Стационарным белым шумом называют стационарную случайную функцию Х (t ), спектральная плотность которой постоянна:

s x (ω )=s=const .

Найдем корреляционную функцию белого шума. Используя формулу (**) (см. § 3)

Приняв во внимание, что [см. § 6, соотношение (*)]

окончательно имеем

(**)

Таким образом, корреляционная функция стационарного белого шума пропорциональна дельта-функции; коэффициент пропорциональности 2πs называют интенсивностью стационарного белого шума .

Дельта-функция равна нулю при всех значениях τ≠0, поэтому и корреляционная функция k x (τ ) также равна нулю при этих же значениях τ [это видно из формулы (**)]. Равенство же нулю корреляционной функции стационарного белого шума означает некоррелированность любых двух его сечений-случайных величин Х (t 1) и Х (t 2 )(t 1 ≠t 2). Благодаря этой особенности белый шум находит широкое применение в теории случайных функций и ее приложениях. Однако эта же особенность указывает на то, что осуществить белый шум невозможно, так как в действительности при очень близких значениях t 1 и t 2 соответствующие случайные величины Х (t 1) и Х (t 2) в известной степени коррелированы.

Таким образом, стационарный белый шум-математическая абстракция, полезная для теории случайных функций и ее приложений. В частности, белый шум используют для моделирования случайных процессов, которые имеют постоянную спектральную плотность в определенном диапазоне частот, причем поведение спектральной плотности вне его исследователя не интересует.

Пример. Спектральная плотность стационарной случайной функции Х (t ) постоянна в диапазоне частот (- ω 0 , ω 0). а вне его равна нулю:

Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию случайнойфункцииХ (t ).

Решение, а) Найдем искомую корреляционную функцию:

Итак,

б) Найдем искомую дисперсию:

D x =2s ω 0 .

§ 8. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой

Стационарной линейной динамической системой называют устройство, которое описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами вида

где Х (t )- входная стационарная случайная функция (воздействие, возмущение), Y (t )- выходная случайная функция (реакция, отклик).

Если динамическая система устойчива, то при достаточно больших значениях t , т. е. по окончании переходного процесса, функцию Y (t ) можно считать стационарной. Подчеркнем, что при дальнейшем изложении предполагается, что X (t ) и Y (t )- стационарные случайные функции.

Поставим перед собой задачу найти характеристики выходной функции по известным характеристикам входной функции.

Найдем математическое ожидание т y , зная т x , для чего приравняем математические ожидания левой и правой частей уравнения (*). Учитывая, что Х (t ) и Y (t )- стационарные случайные функции, а значит, математические ожидания производных этих функций равны нулю, получим

a n m y = b m m x

Отсюда искомое математическое ожидание

m y = b m m x / a n (**)

Пример 1. На вход линейной динамической системы, описываемой уравнением

Y ’(t )+2Y (t )=5X ’(t )+6X (t ).

Х (t ) с математическим ожиданием т x = 10. Найти математическое ожидание случайной функции Y (t ) на выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса).

Решение. Используя формулу (**), получим

m y = b m m x / a n =(6/2)10=30.

Введем понятия передаточной функции и частотной характеристики, которые понадобятся далее. Предварительно запишем уравнение (*) в операторной форме, обозначив оператор дифференцирования черезр , - через р 2 и т. д. В итоге уравнение (*) примет вид

(a 0 p n +a 1 p n-l + ...+a n )Y (t )= (b 0 p m +b 1 p m-l + ...+b m )X (t ). (***)

«Решим»это уравнение относительно Y (t ):

(****)

Передаточной функцией линейной динамической системы называют отношение многочлена относительно р при Х (t ) к многочлену при Y (t ) в операторном уравнении (***):

Из соотношения (****) следует, что выходная и входная функции связаны равенством

Y (t )= Ф(р )Х (t ).

Частотной характеристикой линейной динамической системы называют функцию, которая получается заменой аргумента р в передаточной функции на аргумент i ω (ω -действительное число):

Доказано, что спектральные плотностивыходнойивходной функций связаны равенством

s y (ω )=s x (ω )|Ф(i ω )| 2 .

Отсюда заключаем: для того чтобы найти спектральную плотность выходной функции, надо умножить спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики.

Зная же спектральную плотность выходной функции, можно найти ее корреляционную функцию [§ 3, формула (**)]:

а следовательно, и дисперсию:

Пример 2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением

3Y ’(t )+Y (t )=4X "(t )+X(t ),

подается стационарная случайная функция Х (t ) с корреляционной функцией k x (τ)= 6e - τ . Найти дисперсию случайной функции Y (t ) на выходе системы в установившемся режиме.

Решение 1. Найдем спектральную плотность выходной функции. Используя решение примера 2 (см. § 4) при D =6 и α=2, получим

2. Найдем передаточную функцию, длячего напишем заданное уравнение в операторной форме:

(3р +1)Y(t )=(4р +1)Х (t ).

