 6х 2 у в виде произведения двух множителей. Открываем 4 букву 5) Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стертым. Восстановите его …*(х – у) = 3ах – 3ау …*(-х + у 2 – 1) = ху 2 – у 4 +у …*(а +в – 1) = 2ах +2вх – 2х …*(а – в) = а 2 в – а 3 …*(2у 2 – 3) = 10у 4 – 15у 2 .Открываем 5 букву 6.Вычислить 768*95 – 668*95 = 76,8*9,5 + 23,2*9,5 = Открываем 6 букву. Из букв получилась фамилия немецкого математика.	Устно выполняют задание Комментируют решение, используя правила Открывают буквы на доске Ученик(получил заранее задание) Историческая справка : Михель Штифель (1487-1567), немецкий математик и странствующий проповедник; автор книги “Полная арифметика», он ввёл термин «показатель степени», а также рассматривал свойства многочленов и внес существенный вклад в развитие алгебры.(фото)
3.Целеполагание и мотивация	Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.	На доске: Найти значение выражения а 2 – 3ав при а = 106,45; в = 2,15 . Как это сделать? а) Можно подставить числовые значения а и в и найти значение выражения, но это сложно. в) А можно поступить иначе? Как? На доске записываем тему урока: «Вынесение общего множителя за скобки.» Ребята, пишем аккуратно! Помним, что для производства тонны бумаги требуется спилить примерно 17 взрослых деревьев. Попробуем поставить цели урока по схеме: С какими понятиями познакомится? Какие навыки и умения освоим?	Предлагают свои варианты решения
4. Усвоение новых знаний и способов усвоения (первичное знакомство с материалом)	Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми изученной темы	Открываем учебник стр 120-121, читаем и отвечаем на вопросы стр 121. Выделяют пункты алгоритма Алгоритм вынесения общего множителя за скобки Найти общий множитель коэффициентов многочленов Вынести его за скобку 3. Учитель: Я приведу пример вынесения множителя за скобки в русском языке. В выражении “Взять книгу, взять ручку, взять тетрадь” функцию общего множителя выполняет глагол “взять”, а книга, тетрадь и ручка – это дополнения. Это же выражение можно сказать по другому “взять книгу, тетрадь и ручку”. 4 Я написала правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы. На доске появляется запись: Попрубуйте нарисовать схематично правило вынесения общего множителя	Читают материал Отвечают на вопросы Находят лист с алгоритмом А, теперь попробуйте вы: Съесть: суп, кашу, салат На доске рисуют обратную схему
5. Релаксация		Включает мультфильм « задание на лето» Из зимней погоды попадаем в теплое лето. Но фрагмент поучительный, попробуйте уловить главную мысль	Смотрят фрагмент мультфильма и делают вывод о красоте родного края	Фрагмент мультфильма « Задание на лето»
6.Первичное закрепление	Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.	Фронтально у доске: № 318, 319, 320,321,324,325,328 По очереди, по желанию	Решают у доски с комментариями
6. Организация первичного контроля	Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков	Самостоятельно решают по тексту на листочках и проверяют по ответам на доске: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (дифференцированно) 1 вариант Закончите разложение многочлена на множители: 5ах – 30ау = 5а(…………..) х 4 – 5х 3 – х 2 = х 2 (…………..) Разложите на множители многочлен - 5ав + 15а 2 в, вынося за скобки множитель: а) 5а; б) -5а. Разложите на множители: 5х + 5у = 7ав + 14ас= 20а – 4в= 5mn – 5= ах – ау= 3x 2 – 6x= 2а – 10ау= 15a 2 + 5a 3 = 2 вариант Закончите запись: 18ав +16в= 2в(…………) 4а 2 с – 8ас= 4ас(………..) Разложите на множители многочлен -15а 2 в + 5ав 4 двумя способами: а) вынося за скобки множитель 5ав; б) вынося за скобки множитель -5ав. 5х+6ху= 2ав – 3а 3 в= 12ав – 9в= х 3 -4х 2 +6х= 6а 4 – 4а 2 = 4а 4 -8а 3 +12а 2 = 24х 2 у -12ху= 9в 2 -6в 4 +3в= 4. Найдите значение выражения, разложив его на множители: ху 2 +у 3 при х=97, у=3. 3 вариант Вынесите за скобки общий множитель и выполните проверку, умножив одночлен на многочлен: а) 12ху+ 18х= б) 36ав 2 – 12а 2 в= 2. Закончите запись: 18а 3 в 2 +36ав = 18ав(…………) 18а 3 в 2 +36ав = -18ав(…………) 3. Вынесите за скобки общий множитель: 12а 2 +16а= -11х 2 у 2 +22ху= 2а 4 -6а 2 = -12а 3 в 3 +6ав= 30а 4 в- 6ав 4 = х 8 -8х 4 +х 2 = 4. Замените М многочленом или одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством: 12а 2 в-8ав 2 +6ав=М*(6а-4в+3) 15х 2 у-10х3у2+25х 4 у 3 =5х 2 у*М 5. Найдите значение выражения: а) 2,76а-ав при а=1,25 и в=0,76; б) 2ху+2у 2 при х=0,27 и в=0,73.	Выполняют свою работу, после выполнения получают ключи и проверяют, ставят + или минус, оценивают свою работу по критериям на доске:(ответы на доске) 10-12 баллов- «5» 8-9 баллов - «4» 6-7 баллов -«3» Меньше 6 - нужно поработать еще.	Листы с дифференцированным заданием
7. Подведение итогов урока.	Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых	Отметить активно работающих учащихся и подвести итоги самостоятельной работы: Поднимите руки, у кого 5,4,3.	Анализируют свою работу
8. Информация о домашнем задании	Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.	Параграф № 19 № 322,326, 329 Делаем по образцам заданий в классной работе	Записывают задания в дневник
9. Рефлексия		Учитель: Это был урок – поиск. Мы с вами искали точки соприкосновения друг с другом, учились общаться, а также раскрыли один из методов объяснения и закрепления темы. Вернемся к целям урока и проанализируем как мы их достигли А, о чем мы еще поговорили, кроме вынесения общего множителя за скобки? Возвращаемся к эмблеме урока.	Зачитывают цели и анализируют их выполнение О связи математики и русского языка, О красоте родного края, об экологии