В определённый момент у любого разработчика в области компьютерной графики возникает вопрос: как же работают эти перспективные матрицы? Подчас ответ найти очень непросто и, как это обычно бывает, основная масса разработчиков бросает это занятие на полпути.

Это не решение проблемы! Давайте разбираться вместе!

Будем реалистами с практическим уклоном и возьмём в качестве подопытного OpenGL версии 3.3. Начиная с этой версии каждый разработчик обязан самостоятельно реализовывать модуль матричных операций. Замечательно, это то, что нам нужно. Проведём декомпозицию нашей с вами нелёгкой задачи и выделим основные моменты. Немного фактов из спецификации OpenGL:

• Матрицы хранятся по столбцам (column-major);
• Однородные координаты;
• Канонический объём отсечения (CVV) в левосторонней системе координат.

Существует два способа хранения матриц: сolumn-major и row-major. На лекциях по линейной алгебре как раз используется схема row-major. По большому счёту представление матриц в памяти не имеет значения, потому что матрицу всегда можно перевести в одного вида представления в другое простым транспонированием. А раз разницы нет, то для всех последующих расчётов мы будем использовать классические row-major матрицы. При программировании OpenGL есть небольшая хитрость, которая позволяет отказаться и от транспонирования матриц при сохранении классических row-major расчётов. В шейдерную программу матрицу нужно передавать как есть, а в шейдере производить умножение не вектора на матрицу, а матрицы на вектор.

Однородные координаты – это не очень хитрая система с рядом простых правил по переводу привычных декартовых координат в однородные координаты и обратно. Однородная координата это матрица-строка размерности . Для того чтобы перевести декартову координату в однородную координату необходимо x , y и z умножить на любое действительное число w (кроме 0). Далее необходимо записать результат в первые три компоненты, а последний компонент будет равен множителю w . Другими словами:
- декартовы координаты
w – действительное число, не равное 0

- однородные координаты

Небольшой трюк: Если w равно единице, то всё что нужно для перевода, это перенести компоненты x , y и z и приписать единицу в последний компонент. То есть получить матрицу-строку:

Несколько слов о нуле в качестве w . С точки зрения однородных координат это вполне допустимо. Однородные координаты позволяют различать точки и вектора. В декартовой же системе координат такое разделение невозможно.

- точка, где (x, y, z ) – декартовы координаты

- вектор, где (x, y, z ) – радиус-вектор

Обратный перевод вершины из однородных координат в декартовы координаты осуществляется следующим образом. Все компоненты матрицы-строки необходимо разделить на последнюю компоненту. Другими словами:

- однородные координаты
- декартовы координаты

Главное что необходимо знать, что все алгоритмы OpenGL по отсечению и растеризации работают в декартовых координатах, но перед этим все преобразования производятся в однородных координатах. Переход от однородных координат в декартовы координаты осуществляется аппаратно.

Канонический объём отсечения или Canonic view volume (CVV) – это одна из мало документированных частей OpenGL. Как видно из рис. 1 CVV – это выровненный по осям куб с центром в начале координат и длиной ребра равной двойке. Всё, что попадает в область CVV подлежит растеризации, всё, что находится вне CVV игнорируется. Всё, что частично выходит за границы CVV, подлежит алгоритмам отсечения. Самое главное что надо знать - система координат CVV левосторонняя!

Рис. 1. Канонический объём отсечения OpenGL (CVV)

Левосторонняя система координат? Как же так, ведь в спецификации к OpenGL 1.0 ясно написано, что используемая система координат правосторонняя? Давайте разбираться.

Рис. 2. Системы координат

Как видно из рис. 2 системы координат различаются лишь направлением оси Z . В OpenGL 1.0 действительно используется правосторонняя пользовательская система координат. Но система координат CVV и пользовательская система координат это две совершенно разные вещи. Более того, начиная с версии 3.3, больше не существует такого понятия как стандартная система координат OpenGL. Как упоминалось ранее, программист сам реализует модуль матричных операций. Формирование матриц вращения, формирование проекционных матриц, поиск обратной матрицы, умножение матриц – это минимальный набор операций, входящих в модуль матричных операций. Возникает два логичных вопроса. Если объём видимости это куб с длиной ребра равной двум, то почему сцена размером в несколько тысяч условных единиц видна на экране? В какой момент происходит перевод пользовательской системы координат в систему координат CVV. Проекционные матрицы – это как раз та сущность, которая занимается решением этих вопросов.

Главная мысль вышеизложенного – разработчик сам волен выбрать тип пользовательской системы координат и должен корректно описать проекционные матрицы. На этом с фактами об OpenGL закончено и подошло время сводить всё воедино.

Одна из наиболее распространённых и сложно постигаемых матриц – это матрица перспективного преобразования. Так как же она связана с CVV и пользовательской системой координат? Почему объекты с увеличением расстояния до наблюдателя становятся меньше? Для того чтобы понять почему объекты уменьшаются с увеличением расстояния, давайте рассмотрим матричные преобразования трёхмерной модели шаг за шагом. Не секрет, что любая трёхмерная модель состоит из конечного списка вершин, которые подвергаются матричным преобразованиям совершенно независимо друг от друга. Для того чтобы определить координату трёхмерной вершины на двухмерном экране монитора необходимо:

1. Перевести декартову координату в однородную координату;
2. Умножить однородную координату на модельную матрицу;
3. Результат умножить на видовую матрицу;
4. Результат умножить на проекционную матрицу;
5. Результат перевести из однородных координат в декартовы координаты.

Перевод декартовой координаты в однородную координату обсуждался ранее. Геометрический смысл модельной матрицы заключается в том, чтобы перевести модель из локальной системы координат в глобальную систему координат. Или как говорят, вынести вершины из модельного пространства в мировое пространство. Скажем проще, загруженный из файла трёхмерный объект находится в модельном пространстве, где координаты отсчитываются относительно самого объекта. Далее с помощью модельной матрицы производится позиционирование, масштабирование и поворот модели. В результате все вершины трёхмерной модели получают фактические однородные координаты в трёхмерной сцене. Модельное пространство относительно мирового пространства является локальным. Из модельного пространства координаты выносятся в мировое пространство (из локального в глобальное). Для этого используется модельная матрица.

Теперь переходим к шагу три. Здесь начинает работу видовое пространство. В этом пространстве координаты отсчитываются относительно положения и ориентации наблюдателя так, как если бы он являлся центром мира. Видовое пространство является локальным относительно мирового пространства, поэтому координаты в него надо вносить (а не выносить, как в предыдущем случае). Прямое матричное преобразование выносит координаты из некоторого пространства. Чтобы наоборот внести их в него, надо матричное преобразование инвертировать, поэтому видовое преобразование описывается обратной матрицей. Как же получить эту обратную матрицу? Для начала получим прямую матрицу наблюдателя. Чем характеризуется наблюдатель? Наблюдатель описывается координатой, в которой он находится, и векторами направления обзора. Наблюдатель всегда смотрит в направлении своей локальной оси Z . Наблюдатель может перемещаться по сцене и осуществлять повороты. Во многом это напоминает смысл модельной матрицы. По большому счёту так оно и есть. Однако, для наблюдателя операция масштабирования бессмысленна, поэтому между модельной матрицей наблюдателя и модельной матрицей трёхмерного объекта нельзя ставить знак равенства. Модельная матрица наблюдателя и есть искомая прямая матрица. Инвертировав эту матрицу, мы получаем видовую матрицу. На практике это означает, что все вершины в глобальных однородных координатах получат новые однородные координаты относительно наблюдателя. Соответственно, если наблюдатель видел определённую вершину, то значение однородной координаты z данной вершины в видовом пространстве точно будет положительным числом. Если вершина находилась за наблюдателем, то значение её однородной координаты z в видовом пространстве точно будет отрицательным числом.