Следовательно, передаточная функция

3. Найдем частотную характеристику, для чего заменим в передаточной функции аргумент р на i ω ):

4. Найдем спектральную плотность выходной функции, длячегоумножим спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики:

5. Найдем искомую дисперсию:

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

Выполнив интегрирование, получим искомую дисперсию:

D у = 96,4.

Задачи

1. Найти дисперсию стационарной случайной функции X (t ), зная ее спектральную плотность

Отв . D x = 6.

2. Найти спектральную плотность стационарнойслучайнойфункции Х (t ), знаяее корреляционную функцию

Отв .

3. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции Х (t ), зная ее корреляционную функцию k x (τ)=5e -2| τ |.

Отв . s x (ω ) = 10/(π (4 + ω 2)).

4. Задана спектральная плотность s x (ω )=6/(π (1+ω 2)) стационарной случайной функции Х (t ). Найти нормированную спектральную плотность.

Отв . s x норм (ω )=1/(π (1 – ω 2)).

5. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции Х (t ), зная ее спектральную плотность

Отв .

6. Спектральная плотность стационарной случайной функции X (t ) постоянна в диапазоне частот (ω 1 ,ω 2), а вне его равна нулю:

Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию; в) нормированную корреляционную функцию случайной функции Х (t ).

Отв . а)
, б)D x =s (ω 2 - ω 1 ) ,в)ρ x (τ )=

7. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y " (t )+ 3Y (t )= X " (t )+ 4X (t ), подается стационарная случайная функция Х (t ) с математическим ожиданием m x =6 и корреляционной функцией k x (τ )=5e -2 τ . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной функцииY (t ) навыходе системы в установившемся режиме.

Отв . m y =8; D y =22/3.

8. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением

Y "(t )+ 5Y (t )+6Y (t )=X’(t )+X(t ),

подается стационарная случайная функция X (t ) с математическим ожиданием m х =4 и корреляционной функцией k x (t )=е - τ . Найти математическое ожидание и спектральную плотность случайной функции Y (t

Отв . m y =2/3; s y (ω )=1/.

9. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением

Y ```(t )+6Y ``(t )+11Y `(t )+6Y (t )=7X ""(t )+5X (t ),

подается стационарная случайная функция Х (t ) с известной корреляционной функцией k x (τ )=2e -| τ | (1+|τ|). Найти спектральную плотность случайной функции Y (t ) на выходе системы в установившемся режиме.

Указание. Разложить на линейные множители знаменатель передаточной функции: р 3 +бр 2 +11р +6=(р +1) (p +2)(p +3).

Отв . s y (ω )=4(49ω 6 +25)/(π(ω 2 +l) 3 (ω 2 +4)(ω 2 +9)).

10. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y " (t )+Y (t )=(t ), поступает случайная функция Х (t ) с постоянной спектральной плотностью S 0 (стационарный белый шум). Найти дисперсию случайной функции Y (t ) на выходе системы в установившемся режиме.

Отв . D =s 0 π .

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального...»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра информационных радиосистем

Функциональное моделирование радиосистем

Методические указания к лабораторным работам

для студентов специальности 210302 «Радиотехника» и 210601 «Радиоэлектронные системы и комплексы», а также по направлению 210400«Радиотехника»

всех форм обучения Часть 3 Нижний Новгород 2011 Составитель: А.В.Мякиньков УДК 621.325.5-181.4 Функциональное моделирование радиосистем: Метод. указания к лабораторным работам для студентов специальности 210302 «Радиотехника» и 210601 «Радиоэлектронные системы и комплексы», а также по направлению 210400«Радиотехника» всех форм обучения. Часть 3 / НГТУ; Сост.:

А.В.Мякиньков. Н.Новгород, 2011. - 16 с.

В работе изложены рекомендации по решению некоторых типовых задач, предлагаемых студентам при сдаче допуска к лабораторным работам. Приведены подробные разъяснения, касающиеся некоторых особенностей расчета параметров формирующих фильтров и характеристик процессов на их выходе.

Научный редактор А.Г.Рындык Редактор Э.Б.Абросимова Подписано к печати _______. Формат 60 84 1/16.

Бумага газетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0.

Уч.-изд. л. ____. Тираж 200 экз. Заказ____.

Нижегородский государственный технический университет.

Типография НГТУ. 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

© Нижегородский государственный технический университет, 2011

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Данные методические указания представляют собой дополнение к и , содержащее пояснения к решению некоторых типовых задач, связанных с расчетом характеристик случайных процессов на выходе линейных фильтров при воздействии на их входе белого гауссовского шума (БГШ), а также с расчетом параметров формирующих фильтров, используемых для моделирования случайных процессов с заданными спектрально-корреляционными свойствами.

Целью методических указаний является помощь студентам в решении типовых расчетных задач, связанных с моделированием случайных процессов. Как правило, такие несложные задачи студентам предлагается решить при сдаче теоретической части соответствующих лабораторных работ по курсу «Функциональное моделирование радиосистем».

