Решение оптимизационных задач управления методом линейного программирования. II

08.05.2019

Определение . Любое решение системы ограничений называется допустимым решением ЗЛП.
Определение . Допустимое решение, в котором целевая функция достигает максимального или минимального значения, называется оптимальным решением.

В силу этих определений задача ЛП может быть сформулирована следующим образом: среди всех точек выпуклой области, являющейся решением системы ограничений, выбрать такую, координаты которой минимизируют (максимизируют) линейную функцию F = с 1 x + с 2 y .
Заметим, что переменные x , y в ЗЛП принимают, как правило, неотрицательные значения (x ≥ 0, y ≥ 0), поэтому область расположена в I четверти координатной плоскости.

Рассмотрим линейную функцию F = с 1 x + с 2 y и зафиксируем какое-нибудь ее значение F . Пусть, к примеру, F = 0, т.е. с 1 x + с 2 y = 0. Графиком этого уравнения будет прямая, проходящая через начало координат (0;0) (рис.).
Рисунок
При изменении этого фиксированного значения F = d , прямая с 1 x + с 2 y = d будет смещаться параллельно и «зачертит» всю плоскость. Пусть D – многоугольник – область решения системы ограничений. При изменении d прямая с 1 x + с 2 y = d , при некотором значении d = d 1 достигнет многоугольника D , назовем эту точку А «точкой входа», и затем, пройдя многоугольник, при некотором значении d = d 2 будем иметь с ним последнюю общую точку В , назовем В «точкой выхода».
Очевидно, что своего наименьшего и наибольшего значения целевая функция F =с 1 x + с 2 y достигнет в точках «входа» А и «выхода» В .
Учитывая, что оптимальное значение на множестве допустимых решений целевая функция принимает в вершинах области D , можно предложить следующий план решения ЗЛП:

  1. построить область решений системы ограничений;
  2. построить прямую, соответствующую целевой функции, и параллельным переносом этой прямой найти точку «входа» или «выхода» (в зависимости от требования минимизировать или максимизировать целевую функцию);
  3. определить координаты этой точки, вычислить в них значение целевой функции.
Заметим, что вектор (с 1 , с 2), перпендикулярный прямой, показывает направление роста целевой функции.

При графическом решении ЗЛП возможны два случая, которые требуют особого обсуждения.

Случай 1
Рисунок 6
При перемещении прямой с 1 x + с 2 y = d «вход» или «выход» (как на рисунке) произойдет по стороне многоугольника. Это случится, если в многоугольнике есть стороны, параллельные прямой с 1 х + с 2 у = d .
В этом случае точек «выхода» (« входа») бесчисленное множество, а именно – любая точка отрезка АВ . Это означает, что целевая функция принимает максимальное(минимальное) значение не в одной точке, а во всех точках, лежащих на соответствующей стороне многоугольника D .

Случай 2
Рассмотрим случай, когда область допустимых значений неограниченна.
В случае неограниченной области целевая функция может быть задана таким образом, что соответствующая ей прямая не имеет точки «выхода» (или «входа»). Тогда максимальное значение функции (минимальное) не достигается никогда – говорят, что функция не ограничена.
Рисунок
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 4x + 6y → max , при системе ограничений
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.
x + y = 18


x
12
9

y
6
9

0,5x + y = 12


x
12
18

y
6
3

x = 12 – параллельна оси OY ;
y = 9 – параллельна оси OX ;
x = 0 – ось OY ;
y = 0 – ось OX ;
x ≥ 0 – полуплоскость правее оси OY ;
y ≥ 0 – полуплоскость выше оси OX ;
y ≤ 9 – полуплоскость ниже y = 9;
x ≤ 12 – полуплоскость левее x = 12;
0,5x + y ≤ 12 – полуплоскость ниже прямой 0,5x + y = 12;
x + y ≤ 18 – полуплоскость ниже прямой x + y = 18.
Рисунок
Пересечением всех этих полуплоскостей является очевидно, пятиугольник ОАВСД , с вершинами в точках О (0; 0), А (0; 9), В (6; 9), С (12; 6), Д (12; 0). Этот пятиугольник и образует область допустимых решений задачи.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x + 6y → max.


x
3
0

y
–2
0

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: 4x + 6y = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Из всего семейства прямых 4x + 6y = const последней вершиной, через которую пройдет прямая при выходе за границу многоугольника, будет вершина С (12; 6). Именно в ней F = 4x + 6y достигнет своего максимального значения.
Значит, при x = 12, y = 6 функция F достигает своего максимального значения F = 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, равного 84. Точка с координатами (12; 6) удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений, и в ней значение целевой функции оптимально F * = 84 (оптимальное значение будем обозначать «*»).
Задача решена. Итак, необходимо выпустить 12 изделий I вида и 6 изделий II вида, при этом прибыль составит 84 тыс. руб.