Шаг четыре - это самый интересный шаг. Предыдущие шаги были рассмотрены так подробно намеренно, чтобы читатель имел полную картину о всех операндах четвёртого шага. На четвёртом шаге однородные координаты выносятся из видового пространства в пространство CVV. Ещё раз подчеркивается тот факт, что все потенциально видимые вершины будут иметь положительное значение однородной координаты z .

Рассмотрим матрицу вида:

И точку в однородном пространстве наблюдателя:

Произведём умножение однородной координаты на рассматриваемую матрицу:

Переведём получившиеся однородные координаты в декартовы координаты:

Допустим, есть две точки в видовом пространстве с одинаковыми координатами x и y , но разными координатами z . Другими словами одна из точек находится за другой. Из-за перспективного искажения наблюдатель должен увидеть обе точки. Действительно, из формулы видно, что из-за деления на координату z , происходит сжатие к точке начала координат. Чем больше значение z (чем дальше точка от наблюдателя), тем сильнее сжатие. Вот и объяснение эффекту перспективы.

В спецификации OpenGL сказано, что операции по отсечению и растеризации выполняются в декартовых координатах, а процесс перевода однородных координат в декартовы координаты производится автоматически.

Матрица (1) является шаблоном для матрицы перспективой проекции. Как было сказано ранее, задача матрицы проекции заключается в двух моментах: установка пользовательской системы координат (левосторонняя или правосторонняя), перенос объёма видимости наблюдателя в CVV. Выведем перспективную матрицу для левосторонней пользовательской системы координат.

Матрицу проекции можно описать с помощью четырёх параметров (рис. 3):

• Угол обзора в радианах (fovy );
• Соотношение сторон (aspect );
• Расстояние до ближней плоскости отсечения (n );
• Расстояние до дальней плоскости отсечения (f ).

Рис. 3. Перспективный объём видимости

Рассмотрим проекцию точки в пространстве наблюдателя на переднюю грань отсечения перспективного объёма видимости. Для большей наглядности на рис. 4 изображён вид сбоку. Так же следует учесть, что пользовательская система координат совпадает с системой координат CVV, то есть везде пользуется левосторонняя система координат.

Рис. 4. Проецирование произвольной точки

На основании свойств подобных треугольников справедливы следующие равенства:

Выразим yꞌ и xꞌ:

В принципе, выражений (2) достаточно для получения координат точек проекции. Однако для правильного экранирования трёхмерных объёктов необходимо знать глубину каждого фрагмента. Другими словами необходимо хранить значение компоненты z . Как раз это значение используется при тестах глубины OpenGL. На рис. 3 видно, что значение zꞌ не подходит в качестве глубины фрагмента, потому что все проекции точек умеют одинаковое значение zꞌ . Выход из сложившейся ситуации – использование так называемой псевдоглубины.

Свойства псевдоглубины:

1. Псевдоглубина рассчитывается на основании значения z ;
2. Чем ближе к наблюдателю находится точка, тем меньшеe значение имеет псевдоглубина;
3. У всех точек, лежащих на передней плоскости объёма видимости, значение псевдоглубины равно -1;
4. У всех точек, лежащих на дальней плоскости отсечения объёма видимости, значение псевдоглубины равно 1;
5. Все фрагменты, лежащие внутри объёма видимости, имеют значение псевдоглубины в диапазоне [-1 1].

Давайте выведем формулу, по которой будет рассчитываться псевдоглубина. В качестве основы возьмём следующее выражение:

Коэффициенты a и b необходимо вычислить. Для того чтобы это сделать, воспользуемся свойствами псевдоглубины 3 и 4. Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Произведём сложение обоих частей системы и умножим результат на произведение fn , при этом f и n не могут равняться нулю. Получаем:

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые так, чтобы слева осталась только часть с а , а справа только с b :

Подставим (6) в (5). Преобразуем выражение к простой дроби:

Умножим обе стороны на -2fn , при этом f и n не могут равняться нулю. Приведём подобные, перегруппируем слагаемые и выразим b :

Подставим (7) в (6) и выразим a :

Соответственно компоненты a и b равны:

Теперь подставим полученные коэффициенты в матрицу заготовку (1) и проследим, что будет происходить с координатой z для произвольной точки в однородном пространстве наблюдателя. Подстановка выполняется следующим образом:

Пусть расстояние до передней плоскости отсечения n равно 2, а расстояние до дальней плоскости отсечения f равно 10. Рассмотрим пять точек в однородном пространстве наблюдателя:

Взаимное расположение точки и объёма видимости

Точка	Значение	Описание
1	1	Точка находится перед передней плоскостью отсечения объёма видимости. Не проходит растеризацию.
2	2	Точка находится на передней грани отсечения объёма видимости. Проходит растеризацию.
3	5	Точка находится между передней гранью отсечения и дальней гранью отсечения объёма видимости. Проходит растеризацию.
4	10	Точка находится на дальней грани отсечения объёма видимости. Проходит растеризацию.
5	20	Точка находится за дальней гранью отсечения объёма видимости. Не проходит растеризацию.

Умножим все точки на матрицу (8), а затем переведём полученные однородные координаты в декартовые координаты . Для этого нам необходимо вычислить значения новых однородных компонент и .
Точка 1:

Обратите внимание, что однородная координата абсолютно верно позиционируется в CVV, а самое главное, что теперь возможна работа теста глубины OpenGL, потому что псевдоглубина полностью удовлетворяет требованиям тестов.

С координатой z разобрались, перейдём к координатам x и y . Как говорилось ранее весь перспективный объём видимости должен умещаться в CVV. Длина ребра CVV равна двум. Соответственно, высоту и ширину перспективного объёма видимости надо сжать до двух условных единиц.

В нашем распоряжении имеется угол fovy и величина aspect . Давайте выразим высоту и ширину, используя эти величины.

Рис. 5. Объём видимости

Из рис. 5 видно, что:

Теперь можно получить окончательный вид перспективной проекционной матрицы для пользовательской левосторонней системы координат, работающей с CVV OpenGL:

На этом вывод матриц закончен.

Пару слов о DirectX - основном конкуренте OpenGL. DirectX отличается от OpenGL только габаритами CVV и его позиционированием. В DirectX CVV - это прямоугольный параллелепипед с длинами по осям x и y равными двойке, а по оси z длина равна единице. Диапазон x и y равен [-1 1], а диапазон z равен . Что касается системы координат CVV, то в DirectX, как и в OpenGL, используется левосторонняя система координат.

Для вывода перспективных матриц для пользовательской правосторонней системы координат необходимо перерисовать рис. 2, рис.3 и рис.4 с учётом нового направления оси Z . Далее расчёты полностью аналогичны, с точностью до знака. Для матриц DirectX свойства псевдоглубины 3 и 4 модифицируются под диапазон .

На этом тему перспективных матриц можно считать закрытой.

Для того, чтобы вращать объекты (или камеру), необходима серьезная математическая база, с помощью которой будут расчитываться координаты всех объектов при выводе на "плоский" экран компьютера. Сразу хочу сказать, что не стоит пугаться, все математические библиотеки уже написаны за нас, мы будем их только использовать. В любом случае, следующий текст пропускать не нужно, независимо от уровня знаний математики.

1. Матрицы, общие понятия

Что такое матрицы? Вспоминаем высшую математику: матрица ¬- это набор чисел с заранее известной размерностью строк и столбцов.