1. О МОДЕЛИ БЕЛОГО ГАУССОВСКОГО ШУМА И ДИСКРЕТНОГО

БЕЛОГО ГАУССОВСКОГО ШУМА

Как известно, модель белого шума представляет собой математическую абстракцию в виде процесса, спектр которого на всех частотах равномерный и равен некоторой константе N0/2, а корреляционная функция представляет собой дельта-функцию с весом, который определяется указанной константой. Таким образом, белый шум имеет бесконечную дисперсию (мощность). Любой реальный процесс имеет конечную мощность, а, следовательно, его спектральная плотность мощности (СПМ) может быть только спадающей интегрируемой функцией частоты. Однако модель белого шума используется, если ширина спектра шума много больше, чем ширина полосы пропускания некоторого частотноизбирательного устройства.

Рассмотрим теперь модель дискретного белого гауссовского шума (ДБГШ).

Дискретный белый шум, в отличие от белого шума, имеет конечную мощность.

Его корреляционная функция представляет собой единичную функцию с весом, равным дисперсии процесса. Любые два отсчета такого процесса не коррелированны. Такой процесс можно смоделировать при помощи средств вычислительной техники. Однако в реальности почти всегда отсчеты случайного процесса, полученного путем дискретизации непрерывного процесса, имеют конечный коэффициент взаимной корреляции, и только при использовании фильтров с частотной характеристикой специального вида и выборе частоты дискретизации в соответствии с параметрами этого фильтра соседние отсчеты процесса могут быть не коррелированны. Покажем это на примере формирования отсчетов дискретного процесса в цифровом приемнике. Общая функциональная схема приемника показана на рис.1.

–  –  –

На рис.1 обозначено: МШУ – малошумящий усилитель, ПФ – полосовой фильтр, ФНЧ – фильтр нижних частот, АЦП – аналого-цифровой преобразователь, ГОС – генератор опорной частоты, ЦОС – блок цифровой обработки сигналов. Предположим, что собственный шум антенны и усилителя много больше ширины полосы пропускания ПФ, а амплитудно-частотные характеристики ПФ и ФНЧ идеально прямоугольные. На рис.2 показаны СПМ процессов в точках 1, 2, 3 и 4, а также корреляционная функция процесса в точке 4 (рис.1).

–  –  –

Задание: построить корреляционную функцию СП на выходе фильтра с заданной ИХ. Найти дисперсию и МО процесса на выходе фильтра в установившемся режиме при заданных МО и дисперсии на входе. Построить графики зависимости МО и дисперсии процесса на выходе фильтра, если при нулевых начальных условиях в момент времени t0 на входе начинает действовать реализация БГШ с заданными параметрами. Найти нормированный коэффициент взаимной корреляции значений процесса на выходе фильтра, взятых через заданный интервал времени.

В качестве примера рассмотрим спектрально-корреляционные свойства процесса на выходе фильтра с прямоугольной ИХ. Как отмечено в , корреляционная функция процесса на выходе фильтра с точностью до постоянного множителя определяется автокорреляционной функцией ИХ фильтра. Автокорреляционная функция ИХ прямоугольной формы имеет вид треугольника. Вид ИХ рассматриваемого фильтра и ее автокорреляционной функции показаны на рис.3.

–  –  –

Как известно , дисперсия процесса на выходе линейного фильтра при воздействии на входе белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2 в установившемся стационарном режиме определяется из выражения N0 2 = Eh, (3) где Eh – энергия ИХ. Таким образом, корреляционная функция процесса на выходе фильтра по форме совпадает с автокорреляционной функцией ИХ фильтра и имеет максимум, определяемый величиной (3). На рис.4 показаны графики зависимости математического ожидания (МО) и дисперсии процесса на выходе фильтра от времени, построенные в предположении, что в нулевой момент времени на вход фильтра с нулевыми начальными условиями подали реализацию белого шума с МО m1 и СПМ N0/2.

–  –  –

фильтров являются взаимно ортогональными функциями, поскольку взаимное произведение любых двух парциальных ИХ равно нулю. Это значит, что процессы на выходах парциальных фильтров в один и тот же момент времени будут иметь значения, которые являются откликом этих фильтров на сдвинутые по времени и, следовательно, независимые отсчеты входного белого шума.

Учитывая также и то обстоятельство, отклики на одномоментные значения входного процесса не пересекаются, значения выходного процесса, взятые в один и тот же момент времени, не коррелированны, а в случае гауссовского процесса и независимы.

–  –  –

Таким образом, в случае фильтра с прямоугольной ИХ на интервале времени от нуля до длительности импульсной характеристики МО и дисперсия меняются по линейным законам. На этом интервале выходной процесс является нестационарным. Поэтому при моделировании реализации процесса с заданными спектрально-корреляционными свойствами этот начальный участок реализации выходного процесса обычно исключают из рассмотрения.

