Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл, который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=ц(t), откуда dx=ц"(t)dt.
Теорема. Пусть функция x=ц(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х - множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) - две дифференцируемые функции переменной х. Тогда:
d(uv)=udv+vdu. - (3)
Интегрируя обе части равенства (3), получаем:
Но так как, то:
Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.
В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.
Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.
I. Интегралы вида, (P n (x) - многочлен степени n, k - некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=P n (x) и применить формулу (4) n раз.
II. Интегралы вида, (Pn(x) - многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при P n (x).
Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.
С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.
Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.
Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .
Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .
Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx
равен произведению производной x
по t
на дифференциал dt
.
Тогда
.
На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x)
.
Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x)
- это производная t
по x
,
то
.
Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1)
,
где x
- это функция от t
.
(2)
,
где t
- это функция от x
.
В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.
В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.
Здесь x
можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.
В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x
,
дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.
В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.
Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2)
. Положим t = x 2
+ x
.
Тогда
;
;
.
1)
Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin
x)′ = cos
x
.
Тогда
.
Здесь мы применили подстановку t = sin
x
.
2)
Вычислим интеграл
.
Замечаем, что .
Тогда
.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg
x
.
3)
Проинтегрируем
.
Замечаем, что .
Тогда
.
Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1
.
Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b
,
где a
и b
- постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.
A)
Вычислить интеграл
.
Решение.
.
B)
Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции .
.
ln 2
- это постоянная. Вычисляем интеграл.
.
C)
Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.
.
D)
Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.
.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .
.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом , где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.
Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:
– Подведение функции под знак дифференциала
;
– Собственно замена переменной
.
По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.
Начнем с более простого случая.
На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений
мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:
То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.
Пример 1
Выполнить проверку.
Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?
Подводим функцию под знак дифференциала:
Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:
Фактически и – это запись одного и того же.
Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?
Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ
( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ
.
Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:
Теперь можно пользоваться табличной формулой :
Готово
Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .
Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и
– это два взаимно обратных правила
.
Пример 2
Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .
Подводим функцию под знак дифференциала:
Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :
Проверка:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Пример 4
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:
В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:
Строго говоря, решение должно выглядеть так:
Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.
Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой
.
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от
.
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.
Так как , то
После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :
В итоге:
Таким образом:
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .
Готово.
Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:
“
Проведем замену:
“
Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.
При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.
Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.
А теперь самое время вспомнить первый способ решения:
В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче .
Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл.
Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)
Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .
Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:
Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .
Пример 7
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл.
Замена:
Осталось выяснить, во что превратится
Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !
Пример 9
Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Пример 10
Найти неопределенный интеграл.
Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.
Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)
В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.
В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.
А способы приведения интегралов к табличным мы Вам перечислили:
метод замены переменной;
метод интегирования по частям;
Метод непосредственного интегрирования
способы представления неопределенных интегралов через табличные для интегралов от рациональных дробей;
методы представления неопределенных интегралов через табличные интегралы для интегралов от иррациональных выражений;
способы выражения неопределенных интегралов через табличные для интегралов от тригонометрических функций.
Неопределенный интеграл степенной функции
Неопределенный интеграл експоненты показательной функции
А вот неопределенный интеграл логарифма не является табличным интегралом, вместо него табличной является формула:
Неопределенные интегралы тригонометрических функций: Интегралы синуса косинуса и тангенса
Неопределенные интегралы с обратными тригонометрическими функциями
Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования . С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.
Пример
Задание. Найти интеграл
Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.
Ответ.
Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:
– Подведение функции под знак дифференциала. – Собственно замена переменной.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .
Подводим
функцию под
знак дифференциала:
Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на . Далее используем табличную формулу :
Проверка:
Получена
исходная подынтегральная функция,
значит, интеграл найден правильно.
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
В
качестве примера я взял интеграл, который
мы рассматривали в самом начале урока.
Как мы уже говорили, для решения
интеграла нам приглянулась табличная
формула ,
и всё дело хотелось бы свести к ней.
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой. В данном случае напрашивается: Вторая по популярности буква для замены – это буква . В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
Итак:
Но
при замене у нас остаётся !
Наверное, многие догадались, что если
осуществляется переход к новой
переменной ,
то в новом интеграле всё должно быть
выражено через букву ,
и дифференциалу там
совсем не место.
Следует логичный
вывод, что нужно превратить
в некоторое выражение, которое зависит
только от
.
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.
Так как , то
После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :
В
итоге:
Таким
образом:
А
это уже самый что ни на есть табличный
интеграл
(таблица,
интегралов, естественно, справедлива
и для переменной ).
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .
Готово.
Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:
“
Проведем
замену:
“
Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.
При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.
Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.
А
теперь самое время вспомнить первый
способ решения:
В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче. Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл.
Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:
Прерываем решение на промежуточные объяснения.
Используем
формулу интегрирования по частям:
Формула применяется слева направо
Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .
В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:
То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Следующий этап: находим дифференциал :
Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.
Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрироватьправую часть нижнего равенства :
Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: . Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.