Матрицы можно складывать, умножать на число, перемножать друг с другом и много еще чего интересного, но этот момент мы пропустим, т.к. он достаточно подробно изложен в любом учебнике по высшей математике (учебники можно поискать на google.com). Мы будем пользоваться матрицами как программисты, мы их заполняем и говорим, что с ними делать, все расчеты произведет математическая библиотека Direct3D, поэтому нужно включить в проект заголовочный модуль d3dx9.h (и библиотеку d3dx9.lib).

Наша задача - создать объект, т.е. заполнить матрицу координатами вершин объекта. Каждая вершина - это вектор (X, Y, Z) в трехмерном пространстве. Теперь, чтобы произвести какое-то действие, нужно взять наш объект (то есть матрицу) и умножить на матрицу преобразования, результат этой операции - новый объект, заданный в виде матрицы.

В Direct3D определены и используются три основные матрицы: мировая матрица, матрица вида и матрица проекции. Рассмотрим их подробнее.

Мировая матрица (World Matrix) - позволяет производить вращение, трансформацию и масштабирование объекта, а также наделяет каждый из объектов своей локальной системой координат.

Функции для работы с мировой матрицей:

D3DXMatrixRotationX(), D3DXMatrixRotationY(), D3DXMatrixRotationZ() - вращение точки относительно одной из осей;

D3DXMatrixTranslation() - перемещение точки в другое положение;

D3DXMatrixScale() - масштабирование.

Матрица вида (View Matrix) - определяет местоположение камеры просмотра сцены и может состоять из любых комбинаций трансляции и вращения.
D3DXMatrixLookAtLH()и D3DXMatrixLookAtRH() определяет положение камеры и угла просмотра для левостороней и правостороней систем координат соответственно.

Матрица проекции (Projection Matrix) - создает проекцию 3D сцены на экран монитора. С ее помощью объект трансформируется, начало координат переносится в переднюю часть, а также определяется передняя и задняя плоскости отсечения.

Заполняя эти матрицы и делая преобразования, вы создаете трехмерную сцену, в которой получаете возможность перемещать, вращать, приближать, удалять и производить другие действия над объектами, в зависимости от ваших потребностей.

2. Создание объекта

Создаем новый проект, аналогично первому. Прежде чем продолжить усложнять наш код, разобьем его на части для лучшей читаемости кода. Наш проект логично разделить на три составляющие:

1. Окно Windows (инициализация окна, сообщения, …)
2. Инициализация 3D (загрузка координат объектов, удаление ресурсов, …)
3. Рендер сцены (матрицы, рисование примитивов, …)

В результате у нас будет 3 файла - window.cpp, init3d.h, render.h с таким содержанием: init3d.h - переносим глобальный переменные и структуры, объявление функций, функции InitDirectX(), InitBufferVertex(), Destroy3D() render.h - переносим функцию RenderScene() все, что осталось, касается главного окна, это будет файл - window.cpp .

Добавляем заголовочный файл и библиотеку для использования матричных функций

#include // или C:\DXSDK\Include\d3dx9.h #pragma comment(lib, "d3dx9.lib") //или C:\\DXSDK\\Lib\\d3dx9.lib

Также нам понадобятся стандартные функции работы со временем, поэтому подключаем соответствующий заголовочный файл:

#include

Изменим формат представления вершин:

#define D3DFVF_CUSTOMVERTEX (D3DFVF_XYZ/D3DFVF_DIFFUSE) struct CUSTOMVERTEX { FLOAT x, y, z; DWORD color; };

Будем использовать не преобразованный тип вершин, т.к. преобразования будем делать матрицами.
Изменяем код функции InitDirectX(). В эту функцию необходимо добавить установку двух режимов отображения.
Отключаем режим отсечения для того, чтобы при вращении можно было видеть все стороны объекта:

PDirectDevice->SetRenderState(D3DRS_CULLMODE, D3DCULL_NONE);

На данный момент мы не пользуемся освещением, а закрашиваем вершины в определенный цвет, поэтому отключаем освещение:

PDirectDevice->SetRenderState(D3DRS_LIGHTING, FALSE);

Упростим наше сердце, представив его в виде трех треугольников. Будем использовать локальную систему координат.

CUSTOMVERTEX stVertex= { { -1.0f, 0.5f, 0.0f, 0x00ff0000 }, { -0.5f, 1.0f, 0.0f, 0x00ff0000 }, { 0.0f, 0.5f, 0.0f, 0x00ff0000 }, { 0.0f, 0.5f, 0.0f, 0x000000ff }, { 0.5f, 1.0f, 0.0f, 0x000000ff }, { 1.0f, 0.5f, 0.0f, 0x000000ff }, { -1.0f, 0.5f, 0.0f, 0x0000ff00 }, { 1.0f, 0.5f, 0.0f, 0x0000ff00 }, { 0.0f, -1.0f, 0.0f, 0x0000ff00 }, };

3. Создание матриц преобразования

Напишем в файле render.h функцию SetupMatrix() в которой будут происходить все действия над матрицами.

Создадим матрицы:

D3DXMATRIX MatrixWorld; - мировая матрица

D3DXMATRIX MatrixView; - матрица вида

D3DXMATRIX MatrixProjection; - матрица проекции
Установка мировой матрицы

Для того, чтобы объект вращался, необходимо получить системное время и каждое "мгновение" изменять угол между локальной системой координат и мировой ситемой координат. Вращать будем относительно оси Х, поэтому используем функцию D3DXMatrixRotationX. После расчета мировой матрицы необходимо применить ее значения с помощью функции SetTransform:

UINT iTime=timeGetTime()%5000; FLOAT fAngle=iTime*(2.0f*D3DX_PI)/5000.0f; D3DXMatrixRotationX(&MatrixWorld, fAngle); pDirectDevice->SetTransform(D3DTS_WORLD, &MatrixWorld); Установка матрицы вида

Устанавливаем камеру в нужном месте и направляем ее на объект

D3DXMatrixLookAtLH(&MatrixView, - результат выполнения функции

&D3DXVECTOR3(0.0f, 0.0f, -8.0f), - точка, в которой находится камера

&D3DXVECTOR3(0.0f, 0.0f, 0.0f), - точка, в которую мы смотрим

&D3DXVECTOR3(0.0f, 1.0f, 0.0f)); - верх объекта

После расчета необходимо применить полученные значения.

Для детального описания методов отслеживания точечных особенностей, калибровки камеры и реконструкции трехмерных объектов необходимо ввести модель перспективной проектирования и описать геометрические свойства этого преобразования. Точки нескольких изображений, полученных с помощью перспективной проекции, находятся в особых отношениях друг с другом, которые описываются эпиполярной геометрией. Модели этих отношений должны быть подробно рассмотрены, т.к. практически все методы трехмерной реконструкции требуют оценки соответствующих моделей и опираются на их свойства.

Необходимо отметить отдельно предположение, что на всех исходных изображениях запечатлена одна и та же сцена, т.е. каждое изображение является видом сцены с какой-то определенной камеры. Поэтому для удобства описания вводится понятие вида, как изображение с ассоциированной с ним моделью камеры, с которой оно было получено.

Перспективная проекция

Модель перспективной проекции соответствует идеальной камере-обскуре. Эта модель довольно точно соответствует процессу построения изображения в большинстве современных фото- и видеокамер. Однако из-за ограничений современной оптики реальный процесс несколько отличается от модели камеры-обскуры. Отличия реального процесса от модели называются искажениями и моделируются отдельно.

Модель простейшей камеры-обскуры удобна тем, что она полностью описывается центром проекции и положением плоскости изображения. Поэтому проекция любой точки сцены на изображении может быть найдена как пересечение луча, соединяющего центр проекции и точку сцены, с плоскостью изображения.