Найдем также нормированный коэффициент взаимной корреляции между сечениями выходного процесса, взятыми через интервал времени t0. Пусть для определенности t0 = 0.35h. Нормированная корреляционная функция процесса на выходе фильтра получается нормированием корреляционной функции к дисперсии, и при нулевом временном сдвиге равна единице. Коэффициент взаимной корреляции сечений стационарного процесса tn и tk, взятых через интервал времени t0, равен значению нормированной корреляционной функции процесса при аргументе, равном этому сдвигу: rnk = r(t0). В нашем примере, с учетом треугольной формы корреляционной функции выходного процесса r(t0) = r(0.35h) = 1 – 0.35 = 0.75.

Рассмотрим процесс на выходе дискретного формирующего фильтра c прямоугольной ИХ, на входе которого действует ДБГШ. Вид ИХ фильтра и корреляционной функции выходного процесса показаны на рис.6.

–  –  –

Отметим, что сумма коэффициентов фильтра определяет коэффициент передачи на нулевой частоте, т.е. коэффициент передачи постоянной составляющей. В переходном режиме, длительность которого определяется длительностью ИХ, имеем неполную сумму k взвешенных отсчетов, поэтому МО в k-й момент k времени равно m 2 (k) = m1 h[n]. Поскольку в рассматриваемом примере все n =0 коэффициенты фильтра равны, то переходный процесс изменения МО имеет линейный характер.

Для построения графика зависимости дисперсии выходного процесса от номера отсчета, следует учесть следующие два свойства дисперсии. Во-первых, дисперсия произведения случайной величины на константу равна произведению дисперсии исходной величины на квадрат этой константы. Во-вторых, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий (в случае коррелированных случайных величин это несправедливо, и необходимо учесть коэффициент взаимной корреляции).

z 1 z 1 z 1 x[n]

–  –  –

закон изменения дисперсии выходного процесса также имеет линейный характер.

Задание: рассчитать цифровой нерекурсивный фильтр для формирования реализации гауссовского процесса с заданной корреляционной функцией или заданной СПМ. Обеспечить нормирование мощности процесса на выходе фильтра к мощности процесса на входе.

В качестве примера рассмотрим проектирование формирующего фильтра для моделирования случайного процесса со спектральной плотностью мощности вида:

() W () = exp a2, (5) где a – параметр.

Как отмечено в , корреляционная функция процесса на выходе фильтра с точностью до постоянного множителя равна автокорреляционной функции ИХ фильтра. Поэтому для решения поставленной задачи мы должны спроектировать фильтр, ИХ которого представляет собой сигнал, энергетический спектр которого описывается выражением (5). Как известно, модуль преобразования Фурье гауссовского импульса имеет вид гауссовской кривой.

Кроме того, и автокорреляционная функция гауссовского импульса представляет собой гауссовскую кривую. В данном примере следует упомянуть еще одно важное свойство преобразования Фурье, которое заключается в том, что преобразование Фурье четной функции является чисто вещественной функцией.

Поскольку функция (5) четная, то для вычисления действительной ИХ фильтра достаточно лишь вычислить ее действительный амплитудный спектр как квадратный корень функции (5) и взять обратное преобразование Фурье.

Используя таблицу преобразований Фурье, получаем, что автокорреляционная функция ИХ, будет иметь вид

–  –  –

() h(t) = a exp 2bt 2. (7) Функцию (7) будем рассматривать как ИХ аналогового фильтра-прототипа.

Параметр b в выражениях (6) и (7) определяет ширину корреляционной функции моделируемого процесса и, следовательно, ширину спектра процесса. Можно показать, что величина (1 – b) приближенно определяет коэффициент корреляции двух соседних отсчетов процесса. Для получения отсчетов ИХ цифрового формирующего фильтра можно воспользоваться различными способами. В описан способ вычисления коэффициентов фильтра методом разложения СПМ в ряд Фурье. Практически, этот способ сводится к методу частотного окна, который при практической реализации заключается в дискретизации отсчетов желаемой амплитудной характеристики и вычислению обратного дискретного преобразования Фурье (или, в частном случае четной функции, дискретного косинусного преобразования). При этом возможно последующее взвешивание ИХ весовым окном для уменьшения выбросов частотной характеристики полученного цифрового фильтра, которые вызваны влиянием так называемого эффекта Гиббса . Другим распространенным способом проектирования является метод окна во временной области. Этот метод оказывается еще более простым и удобным при проектировании нерекурсивных фильтров в случае, если известно аналитическое выражение для ИХ аналогового фильтра-прототипа. Метод сводится к взвешиванию ИХ фильтра-прототипа весовым окном ограниченной длительности и последующей дискретизацией в пределах этого окна. В рассматриваемом примере, используя описанный подход, получаем отсчеты ИХ цифрового нерекурсивного формирующего фильтра в виде () exp(n 2), где = 2bt2. Величина интервала h(n) = exp 2b(nt) = a a дискретизации t выбирается в соответствии с шириной полосы моделируемого процесса. Число коэффициентов фильтра выбирается исходя из требований точности аппроксимации требуемой частотной характеристики. Очевидно, что длительность окна должна быть выбрана таким образом, чтобы на краю окна значения ИХ были пренебрежимо малы. После получения вектора коэффициентов цифрового фильтра необходимо вычислить его частотную характеристику, а также квадрат модуля частотной характеристики и оценить точность аппроксимации заданной СПМ выходного процесса полученной функцией.

a Амплитудный множитель в (7) не имеет принципиального значения.