Графический метод применяется для решения задач, которые имели в системе ограничений только две переменные. Этот метод может применяться и для систем неравенств, имеющих три переменных. Геометрически ситуация будет иная, роль прямых будут играть плоскости в трехмерном пространстве, а решением неравенства от трех переменных будет являться полупространство, находящееся по одну сторону от плоскости. Роль областей будут играть многогранники, являющиеся пересечением полупространств.

Cтраница 2


Из таблицы видно, что для сравнительно близких оптимальных значений целевой функции (f (z) (при отклонениях порядка 1 %) количество изделий, подлежащих выпуску по этим оптимальным планам, по отдельным наименованиям колеблется в пределах нескольких сотен. Таким образом, эта задача является неустойчивой.  

В результате решения задачи линейного программирования находят оптимальное значение целевой функции (желательное сочетание изделий - максимальный доход), а также соответствующие этому оптимальному решению значения переменных: основных х - типы изделий; дополнительных zt - резервы по ограниченным ресурсам; двойственных Уг - мера дефицитности ресурсов; дополнительных двойственных У - - какую продукцию целесообразно включить в оптимальный план.  

Если множество решений является непустым, то оптимальное значение целевой функции может быть либо конечным, либо неограниченно большим. В случае когда оптимальное значение целевой функции конечно, оно соответствует экстремальной точке.  

Поскольку пространство решений может быть неограниченным, оптимальное значение целевой функции может также оказаться бесконечно большим.  

Все ограничения удовлетворяются, если и только если оптимальное значение целевой функции выпуклой задачи равно нулю. В противном случае минимальное значение явля-ется неограниченным, и должен быть найден крайний луч, с помощью которого строится нарушенное ограничение.  

На любой итерации t известна нижняя оценка х оптимального значения целевой функции. Значение х можно выбрать точно так же. Кроме того, имеется основной список задач, в котором каждой задаче соответствует определенное частичное решение.  

Теперь можно найти то решение, которое соответствует оптимальному значению целевой функции.  

В начале любой итерации t известна верхняя оценка х оптимального значения целевой функции. Значение х определяется общепринятым способом. Кроме того, задан основной список задач, содержащий некоторое подмножество Xij 1, определяющее частичный цикл, и подмножество значений с - -, принятых в результате пересмотра равными оо. Для вычисления нижней оценки оптимального значения целевой функции, соответствующей циклу, который является дополнением частичного цикла, можно применить тот же метод, что и в алгоритме задания маршрутов. С другой стороны, можно определять оптимальное решение задачи о назначениях, включив в эту задачу коэффициенты с -, принадлежащие строкам и столбцам, не связанным с подмножеством xti 1, которые входят в частичный цикл.  

В таких случаях существует бесконечно много планов, отвечающих оптимальному значению целевой функции. В многомерном случае говорят, что гиперплоскость постоянной прибыли параллельна гиперплоскости - границе одного из ресурсов.  

Теорема 4.1. Последовательность Q (Xh) сходится к оптимальному значению целевой функции детерминированной задачи, эквивалентной двухэтапной стохастической задаче линейного программирования. Последовательность лг / J содержит сходящуюся подпоследовательность. Каждая сходящаяся подпоследовательность из Xh сходится к оптимальному предварительному плану х двухэташюй стохастической задачи.  


Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.  

В начале любой итерации t известна верхняя оценка х а оптимального значения целевой функции.  

В заключительной части настоящего раздела обсуждается вопрос о приближенных методах оценки оптимальных значений целевой функции при различных предположениях относительно структуры стохастической модели. В следующем разделе рассматривается другая формулировка двухшаговой стохастической задачи линейного программирования, допускающая переход к стандартной модели линейного программирования с сохранением размерности.  

Действительно, согласно (VI5), значение двойственной функции всегда меньше оптимального значения целевой функции. Отсюда расчет двойственной функции при любых значениях множителей Лагранжа дает нижнюю оценку данного варианта ветвления.  