Простейшая модель перспективной проекции

Рассмотрим простейший случай, когда центр проекции камеры (фокус) помещен в начало системы координат, и плоскость изображения совпадает с плоскостью Z=1. Пусть (X,Y,Z) - координаты точки в 3-х мерном пространстве, а (x,y) - проекция этой точки на изображение I. Перспективная проекция в этом случае описывается следующими уравнениями:

В матричной форме с использованием однородных координат эти уравнения переписываются в следующем виде:

(2.2)

Плоскость, расположенная на расстоянии 1 от центра проекции, и перпендикулярная оптической оси называется идеальной плоскостью изображения. Оптическая ось пересекает идеальную плоскость изображения в точке с, называемой принципиальной точкой. Иллюстрация простейшего случая перспективной проекции приведена на рис. 1.

Внутренняя калибровка камеры

Простейший случай перспективной проекции практически всегда не соответствует реальной камере. Расстояние от центра проекции до плоскости изображения, т.е. фокусное расстояние, обозначаемое f, обычно не равно 1. Также координаты точки в плоскости изображения могут не совпадать с абсолютными координатами. При использовании цифровой камеры, соотношение между координатами точки в изображении и абсолютными координатами точки на идеальной плоскости, определяется формой и размерами пикселов матрицы.

Обозначим размеры пиксела матрицы цифровой камеры за p x , p y , угол наклона пиксела за α, а принципиальную точку за , рис.2. Тогда координаты точки (x,y) в изображении, соответствующей точке (x R , y R) на идеальной плоскости, определяются выражением:

(2.3)

Если за f x ,f y обозначить фокусное расстояние f, измеренное в ширинах и высотах пикселей, а tan(α)*f/p y обозначить как s, то формула 2.3 преобразуется в:

(2.4)

Матрица K называется матрицей внутренней калибровки камеры. В большинстве случаев у реальных цифровых камер угол наклона пикселей близок к прямому, т.е. параметр s=0, а ширина и высота пикселя равны. Принципиальная точка обычно располагается в центре изображения. Поэтому матрица K может быть записана в виде:

(2.5)

Это предположение о виде матрицы K широко используются для упрощения алгоритмов определения внутренней калибровки камеры, а также при синтетическом моделировании изображений, необходимых для оценки качества и эффективности методов трехмерной реконструкции.

Внешняя калибровка камеры

Пусть M - точка сцены в 3-х мерном пространстве. Любое движение является евклидовым преобразованием пространства, поэтому в однородных координатах оно выражается как:

(2.6)

где R - матрица вращения, T= T - вектор переноса.

Движение камеры относительно сцены эквивалентно обратному движению точек сцены относительно камеры, поэтому равно:

(2.7)

где R, T - матрица вращения и вектор перемещения камеры относительно сцены. Матрица С называется матрицей внешней калибровки камеры. Матрица C -1 называется матрицей движения камеры . Таким образом, матрица внешней калибровки камеры переводит координаты точек сцены из системы координат сцены в систему координат, связанную с камерой.

Полная модель перспективной проекции

Из выражений 2.1, 2.4, 2.7 можно вывести выражение произвольной перспективной проекции для любой камеры с произвольной ориентацией и положением в пространстве:

В более краткой форме с учетом предыдущих обозначений эта формула может быть записана как:

Матрица P называется матрицей проекции камеры.

По аналогии с общим перспективным преобразованием рассмотрим вначале простейший случай перспективного преобразования плоскости. Пусть плоскость p совпадает с плоскостью Z=0, тогда однородные трехмерные координаты любой ее точки M=. Для любой камеры с матрицей проекции P, перспективное преобразование плоскости описывается матрицей размерности 3*3:

Поскольку любую плоскость в 3-х мерном пространстве можно перевести в плоскость Z = 0 евклидовым преобразованием поворота и переноса, что эквивалентно домножению матрицы камеры P на матрицу преобразования L, то перспективное отображение произвольной плоскости в пространстве описывается линейным преобразованием с матрицей размерности 3*3.

Перспективное преобразование плоскости также называется гомографией . В матричной форме перспективное преобразование плоскости записывается как m=HM .

Геометрия двух изображений

Запечатленная на всех исходных изображениях сцена считается неподвижной, поэтому взаимное расположение проекций точек сцены на разных кадрах не может меняться произвольным образом. Ограничения, накладываемые на расположение проекций точек, очевидно зависят от параметров камер и их положения друг относительно друга. Поэтому определение моделей таких ограничений дает часть информации о взаимном расположении камер, с которых были получены изображения.

Перспективное преобразование плоскости

Если центры двух камер совпадают, то точки на плоскостях изображения обеих камер переводятся друг в друга перспективным преобразованием плоскости. В этом случае, преобразование точек между изображениями не зависит от формы 3-х мерной сцены, а зависит только от взаимного положения плоскостей изображений.

Если вся сцена или ее часть представляет собой плоскость, то ее изображения на разных видах с несовпадающими центрами камер, можно перевести друг в друга преобразованием гомографии. Пусть p - наблюдаемая плоскость, H 1 - преобразование гомографии между плоскостью p и изображением I 1 , H 2 - преобразование гомографии между плоскостью p и изображением I 2 . Тогда преобразование гомографии H 12 между изображениями I 1 и I 2 можно вывести следующим образом:

H 12 не зависит от параметризации плоскости p, а значит не зависит и от системы координаты в пространстве

Большинство методов определения координат 3х мерных точек по их проекциям и методов реконструкции 3-х мерной сцены, опираются на предположение о движении центра камеры между видами. Поэтому при совпадении центров камер нескольких видов эти методы будут давать некорректные результаты. Такие конфигурации камер должны обнаруживаться и обрабатываться специальным образом.

Поскольку преобразование гомографии записано в однородных координатах, то матрица H определена с точностью до масштаба. Она имеет 8 степеней свободы, и параметризируется 8 переменными. Каждое известная пара соответствующих точек m 1 и m 2 на первом и втором изображении соответственно дает 2 линейных уравнения от элементов матрицы H. Поэтому 4-х известных пар соответствующих точек достаточно для составления системы линейных уравнений из 8 уравнений с 8 неизвестными. По этой системе гомография H может быть однозначно определена, если никакие три из точек не лежат на одной прямой.

Фундаментальная матрица

Рассмотрим случай, когда центры камер двух видов не совпадают. Пусть C 1 и C 2 - центры двух камер, M - 3-х мерная точка сцены, m 1 и m 2 - проекции точки M на первое и второе изображение соответственно. Пусть П - плоскость, проходящая через точку M и центры камер C 1 и C 2 . Плоскость П пересекает плоскости изображений первого и второго видан по прямым l 1 и l 2 . Поскольку лучи C 1 M и C 2 M лежат в плоскости П, то очевидно, что точки m 1 и m 2 лежат на прямых l 1 и l 2 соответственно. Можно дать более общее утверждение, что проекции любой точки M", лежащей в плоскости П, на оба изображения должны лежать на прямых l 1 и l 2 . Эти прямые называются эпиполярными линиями. Плоскость П называются эпиполярной плоскостью.

Два вида одной и той же сцены называются стереопарой, а отрезок C 1 C 2 , соединяющий центры камер, называется базой стереопары (baseline) или стереобазой. Любая эпиполярная плоскость проходит через отрезок C 1 C 2 . Пусть C 1 C 2 пересекает первое и второе изображение в точках e 1 и e 2 соответственно. Точки e 1 и e 2 называются эпиполярными точками или эпиполями. Все эпиполярные линии пересекаются в точках e 1 и e 2 на первом и втором изображении соответственно. Множество эпиполярных плоскостей представляет собой пучок, пересекающийся по стереобазе C 1 C 2 . Множество эпиполярных линий на обоих изображений также представляют собой пучки прямых, пересекающихся в e 1 и e 2 .