Однако по заданию нам необходимо выполнить условие нормирования мощности выходного процесса к мощности входного процесса. Это означает, что мощность (дисперсия) процесса на выходе фильтра должна быть равна мощности процесса на входе. Как было показано выше (см. пример 2.1), дисперсия процесса на N 1 выходе фильтра равна 2 = 1 h [ n]. Отсюда следует, что для обеспечения

–  –  –

Следует отметить, что рассмотренный пример является важным с точки зрения теории борьбы с пассивными помехами в радиолокации, где корреляционная функция вида (3) описывает свойства гауссовской пассивной помехи при дискретных значениях временного сдвига = nTП, где TП – период повторения импульсов. В этом случае величина R(TП) / 2 представляет собой коэффициент череспериодной корреляции пассивной помехи в импульсной радиолокационной системе.

Данный пример иллюстрирует модель другого важного частного случая пассивной помехи в радиолокации, а именно экспоненциальной помехи. Для расчета коэффициентов рекурсивного формирующего фильтра по заданной корреляционной функции процесса на выходе можно воспользоваться методом факторизации системной функции фильтра . Как известно , системная функция K(z) рекурсивного линейного фильтра с постоянными параметрами может быть представлена в виде N 1

–  –  –

Как следует из (16), коэффициент обратной связи b1 = = exp() равен коэффициенту корреляции двух соседних отсчетов процесса [n] на выходе фильтра. В соответствии с заданием, моделирование процесса с заданным коэффициентом корреляции между соседними отсчетами выходного процесса сводится к заданию соответствующего коэффициента обратной связи в схеме на рис.9.

–  –  –

Задачу предлагается решить самостоятельно.

Задание: на рис.11 показана функциональная схема, состоящая из генератора ДБГШ, цифрового фильтра нижних частот с ИХ, изображенной на том же рисунке, линий задержки на интервалы времени, равные длительности ИХ фильтра и половине этой длительности, сумматора, взаимно-корреляционного устройства, устройств оценивания среднеквадратических отклонений, а также устройств умножения и деления. Частота дискретизации в системе равна fS = 100 Гц, уровень СПМ ДБГШ равен N0/2 = 10-2 Дж/Гц. Число отсчетов ИХ фильтра N =

16. Необходимо найти дисперсию процесса в точках 1, 2 и 3 схемы, а также истинное значение параметра, оценка которого вычисляется в точке 4 схемы.

Оценка какого параметра вычисляется в точке 4?

–  –  –

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Функциональное моделирование радиосистем: Метод. указания к лабораторным работам для студентов специальности 200700 всех форм обучения/ НГТУ; Сост.: А.В.Мякиньков, Е.Н.Приблудова. Н.Новгород, 2005.с.

2. Функциональное моделирование радиосистем: Метод. указания к лабораторным работам для студентов специальности 210302.65 всех форм обучения. Часть 2 / НГТУ; Сост.: А.В.Мякиньков, А.Б.Бляхман. Н.Новгород, 2006. - 16 с.

3. Информационные технологии в радиотехнических системах: Учебное пособие /

В.А.Васин, И.Б.Власов, Ю.М.Егоров [и др.]; под ред. И.Б. Федорова. – М.:

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 672 с.

4. Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника / В.И.Тихонов. – М.: Радио и связь, 1982. – 624 с.

5. Горяинов, В.Т. Статистическая радиотехника: примеры и задачи. / В.Т.Горяинов, А.Г.Журавлев, В.В.Тихонов; под ред. В.И.Тихонова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Сов. радио, 1980. – 544 с.

6. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б.Сергиенко. – СПб.: Питер, 2003. –

7. Невдяев, Л.М. Телекоммуникационные технологии. Англо-русский толковый словарь-справочник / Л.М.Невдяев; под ред. Ю.М.Горностаева. – Серия изданий «Связь и бизнес», М.: МЦНТИ – международный центр научной и технической информации, ООО «Мобильные коммуникации», 2002. – 592 с.

8. Лезин, Ю.С. Введение в теорию и технику радиотехнических систем / Ю.С.Лезин. – М.: Радио и связь, 1986. – 280 с.

9. Ширман, Я.Д. Теоретические основы радиолокации. Учебное пособие для вузов

А.В. Бойко, В.И. Корнилов Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосиб...»

«ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Е.А.УТКИНА ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В СОЦИОЛОГИИ Казань 2012 Печатается по решению учебно-методической комиссии института математики и механики им.Лобачевского Казанского федерального университета УДК 303.4 Казань: КФУ, Уткина Е.А. Э...»