    Для нахождения максимума целевой функции используйте функцию maximize, формат которой следующий maximize(<функция>, <система ограничений>, <опции>);

При этом условие неотрицательности переменных удобно указать опцией NONNEGATIVE.

> optimum:=maximize(f,syst_ogr,NONNEGATIVE);

    Используйте команду subs, которая позволяет подставить значения переменных x 1 и x 2 в функцию f .

> fmax:=subs(x1=83/17,x2=19/17,f);

    Примените функцию evalf для представления ответа в форме действительного числа с 4 значащими цифрами.

> fmax:=evalf(fmax,4);

Ознакомиться с вариантом решения задачи ЛП без пояснений можно в приложении.

Решение оптимизационных задач в специализированном пакете SimplexWin. Http://www.Simplexwin.Narod.Ru/

Данная программа предназначена для решения задач линейного программирования симплекс методом.

Задача . Найти значения переменных x 1 и x 2 , при которых

при ограничениях

Порядок выполнения работы :

    Запустите программу SimplexWin и установите требуемый размер матрицы ограничений, выбрав в меню команду Настройки – Размер матрицы (рис. 13).

Рис. 13 . Определение размера матрицы.

    Введите данные (рис. 14). Если задача вводится не в канонической форме, то дополнительные переменные и искусственные базисы (а также соответствующие им коэффициенты целевой функции) добавляются автоматически.

Рис.14 . Ввод данных.

II. Нахождение оптимального плана и оптимального значения целевой функции.


Рис. 15 . Форма Результаты.

    В форме Результаты нажмите кнопку Результат, которая позволяет произвести решение задачи в автоматическом режиме и отобразить на экране последнюю симплексную таблицу и результат (рис. 16).

Рис. 16 . Решение задачи.

Решение оптимизационных задач в Excel

Рассмотрим пример нахождения для следующей задачи линейного программирования.

Задача . Найти значения переменных x 1 и x 2 , при которых

при ограничениях

Порядок выполнения работы :

I. Оформление исходных данных.

    Создайте экранную форму для ввода условий задачи (переменных, целевой функции, ограничений) и введите в нее исходные данные (коэффициенты целевой функции, коэффициенты при переменных в ограничениях, правые части ограничений) (рис. 17).

Рис. 17 . Экранная форма задачи (курсор в ячейке D6).

Замечание : В экранной форме на рис. 17 каждой переменной и каждому коэффициенту задачи поставлена в соответствие конкретная ячейка в Excel. Так, например, переменным задачи соответствуют ячейки B3 (), C3 (),коэффициентам целевой функции соответствуют ячейки B6 (
), C6 (
), правым частям ограничений соответствуют ячейки F10 (
), F11 (
),F12 (
)и т.д.

    Введите зависимости из математической модели в экранную форму, т.е. введите формулу для расчета целевой функции и формулу для расчета значений левых частей ограничений.

Согласно условию задачи значение целевой функции определяется выражением
. Используя обозначения соответствующих ячеек вExcel, формулу для расчета целевой функции можно записать как сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (B3, C3), на соответствующие ячейки, отведенные для коэффициентов целевой функции (B6, C6).

Для того чтобы задать формулу зависимости для целевой функции проделайте следующее :

– поставьте курсор в ячейку D6 ;

– вызовите окно Мастер функций – шаг 1 из 2 , нажав кнопку на стандартной панели инструментов;

– в окне Функция выберите функцию СУММПРОИЗВ ;

– в появившемся окне СУММПРОИЗВ в строку Массив 1 введите выражение B$3:C$3 , а в строку Массив 2 – выражение B6 :С6 ;

– нажмите кнопку OK .

Рис. 18 . Ввод формулы для расчета ЦФ в окне Мастер функций.

После ввода ячеек в строки Массив 1 и Массив 2 в окне СУММПРОИЗВ появятся числовые значения введенных массивов (рис. 18), а в экранной форме появится текущее значение, вычисленное по введенной формуле, то есть 0 (так как в момент ввода формулы значения переменных задачи нулевые) (рис. 19).

Замечание : Символ $ перед номером строки означает, что при копировании этой формулы в другие места листа Excel номер строки 3 не изменится. Символ : означает, что в формуле использованы все ячейки, расположенные между ячейками, указанными слева и справа от двоеточия.