Точки m 1 и m 2 называются соответствующими, если они являются проекциями одной и той же точки сцены M. Эпиполярные линии l 1 и l 2 называются соответствующими, если они лежат в одной и той же эпиполярной плоскости П. Если эпиполярная плоскость П проходит через точку m 1 , тогда эпиполярные линии l 1 и l 2 , лежащие в ней, называются соответствующими точке m 1 .

Ограничение на положение соответствующих точек m 1 и m 2 , вытекающей из эпиполярной геометрии, можно сформулировать следующим образом: точка m 2 , соответствующая m 1 , должна лежать на эпиполярной линии l 2 , соответствующей m 1 . Это условие называется эпиполярным ограничением. В однородных координатах условие того, что точка m лежит на линии l записывается как l T m=0 . Эпиполярная линия проходит также через эпиполярную точку. Уравнение прямой, проходящей через точки m 1 и e 1 можно записать как:

l 1 ∼ x m 1 ,

где x - антисимметричная матрица размерности 3*3 такая что, x m 1 - векторное произведение m 1 и e 1 .

Для соответствующих эпиполярные линий l 1 и l 2 верно:

где P + - псевдоинверсия матрицы P.

Матрица F называется фундаментальной матрицей. Она представляет собой линейный оператор, сопоставляющей каждой точке m 1 соответствующую ей эпиполярную линию l 2 . Для каждой пары соответствующих точек m 1 и m 2 верно

m T 2 Fm 1 =0

Это формулировка эпиполярного ограничения через фундаментальную матрицу.

Фундаментальная матрица имеет 7 степеней свободы. Каждая пара соответствующих точек m 1 и m 2 задает одно линейное уравнение на элементы матрицы, поэтому она может быть вычислена по известным 7 парам соответствующих точек.

Эпиполярное ограничение справедливо для любых пар соответствующих точек, расположенных на идеальных плоскостях двух видов. Если известны матрицы внутренней калибровки K 1 и K 2 камер обоих видов, то эпиполярное ограничение для соответствующих точек на идеальных плоскостях записывается как:

Матрица E называется существенной матрицей. Можно показать, что существенная матрица также может быть получена из взаимного расположения камер.

Пусть P 1 =(I|0) и P 2 =(R|-RT) - две матрицы проектирования с калибровкой K = I. Тогда уравнения проектирования на идеальную плоскость обеих камер записываются в виде:

Найдем эпиполярную линию на втором виде, соответствующую точке m" 1 на первом. Для этого достаточно спроектировать на второй вид две точки, лежащие на луче (C 1 ,m" 1) на второй вид, например центр первой камеры (0,0,0,1) T и точку на плоскости бесконечности (x" 1 ,y" 1 ,z" 1 ,0) T . Проекциями этих точек будут являться соответственно -RT, и R(x" 1 ,y" 1 ,z" 1 ,0) T . Уравнение эпиполярной линии l 2 , проходящей через обе этих точки задается как векторное произведение:

l 2 =RT×R(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T =R(T×(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T)

В матричной форме векторне произведение T×(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T можно записать с помощью матрицы S:

Тогда эпиполярное ограничение на точки в идеальной плоскости записывается как:

Выражение существенной матрицы через параметры внешней калибровки двух камер используется для вычисления относительного положения камер.

Геометрические свойства трех и более изображений

Пусть C 1 ,C 2 и C 3 - центры трех видов одной и той же трехмерной сцены. В этом случае, эпиполярные ограничения накладываются на соответствующие точки любой пары видов. Если известны проекции двух точек m 1 и m 2 на первый и второй вид, то положение проекции на третье изображение может быть найдено как пересечение двух эпиполярных видов, соответствующих точкам m 1 и m 2 .

По двум известным проекциям m 1 и m 2 на два изображения с известной калибровкой можно определить положение точки M в пространстве. Поэтому если известна калибровка третьего изображения, то проекция точки M на третий вид может быть определена простой проекцией.

Ограничения, накладываемые на положение соответствующих точек более двух изображений, также можно записать в линейной форме. Для трех видов эти ограничения записываются в виде трифокального тензора, для четырех видов - в форме квадрифокального тензора. Однако вычисление этих ограничений эквивалентно вычислению калибровки всех трех или четырех видов в проективном пространстве. В этой работе эти виды ограничений не используются, поэтому более подробно не рассматриваются.

Графический вывод обычно осущестсвляется в некоторую прямоугольную область экрана или окна. В OpenGL-визуализации эта область называется порт вывода. Именно в этой прямоугольной области будет размещено библиотекой сформированное изображение. Его размеры определяются относительно левого верхнего угла окна и измеряются в пикселах. Для определения порта вывода приложение должно отследить событие изменения размеров окна и определить порт вывода с использованием функции:

void glViewport(GLint x, GLint y, GLsizei width, GLsizei height);

Аргументы (x, y) определяют положение верхнего левого угла порта вывола, а width и height -- его размеры. По умолчанию библиотека растягивает порт вывода на всё OpenGL-окно.

Координатная система

Прежде чем быть отображённой на экране вершина, заданная в системе координат сцены должна пройти процесс проецирования. Для описания и проведения преобразований систем координат в библиотеке OpenGL используется матричный аппарат. Сама система координат и ее преобразования описываются матрицами в так называемых однородных координатах.

Во-первых, вершина преобразуется в матрицу 1X4, в которой первые три элемента представляют собой координаты x, y, z. Четвёртое число - масштабный коэффициент w, который обычно равен 1.0. Вершина домножается на видовую матрицу, которая описывает преобразования видовой системы координат. Получаем вершину в координатах вида. Она в свою очередь домножается на матрицу проекций и получаем вершину в координатах проекции. На этом этапе некоторве вершины отбрасываются (из-за непопадания в объём визуализации). Затем вершины нормализуются для передачи перспективы (если координата w не равна 1.0). Окончательное проецирование вершины на двумерную поверхность экрана выполняется библиотекой OpenGL самостоятельно и вмешаться в этот процесс нельзя.

Матрица проекций

Матрица проекций отвечает за то, какой объём пространства будет визуализироваться, каким образом вершины графических примитивов будут спроецированы на двумерную поверхность экрана монитора. Преобразования матрицы проекций ведут к тому, что все изображение будет изменяться (масштабироваться, перемещаться или вращаться). В OpenGL возможно использование двух режимов матрицы проекций: перспективная и ортографическая.

При перспективной проекции используется тот факт, что для человеческий глаз работает с предметом дальнего типа, размеры которого имеют угловые размеры. Чем дальше объект, тем меньше он нам кажется. Таким образом, объём пространства, который визуализируется представляет собой пирамиду.

Матрица преспективной проекции определяется с использованием функции:

void glFrustum(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far);

(left, bottom, -near) и (right, top, -near) определяют координаты ближней отсекающей рамки; near и far имеют всегда положительные значения и определяют расстояние от точки зрения до ближней и дальней отсекающих рамок.

Для задания матрицы перспективной проекции также можно использовать функцию gluPerspective(), которая имеет другие аргументы

void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble near, GLdouble far);

Аргумент fovy (field of view) определяет поле зрения, а aspect -- отношение ширины отсекающей рамки к высоте. near и far имеют всегда положительные значения и определяют расстояние от точки зрения до ближней и дальней отсекающих рамок.