« виэсх р Ф|БЁ{9 !.€. €требков пРогРАммА вступитшльного эк3Амв,нА в АспиРАнтуРу по спшциАльности Ё...»

«I Всероссийский образовательный семинар по скалолазанию. Доклад. Особенности подготовки спортсменов-скалолазов в лазании на трудность.Подготовил: Гусак И.В. – Старший Тренер сборной Москвы, МС по скалолазани...»

«4. МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИКИ И ОБЩЕСТВО Богатый материал, отражающий новые подходы и умонастроения в философии математики последних лет, содержится в сборнике Математические миры: философские и социологические исследования матем...»

2017 www.сайт - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам , мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

В данной статье описываются подходы генерации шума, подробнее рассматривается набор наиболее популярных методов и даётся сопутствутствующая терминология. Статья во многом обзорная, и содержит достаточно много (поверхностно изложенной) теории, целью которой является дать читателю наводки для дальнейшего самостоятельного изучения.

Все приведённые отрывки кода, если явно не указано обратное, находятся в общем доступе.

Шумы находят широкое применение в разработке игр.
Примерами их использования являются:

1-мерные: звуковые эффекты и анимация хаотичных процессов (напр. дрожание камеры при взрывах)

2-мерные: текстуры, карты нормалей, ландшафт.

3-мерные: объёмные текстуры (которые дают возможность использовать пространственные координаты в качестве текстурных, в т. ч. и для динамических моделей), анимированные текстуры (3-я координата используется как время)

4-мерные: анимированные объёмные текстуры.

Рис. 1 . elevated by Rgba & TBC , 4k demo. Ландшафт и текстура сгенерированы с использованием процедурного шума.

Определения

Шум - беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложностью временной и спектральной структуры.

(https://ru.wikipedia.org/wiki/Шум).

Данная статья не вдаётся в философские проблемы определения случайности, и предполагает, что читатель имеет интуитивное представление о понятиях "случайное событие" и "вероятность" . Также, предполагается наличие общего представления о распределении вероятности и независимости случайных величин . Интересующиеся формализацией этих понятий отсылаются к определениям, содержащимся в учебниках по теории вероятностей.

Последовательность независимых случайных величин (не обязательно равномерно распределённых) называется также дискретным белым шумом.

В дальнейшем в статье под случайными числами будут чаще всего пониматься, без явного указания на это, псевдослучайные числа, т. е. генерируемые детерминированным образом, но "выглядящие" как случайные, в частности с т. з. некоторого набора статистических тестов.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Псевдослучайная_последовательность
https://ru.wikipedia.org/wiki/Генератор_псевдослучайных_чисел

Источники шума

В программировании часто встречаются 2 объекта, связанных с генерацией шума:

1. Генератор случайных чисел (ГСЧ (англ. RNG - random number generator), или ГПСЧ - генератор псевдослучайных чисел; в данной статье под ГСЧ подразумевается именно ГПСЧ). При вызове ГСЧ выдаёт следующий элемент в последовательности (псевдо)случайных чисел.

2. Шумовая функция (англ. Noise function). Чистая функция, которая аргументу сопоставляет результат, ведущий себя, в некотором смысле, как шум. Аргумент может быть как дискретным, так и непрерывным, одно- или многомерным.
Для непрерывного случая чаще всего нас интересует когерентная шумовая функция:

Coherent noise is generated by a coherent-noise function, which has three important properties:
Passing in the same input value will always return the same output value.
A small change in the input value will produce a small change in the output value.
A large change in the input value will produce a random change in the output value.

An n-dimensional coherent-noise function requires an n-dimensional input value. Its output value is always a scalar.

Примером ГСЧ является функция rand стандартной библиотеки C. Для многих целей данная конкретная функция является неудачной, т. к. её состояние (определяющее следующий элемент) - невидимая глобальная переменная. Соответственно несколько использующих её подсистем будут влиять друг на друга.
Более удобными в этом смысле являются объекты генераторов, которые хранят своё состояние, например генераторы, определённые в заголовочном файле стандартной библиотеки C++ ( присутствует в стандартной библиотеке начиная с C++11).

Шумовую функцию от дискретного аргумента концептуально можно реализовать через ГСЧ, отбросив соответствующее количество начальных значений, например так:

float noise(int i) { std::minstd_rand rng(0); // Initialize RNG with the internal state of 0. rng.discard((unsigned long long)i); // Advance the internal state by i steps. return std::uniform_real_distribution(0.0f,1.0f)(rng); }

Но с практической точки зрения это не очень удачный код, т. к. вычисления слишком медленны, причём время работы зависит от аргумента.
Примечание : теоретически, n-й результат LCG (реализованного в minstd_rand) может быть вычислен за O(log n) действий (что, впрочем, тоже медленно), но ни одна из тестированных реализаций стандартной библиотеки этого не делала.

Поэтому обычно шумовые функции вычисляют с помощью явных формул.

Шумовыми функциями часто удобно оперировать на концептуальном уровне (т. к. они являются функциями в обычном математическом смысле ("чистыми функциями" в программистской терминологии), и манипуляции с ними можно проводить по обычным правилам). Для практических целей во многих случаях достаточно прямого использования ГСЧ для получения последовательных значений, т. е. лёгкое получение значения по аргументу (а иногда и вообще повторяемость) не требуется. Использование ГСЧ в подобных случаях может оказаться более эффективным.

"Цвета" шума

Спектр шума является важной его характеристикой, т. к. он сильно влияет на воспринимаемый характер шума и при этом имеет удобное математическое описание.
Под спектром чаще всего понимают "спектральную плотность" - квадрат модуля (амплитуды) Фурье-преобразования (это определение "спектральной плотности энергии"; определение спектральной плотности мощности использует автокорреляционную функцию), реже - саму амплитуду (т. к. амплитуда в общем случае является комплексной величиной, иногда кроме модуля представляет интерес также и фаза).

Белый шум - стационарный шум, спектральные составляющие которого равномерно распределены по всему диапазону задействованных частот.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Белый_шум
Назван он так по аналогии с белым светом, также содержащим цвета всех частот (оптического диапазона).
Непрерывный идеальный белый шум (для которого два значения нескоррелированы, если они не одновременны) физически некорректен, т. к. имеет бесконечную мощность. Для дискретного белого шума эта проблема отсутствует.

Также по аналогии с оптикой вводят розовый (с преобладанием низких частот) и синий (с преобладанием высоких частот). Часто используют более узкие определения: красным, розовым, синим и фиолетовым называют шумы со спектральными мощностями, зависящими от частоты как 1/f^2, 1/f, f, f^2 соответственно.
См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Цвета_шума .

Одним из методов получения дискретного шума с заданными спектральными характеристиками является перемножение спектра дискретного белого шума и заданной спектральной огибающей (Fourier Spectral Synthesis):
Пусть - дискретный белый шум. Тогда шум с огибающей (в частотном пространстве) можно получить как

что выглядит как

где

Пример :

Рис. 2 . Слева направо - белый шум, его Фурье-образ (зелёным обозначена действительная часть, синим - мнимая), фильтр в частотном пространстве, действительная часть от обратного преобразования Фурье от произведения Фурье-образа белого шума и фильтра. Эффект затенения вызван асимметричностью фильтра (его величина близка к 0 для отрицательных частот).

Примечание : для дискретного случая может быть практичнее использование дискретного косинусного преобразования (англ. discrete cosine transform (DCT)).

Этот метод естественно обобщается на большее количество измерений.
В силу существования быстрого преобразования Фурье этот подход в некоторых случаях практичен по времени.

Примечание : Для дискретного белого шума с гауссовым распределением значений, его Фурье-преобразованием является также дискретный белый шум с гауссовым распределением значений (в частотном пространстве).

Примеры использования розового шума (в широком смысле слова) встречаются далее в статье.
Синий шум часто применяют в ситуациях, когда нужно получить случайно выглядящую регулярную структуру, а белый шум кажется слишком кластеризованным. Примеры: Poisson disk (http://devmag.org.za/2009/05/03/poisson-disk-sampling/ , https://www.jasondavies.com/poisson-disc/), random dithering и другие.

Категории процедурного шума

За обзором разных методов генерации процедурного шума читатель отсылается к
http://physbam.stanford.edu/cs448x/old/Procedural_Noise%282f%29Categories.html а также замечательной статье State of the Art in Procedural Noise Functions
Далее приводится сжатое изложение некоторых из них.

Один метод - Fourier Spectral Synthesis уже был рассмотрен выше.

Шумы на решётке (Lattice Noises) являются, возможно, наиболее популярными. В них задаются случайные значения в узлах решётки, исходя из которых находится значения в произвольных точках (т. е. строится непрерывная шумовая функция). Их наиболее известные классы:
1. Численный шум (value noise) - в каждом узле решётки задаётся (детерминированным образом) псевдослучайное число. Значением шумовой функции является интерполяция (чаще всего линейная или кубическая) между значениями в углах ячейки, куда попадает аргумент.

Рис. 3 . Двумерный численный шум. Слева - одна октава (с билинейной интерполяцией), справа - сумма 5 октав (с билинейной интерполяцией, и коэффициентом 0.73).

2. Градиентный шум (gradient noise) - в каждом узле решётки задаётся (детерминированным образом) псевдослучайный вектор (называемый градиентом). Значение шумовой функции получается исходя из значений в углах ячейки и направлений на эти узлы. Наиболее известным представителем является шум Перлина.

Рис. 4 . Двумерный срез трёхмерного шума Перлина.

Рис. 5 . Plasma fractal, сгенерированный Diamond-square algorithm.

Рис. 7 . Gabor Noise.

Рис. 8 . Примеры из Gabor Noise by Example .