Перспективное проецирование обычно используется в играх и приложениях, где требуется добиться высокой реалистичности объектов, подожей на визуализацию глазом. Для двумерной и трехмерной визуализации научных и технических данных обычно используется ортографическая проекция. Рассмотрим установку ортографической проекции сначала для двумерной визуализации. При ортографической проекции объём пространства, который визуализируется представляет собой параллелепипед:

Особенностями ортографической проекции является то, что расстояние от камеры до объектов не влияет на итоговое изображение.

Для установки и последующего изменения матрицы проекций следует выполнить функцию glMatrixMode(GL_PROJECTION). Для начала также следует отменить все предыдущие установки и преобразования, сделав матрицу проекций единичной с помошью функции glLoadIdentity(). Матрица ортографической проекции устанавливается с использованием функции, которая имеет следующий прототип:

void glOrtho(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far);

(left, bottom, -near) и (right, top, -near) -- точки, определяющие ближнюю отсекающую рамку. (left, bottom, -far) и (right, top, -far) -- точки, определяющие дальнюю отсекающую рамку. После применения этой команды направление проецирования параллельно оси z в сторону отрицательных значений

//Функция изменения размеров и установки координат
void Reshape(int width, int height)
{
//Установка порта вывода
glViewport(0, 0, width, height);

//Режим матрицы проекций
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
//Единичная матрица
glLoadIdentity();

//Установка двумерной ортографической системы координат
glOrtho(-50., 50., -50., 50., -1., 1.);

//Режим видовой матрицы
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
}

Специально для двумерной визуализации можно использовать функцию, которая имеет следующий прототип:

void gluOrtho2D(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top);

Эта функция аналогична glOrtho(), при вызове которой аргумент near=-1.0, а far=1.0. В процессе двумерной визуализации z-координата у вершин имеет значение 0, то есть объекты находятся на средней плоскости.

При необходимости сохранения пропорций установку системы координат необходимо осуществлять с учетом отношения ширины и высоты окна.

//Установка ортографической системы координат
double aspect=width/double(height);
if(width>=height)
{
gluOrtho2D(-50.*aspect, 50.*aspect, -50., 50.);
}
else
{
gluOrtho2D(-50., 50., -50./aspect, 50./aspect);
}

Видовая матрица

Видовая матрица отвечает за систему координат создаваемой трехмерной модели. В процессе создания модели видовая матрица может многократно изменяться для того, чтобы видоизменить изображение отдельных графических примитивов (превратить квадрат в прямоугольник, куб в параллелепипед, сферу в эллипсоид). Для установки и последующего изменения видовой матрицы следует выполнить функцию glMatrixMode(GL_MODELVIEW). Для начала также следует отменить все предыдущие установки и преобразования, сделав матрицу проекций единичной с помошью функции glLoadIdentity(). Если координаты вершин объекта задаются при его создании, то дополнительные преобразования системы координат не требуются. Однако часто это сложно или просто невозможно.

OpenGL предоставляет три функции для выполнения преобразования системы координат: glTranslated(), glRotated() и glScaled(). Эти команды генерируют матрицы переноса, поворота и масштабирования, которые домножаются на видовую матрицу с помощью функции glMultMatrix(). Как видите OpenGL берёт на себя матричные операции и выполняет их по специальным, быстрым алгоритмам с максимальной эффективностью. Например:

Перенос

Если аргумент больше 0, то объект при отображении будет смещён в сторону положительных значений вдоль оси. Если аргумент меньше 0, то объект при отображении будет смещён в сторону отрицательных значений вдоль оси.

Масштабированиe

Осуществляется с использованием функции, которая имеет следующий прототип:

Если аргумент больше 1, то объект при отображении будет увеличенным. Если аргумент меньше 1, то объект при отображении будет уменьшенным. Если аргумент отрицательный, то объект при отображении будет ещё и отраженным. Нулевое значение аргумента допускается, но будет приводить ктому, что размеры объекта будут нулевыми.

Поворот

Осуществляется с использованием функции, которая имеет следующий прототип:

void glRotated(double angle, double x, double y, double z); glRotated(30.,0.,0.,1.); //Поворот вокруг z glBegin(GL_LINE_LOOP); //Установка вершин glVertex2d(-2., 2.); glVertex2d(2., 2.); glVertex2d(2., -2.); glVertex2d(-2., -2.); glEnd();

Первый аргумент определяет угол поворота, а остальные три -- координаты вектора, вокруг которого осуществляется вращение.

Стек матриц

Полезным механизмом при построении сложных изображений является стек матриц. С использованием функций glPushMatrix() и glPopMatrix() можно запомнить текущую матрицу в стеке и восстановить ее после каких либо изменений в системе координат.

Дисплейные списки

Интересным и очень эффективным механизмом при создании сцены являются списки. Это механизм, который позволяет запоминать последовательности команд OpenGL и выполнять их снова. Это может существенно повысить эффективность визуализации большого количества одинаковых объектов.

Каждый дисплейный список должен иметь идентификатор. Это может быть произвольное целое число, которое вы можете назначить сами. Во избежание конфликтов идентификаторов списков библиотека OpenGL рекомендует воспользоваться функцией

GLuint glGenLists(GLsizei range);

которая находит свободный идентификатор и возвращает его. В качестве аргумента функции указывается количество, следующих подряд, списков, для которых следует получить идентификаторы. Если свободных идентификаторов не осталось, то функция возвращает ноль.

Для того, чтобы начать формировать список, необходимо вызвать функцию

void glNewList (GLuint list, GLenum mode);

Первый аргумент задает идентификатор формируемого списка, а второй определяет будет ли список только сформирован (GL_COMPILE) или сразу же и отображен (GL_COMPILE_AND_EXECUTE). Далее могут следовать команды OpenGL которые требуется сохранить в списке. Не все команды могут быть в него включены.

Формирование списка заканчивается функцией:

void glEndList (void);

После формирования дисплейные списки сохраняются во внутренней структуре данных OpenGL-окна и будут удалены, когда окно будет закрыто или разрушено.

Для выполнения дисплейного списка используется команда:

void glCallList (GLuint list);

которая в качестве аргумента принимает идентификатор списка.

Вызов функции glCallList() можно осуществить в любом мемте программы, когда требуется выполнение сохраненных в списке команд.

Рассмотрим пример:

void Draw(void) { //Очистка цветового буфера glColor3d(1.0, 1.0, 0.0); glBegin(GL_LINES); glVertex2d(-50., .0); glVertex2d(50., .0); For(int i=-50; i<50; i++) { glVertex2d(i, .0); if(i % 5) { glVertex2d(i, -1.); } else if(i % 10) { glVertex2d(i, -2.); } else { glVertex2d(i, -3.); } } glEnd(); glBegin(GL_LINES); glVertex2d(.0, -50.); glVertex2d(.0, 50.); for(int j=-50; j<50; j++) { glVertex2d(.0, j); if(j % 5) { glVertex2d(-1., j); } else if(j % 10) { glVertex2d(-2., j); } else { glVertex2d(-3., j); } } glEnd(); //Завершить выполнение команд glFlush(); }

void Draw(void) { //Очистка цветового буфера glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); //Установка цвета отображения glColor3d(1.0, 1.0, 0.0); //Формирование оси int axis = glGenLists(1); if (axis != 0) { glNewList(axis, GL_COMPILE); glBegin(GL_LINES); glVertex2d(0., .0); glVertex2d(100., .0); For(int i=0.; i<97; i++) { glVertex2d(i, .0); if(i % 5) { glVertex2d(i, 1.); } else if(i % 10) { glVertex2d(i, 2.); } else { glVertex2d(i, 3.); } } glEnd(); //Формирование стрелки можно добавить позже glBegin(GL_LINE_STRIP); glVertex2d(97., 1.); glVertex2d(100.,.0); glVertex2d(97., -1.); glEnd(); glEndList(); } //Рисование горизонтальной оси glPushMatrix(); glTranslated(-50.,0.,0.); glRotated(180.,1.,0.,0.); glCallList(axis); glPopMatrix(); //Рисование вертикальной оси glPushMatrix(); glTranslated(0.,-50.,0.); glRotated(90.,0.,0.,1.); glCallList(axis); glPopMatrix(); //Завершить выполнение команд glFlush(); }

Движок не перемещает корабль. Корабль остается на месте, а движок перемещает вселенную относительно его.