Существуют разные способы генерации набора точек для шума Уорли. Jittered grid (регулярная сетка с детерминированным образом определённым случайным смещением вершин) является довольно популярной, но приводит к анизотропии. Уорли в статье использовал метод с разбиением пространства на кубы и генерации для куба случайных точек количеством, определяемым распределением Пуассона; метод похож на приведённый в подпункте Sparse Convolution Noise (см. ниже).

Рис. 9 . Ячеистая текстура (cellular texture).

Многие из этих методов производят шум в довольно узком диапазоне частот (другими словами - с определённым характерным размером деталей). Он может быть не очень интересен сам по себе, но является удобным строительным блоком для комбинаций, реализующих более интересный шум.
Очень частым подходом является суммирование октав шума:

Коэффициент носит разные названия. Библиотека libnoise использует термин Persistence, как и , где упоминается, что термин persistence в отношении шума был введён Бенуа Мандельбротом с обратным смыслом (т. е. ).
Коэффициент в libnoise назван Lacunarity, и в большинстве случаев выбирается равным 2.
См. .
Коэффициент чаще всего выбирают в диапазоне , хотя это и не обязательно.
Примечание : для случая ряд сходится для бесконечного количества октав, и каждая новая вносит всё меньшую поправку. Это не обязательно справедливо для производных, см. функцию Вейерштрасса .
Такой метод даёт розовый шум, который находит много применений.
Этот подход часто называют фрактальным броуновским движением (fractal Brownian motion) или сокращённо, fBm, даже в случаях когда он, строго говоря, не соответствует определению fBm.

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

Тема 12. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ.

Как много дел считалось невозможными, пока они не были осуществлены.

Гай Плиний Секунд (философ).

Специалисты в науке подобны старателям. Стоит одному найти крупинку золота, как другие выроют в этом месте котлован. А тема оптимальности, это вообще золотое Эльдорадо, можно копать в любом направлении.

Владимир Старцев. Уральский геофизик, ХХ в.

Введение.

1. Случайные процессы и шумы. Белый шум. Модель белого шума. Фильтрация белого шума.

2. Критерии построения оптимальных фильтров. Среднее квадратическое отклонение. Амплитудное отношение сигнал/шум. Энергетическое отношение сигнал/шум.

3. Фильтр Колмогорова-Винера. Условие оптимальности фильтра. Система линейных уравнений фильтра. Частотная характеристика фильтра. Задание мощности шумов. Эффективность фильтра. Пример расчета оптимального фильтра воспроизведения сигнала. Фильтры прогнозирования и запаздывания.

4. Оптимальные фильтры сжатия сигналов. Условие оптимальности. Частотная характеристика. Примеры использования.

5. Фильтр обнаружения сигналов. Частотная характеристика. Система линейных уравнений. Эффективность фильтра. Согласованный фильтр. Обратный фильтр.

6. Энергетический фильтр. Критерий оптимальности. Расчет векторов операторов фильтров.

ВВЕДЕНИЕ

Результаты практических измерений, подлежащие обработке, содержат определенный полезный сигнал на фоне различного рода помех (шумов), при этом спектр помех в общем случае представлен по всему интервалу главного частотного диапазона и наложен на спектр полезного сигнала. В этих условиях ставится задача реализации оптимальных фильтров, которые позволяют достаточно надежно производить обнаружение сигнала, наилучшим образом выделять сигнал на фоне помех или подавлять помехи без существенного искажения сигнала.

Главным критерием при проектировании оптимальных фильтров, как правило, является минимизация среднеквадратичной ошибки восстановления полезного сигнала. Линейные оптимальные фильтры, которые рассматриваются в настоящей теме, обычно базируются на оптимальном фильтре Колмогорова-Винера.

случайные процессы и шумы /12/.

Случайные процессы и шумы описываются функциями автокорреляции и спектрами мощности. Модели случайных процессов и сигналов с заданными статистическими характеристиками обычно получают фильтрацией белого шума.

Белый шум является стационарным случайным процессом q(t), у которого автокорреляционная функция описывается дельта - функцией Дирака, спектральная плотность мощности не зависит от частоты и имеет постоянное значение W q (f) = s 2 , равное дисперсии значений q(t). Все спектральные составляющие белого шума имеют одинаковую мощность. По существу, это идеализированный случайный процесс с бесконечной энергией. Но в случае постоянства спектральной плотности мощности случайного процесса в конечном диапазоне частот такая идеализация позволяет достаточно просто разрабатывать оптимальные методы фильтрации. Многие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях, в том числе в информатике, рассматривают как белый шум, если эффективная ширина спектра сигналов B s много меньше эффективной ширины спектра шумов B q , а спектральная плотность мощности шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала. Понятие "белый шум" определяет только спектральную характеристику случайного процесса и под это понятие подпадают любые случайные процессы, имеющие равномерный энергетический спектр и различные законы распределения.

Если частотный диапазон спектра, на котором рассматриваются сигналы и помехи, равен 0-В, то спектральная плотность шума задается в виде.