Это очень важная часть уроков, убедитесь что прочитали ее несколько раз и хорошо поняли.

Однородные координаты

До текущего момента мы оперировали 3х-мерными вершинами как (x, y, z) триплетами. Введем еще один параметр w и будем оперировать векторами вида (x, y, z, w).

Запомните навсегда, что:

• Если w == 1, то вектор (x, y, z, 1) - это позиция в пространстве.
• Если же w == 0, то вектор (x, y, z, 0) - это направление.

Что это дает нам? Ок, для поворота это ничего не меняет, так как и в случае поворота точки и в случае поворота вектора направления вы получаете один и тот же результат. Однако в случае переноса есть разница. Перенос вектора направления даст тот же самый вектор. Подробнее об этом остановимся позднее.

Однородные координаты позволяют нам с помощью одной математической формулы оперировать векторами в обоих случаях.

Матрицы трансформаций

Введение в матрицы

Проще всего представить матрицу, как массив чисел, со строго определенным количеством строк и столбцов. К примеру, матрица 2x3 выглядит так:

Однако в трехмерной графике мы будем использовать только матрицы 4x4, которые позволят нам трансформировать наши вершины (x, y, z, w). Трансформированная вершина является результатом умножения матрицы на саму вершину:

Матрица x Вершина (именно в этом порядке!!) = Трансформир. вершина

Довольно просто. Мы будем использовать это довольно часто, так что имеет смысл поручить это компьютеру:

В C++, используя GLM:

glm :: mat4 myMatrix ; glm :: vec4 myVector ; glm :: // Обратите внимание на порядок! Он важен!

В GLSL:

mat4 myMatrix ; vec4 myVector ; // Не забудьте тут заполнить матрицу и вектор необходимыми значениями vec4 transformedVector = myMatrix * myVector ; // Да, это очень похоже на GLM:)

Попробуйте поэкспериментировать с этими фрагментами.

Матрица переноса

Матрица переноса выглядит так:

где X, Y, Z - это значения, которые мы хотим добавить к нашему вектору.

Значит, если мы захотим перенести вектор (10, 10, 10, 1) на 10 юнитов в направлении X, то мы получим:

… получим (20, 10, 10, 1) однородный вектор! Не забывайте, что 1 в параметре w, означает позицию, а не направление и наша трансформация не изменила того, что мы работаем с позицией.

Теперь посмотрим, что случится, если вектор (0, 0, -1, 0) представляет собой направление:

… и получаем наш оригинальный вектор (0, 0, -1, 0). Как было сказано раньше, вектор с параметром w = 0 нельзя перенести.

И самое время перенести это в код.

В C++, с GLM:

#include // после glm :: mat4 myMatrix = glm :: translate (glm :: mat4 (), glm :: vec3 (10.0 f , 0.0 f , 0.0 f )); glm :: vec4 myVector (10.0 f , 10.0 f , 10.0 f , 0.0 f ); glm :: vec4 transformedVector = myMatrix * myVector ;

В GLSL:

vec4 transformedVector = myMatrix * myVector ;

По факту, вы никогда не будете делать это в шейдере, чаще всего вы будете выполнять glm::translate() в C++, чтобы вычислить матрицу, передать ее в GLSL, а уже в шейдере выполнить умножение

Единичная матрица

Это специальная матрица, которая не делает ничего, но мы затрагиваем ее, так как важно помнить, что A умноженное на 1.0 дает A:

В C++ :

glm :: mat4 myIdentityMatrix = glm :: mat4 (1.0 f );

Матрица масштабирования

Выглядит также просто:

Значит, если вы хотите применить масштабирование вектора (позицию или направление - это не важно) на 2.0 во всех направлениях, то вам необходимо:

Обратите внимание, что w не меняется, а также обратите внимание на то, что единичная матрица - это частный случай матрицы масштабирования с коэффициентом масштаба равным 1 по всем осям. Также единичная матрица - это частный случай матрицы переноса, где (X, Y, Z) = (0, 0, 0) соответственно.

В C++ :

// добавьте #include и #include glm :: mat4 myScalingMatrix = glm :: scale (2.0 f , 2.0 f , 2.0 f );

Матрица поворота

Сложнее чем рассмотренные ранее. Мы опустим здесь детали, так как вам не обязательно знать это точно для ежедневного использования. Для получения более подробной информации можете перейти по ссылке Matrices and Quaternions FAQ (довольно популярный ресурс и возможно там доступен ваш язык)

В C++ :

// добавьте #include и #include glm :: vec3 myRotationAxis ( ?? , ?? , ?? ); glm :: rotate ( angle_in_degrees , myRotationAxis );

Собираем трансформации вместе

Итак, теперь мы умеем поворачивать, переносить и масштабировать наши векторы. Следующий шагом было бы неплохо объединить трансформации, что реализуется по следующей формуле:

TransformedVector = TranslationMatrix * RotationMatrix * ScaleMatrix * OriginalVector ;

ВНИМАНИЕ! Эта формула на самом деле показывает, что сначала выполняется масштабирование, потом поворот и только в самую последнюю очередь выполняется перенос. Именно так работает перемножение матриц.

Обязательно запомните в каком порядке все это выполняется, потому что порядок действительно важен, в конце концов вы можете сами это проверить:

• Сделайте шаг вперед и повернитесь влево
• Повернитесь влево и сделайте шаг вперед

Разницу действительно важно понимать, так как вы постоянно будете с этим сталкиваться. К примеру, когда вы будете работать с игровыми персонажами или какими-то объектами, то всегда сначала выполняйте масштабирование, потом поворот и только потом перенос.

На самом деле, приведенный выше порядок - это то, что вам обычно нужно для игровых персонажей и других предметов: сначала масштабируйте его, если это необходимо; затем установливаете его направление, а затем перемещаете его. Например, для модели судна (повороты удалены для упрощения):

• Неправильный путь:
  • Вы переносите корабль на (10, 0, 0). Его центр теперь находится в 10 единицах от начала координат.
  • Вы масштабируете свой корабль в 2 раза. Каждая координата умножается на 2 “относительно исходной”, что далеко… Итак, вы попадаете в большой корабль, но его центр 2 * 10 = 20. Не то, что вы хотели.
• Правильный путь:
  • Вы масштабируете свой корабль в 2 раза. Вы получаете большой корабль, с центром в начале координат.
  • Вы переносите свой корабль. Он по прежнему того же размера и на правильном расстоянии.

В C++, с GLM:

glm :: mat4 myModelMatrix = myTranslationMatrix * myRotationMatrix * myScaleMatrix ; glm :: vec4 myTransformedVector = myModelMatrix * myOriginalVector ;

В GLSL:

mat4 transform = mat2 * mat1 ; vec4 out_vec = transform * in_vec ;

Мировая, видовая и проекционная матрицы

До конца этого урока мы будем полагать, что знаем как отображать любимую 3D модель из Blender - обезьянку Suzanne.

Мировая, видовая и проекционная матрицы - это удобный инструмент для разделения трансформаций.

Мировая матрица

Эта модель, также, как и наш красный треугольник задается множеством вершин, координаты которых заданы относительно центра объекта, т. е. вершина с координатами (0, 0, 0) будет находиться в центре объекта.

Далее мы бы хотели перемещать нашу модель, так как игрок управляет ей с помощью клавиатуры и мышки. Все, что мы делаем - это применяем масштабирование, потом поворот и перенос. Эти действия выполняются для каждой вершины, в каждом кадре (выполняются в GLSL, а не в C++!) и тем самым наша модель перемещается на экране.

Теперь наши вершины в мировом пространстве. Это показывает черная стрелка на рисунке. Мы перешли из пространства объекта (все вершины заданы относительно центра объекта) к мировому пространству (все вершины заданы относительно центра мира).

Схематично это показывается так:

Видовая матрица

Еще раз процитируем Футураму:

Движок не перемещает корабль. Корабль остается на том же месте, а движок перемещает вселенную вокруг него.

Попробуйте представить это применительно к камере. Например, если вы хотите сфотографировать гору, то вы не перемещаете камеру, а перемещаете гору. Это не возможно в реальной жизни, но это невероятно просто в компьютерной графике.

Итак, изначально ваша камера находится в центре мировой системы координат. Чтобы переместить мир вам необходимо ввести еще одну матрицу. Допустим, что вы хотите переместить камеру на 3 юнита ВПРАВО (+X), что будет эквивалентом перемещения всего мира на 3 юнита ВЛЕВО (-X). В коде это выглядит так:

// Добавьте #include и #include glm :: mat4 ViewMatrix = glm :: translate (glm :: mat4 (), glm :: vec3 (- 3.0 f , 0.0 f , 0.0 f ));

Опять же, изображение ниже полностью показывает это. Мы перешли из мировой системы координат (все вершины заданы относительно центра мировой системы) к системе координат камеры (все вершины заданы относительно камеры):

И пока ваш мозг переваривает это, мы посмотрим на функцию, которую предоставляет нам GLM, а точнее на glm::LookAt:

glm :: mat4 CameraMatrix = glm :: LookAt ( cameraPosition , // Позиция камеры в мировом пространстве cameraTarget , // Указывает куда вы смотрите в мировом пространстве upVector // Вектор, указывающий направление вверх. Обычно (0, 1, 0) );

А вот диаграмма, которая показывает то, что мы делаем:

Однако это еще не конец.

Проекционная матрица

Итак, теперь мы находимся в пространстве камеры. Это означает, что вершина, которая получит координаты x == 0 и y == 0 будет отображаться по центру экрана. Однако, при отображении объекта огромную роль играет также дистанция до камеры (z). Для двух вершин, с одинаковыми x и y, вершина имеющая большее значение по z будет отображаться ближе, чем другая.

Это называется перспективной проекцией:

И к счастью для нас, матрица 4х4 может выполнить эту проекцию :

// Создает действительно трудночитаемую матрицу, но, тем не менее это стандартная матрица 4x4 glm :: mat4 projectionMatrix = glm :: perspective ( glm :: radians (FoV ), // Вертикальное поле зрения в радианах. Обычно между 90° (очень широкое) и 30° (узкое) 4.0 f / 3.0 f , // Отношение сторон. Зависит от размеров вашего окна. Заметьте, что 4/3 == 800/600 == 1280/960 0.1 f , // Ближняя плоскость отсечения. Должна быть больше 0. 100.0 f // Дальняя плоскость отсечения. );

Мы перешли из Пространства Камеры (все вершины заданы относительно камеры) в Однородное пространство (все вершины находятся в небольшом кубе. Все, что находится внутри куба - выводится на экран).

Теперь посмотрим на следующие изображения, чтобы вы могли лучше понять что же происходит с проекцией. До проецирования мы имеем синие объекты в пространстве камеры, в то время как красная фигура показывает обзор камеры, т. е. все то, что видит камера.

Применение Проекционной матрицы дает следующий эффект:

На этом изображении обзор камеры представляет собой куб и все объекты деформируются. Объекты, которые находятся ближе к камере отображаются большими, а те, которые дальше - маленькими. Прямо как в реальности!

Вот так это будет выглядеть:

Изображение является квадратным, поэтому следующие математические трансформации применяются, чтобы растянуть изображение согласно актуальным размерам окна:

И это изображение является тем, что на самом деле будет выведено.

Объединяем трансформации: матрица ModelViewProjection

… Просто стандартные матричные преобразования, которые вы уже полюбили!

// C++ : вычисление матрицы glm :: mat4 MVPmatrix = projection * view * model ; // Запомните! В обратном порядке!

// GLSL: применение матрицы transformed_vertex = MVP * in_vertex ;

Совмещаем все вместе

• Первый шаг - создание нашей MVP матрицы. Это должно быть сделано для каждой модели, которую вы отображаете.

// Проекционная матрица: 45° поле обзора, 4:3 соотношение сторон, диапазон: 0.1 юнит <-> 100 юнитов glm :: mat4 Projection = glm :: perspective (glm :: radians (45.0 f ), 4.0 f / 3.0 f , 0.1 f , 100.0 f ); // Или, для ортокамеры glm :: mat4 View = glm :: lookAt ( glm :: vec3 (4 , 3 , 3 ), // Камера находится в мировых координатах (4,3,3) glm :: vec3 (0 , 0 , 0 ), // И направлена в начало координат glm :: vec3 (0 , 1 , 0 ) // "Голова" находится сверху ); // Матрица модели: единичная матрица (Модель находится в начале координат) glm :: mat4 Model = glm :: mat4 (1.0 f ); // Индивидуально для каждой модели // Итоговая матрица ModelViewProjection, которая является результатом перемножения наших трех матриц glm :: mat4 MVP = Projection * View * Model ; // Помните, что умножение матрицы производиться в обратном порядке

• Второй шаг - передать это в GLSL:

// Получить хэндл переменной в шейдере // Только один раз во время инициализации. GLuint MatrixID = glGetUniformLocation (programID , "MVP" ); // Передать наши трансформации в текущий шейдер // Это делается в основном цикле, поскольку каждая модель будет иметь другую MVP-матрицу (как минимум часть M) glUniformMatrix4fv (MatrixID , 1 , GL_FALSE , & MVP [ 0 ][ 0 ]);

• Третий шаг - используем полученные данные в GLSL, чтобы трансформировать наши вершины.

// Входные данные вершин, разные для всех исполнений этого шейдера. layout (location = 0 ) in vec3 vertexPosition_modelspace ; // Значения, которые остаются постоянными для всей сетки. uniform mat4 MVP ; void main (){ // Выходная позиция нашей вершины: MVP * position gl_Position = MVP * vec4 (vertexPosition_modelspace , 1 ); }

• Готово! Теперь у нас есть такой же треугольник как и в Уроке 2, все так же находящийся в начале координат (0, 0, 0), но теперь мы его видим в перспективе из точки (4, 3, 3).

В Уроке 6 вы научитесь изменять эти значения динамически, используя клавиатуру и мышь, чтобы создать камеру, которую вы привыкли видеть в играх. Но для начала мы узнаем как придать нашем моделям цвета (Урок 4) и текстуры (Урок 5).

Задания

• Попробуйте поменять значения glm::perspective
• Вместо использования перспективной проекции попробуйте использовать ортогональную (glm:ortho)
• Измените ModelMatrix для перемещения, поворота и масштабирования треугольника
• Используйте предыдущее задание, но с разным порядком операций. Обратите внимание на результат.