Левые части ограничений задачи представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (B3, C3), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (B10, C10 – 1 ограничение; B11, C11 – 2 ограничение; B12, C12 – 3 ограничение).

Формулы, задающие левые части ограничений задачи, отличаются друг от друга и от формулы в целевой ячейке D6 только номером строки во втором массиве. Этот номер определяется той строкой, в которой ограничение записано в экранной форме. Поэтому для задания зависимостей для левых частей ограничении достаточно скопировать формулу из целевой ячейки в ячейки левых частей ограничений.

Для расчета значений левых частей ограничений выполните следующее:

– поставьте курсор в ячейку D6 и скопируйте в буфер содержимое ячейки (клавишами Ctrl+C);

– поставьте курсор поочередно в поля левой части каждого из ограничений, то есть D 10 ,D 11 , D 12 , и вставляйте в эти поля содержимое буфера (клавишами Ctrl+V) (при этом номер ячеек во втором массиве формулы будет меняться на номер той строки, в которую была произведена вставка из буфера).

После ввода на экране в полях D 10 ,D 11 , D 12 появится 0 (нулевое значение) (рис. 19).

Рис. 19 . Экранная форма задачи после вода

всех необходимых формул.

    Проверьте правильность введения формул.

Для этого:

– произведите поочередно двойное нажатие левой клавиши мыши на ячейки с формулами, при этом на экране рамкой будут выделяться ячейки, используемые в формуле (рис. 20 и рис. 21).

Рис. 20

формулы в целевую ячейку D6.

Рис. 20 . Проверка правильности введения

формулы в ячейку D10 для левой части ограничений.

    Задайте целевую функцию и введите ограничения в окне Поиск решения (рис. 21).

Для этого:

– поставьте курсор в ячейку D6 ;

– вызовите окно Поиск решения , выбрав на панели инструментов Данные – Поиск решения ;

– поставьте курсор в поле Установить целевую ячейку ;

– введите адрес целевой ячейки $D$6 или сделайте одно нажатие левой клавишей мыши на целевую ячейку в экранной форме, что будет равносильно вводу адреса с клавиатуры;

– укажите направление оптимизации целевой функции, щелкнув один раз левой клавишей мыши по селекторной кнопке максимальному значению ;

– в окне Поиск решений в поле Изменяя ячейки введите ячейки со значениями переменных $B$3:$C$3 , выделив их в экранной форме, удерживая левую кнопку мыши;

Рис. 21 . Окно Поиск решения.

– нажмите кнопку Добавить ;

– в соответствии с условием задачи выберите в поле знака необходимый знак, например, для 1 ограничения это знак ;

– в поле Ограничение введите адрес ячейки правой части, рассматриваемого ограничения, например $F$10 ;

– аналогичным образом установите соотношения между правыми и левыми частями других ограничений ($D$ 11$F$1 1 , $D$ 12$F$1 2) ;

– подтвердите ввод всех перечисленных условий нажатием кнопки OK (рис. 22 и рис. 23).

Рис. 22 . Добавления условия.

Замечание : Если при вводе условия задачи возникает необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений, то это можно сделать на жав на кнопки Изменить или Удалить .

Линейное программирование.

Краткие теоретические сведения

Постановка задач

Решение прямой задачи линейного программирования отвечает на следующий вопрос:

при каких интенсивностяхn процессов получения прибыли (оказании различных услуг, производственных процессов), в которых используютсяm видов ресурсов (факторов производства) с известными предельными интенсивностями использования этих ресурсов выручка от реализации (прибыль) будет максимальна в случае, когда интенсивность расхода каждого ресурса и интенсивность получения прибыли (выручки) в каждом из процессов линейно зависят от интенсивности этого процесса.

Решение двойственной к ней задачи отвечает на следующий вопрос:

при каких наименьших ценах на единицу ресурса экономическому агенту будет невыгодно дальнейшее расширение процесса получения прибыли за счёт приобретения новых объёмов дефицитных в сложившихся условиях экономической деятельности ресурсов.

Прямая задача линейного программирования может быть связана со следующей ситуацией. Имеются n способов получения прибыли (оказание n видов услуг) с объёмами x i (число штук i -й оказанных услуг) . При этом используются m видов ресурсов, запас j -го изкоторых равен b j . При этом расход каждого ресурса j и величина прибыли в каждом из процессов i линейно зависят от количества оказанных услуг i -го вида с коэффициентами a ji и c i , соответственно. Матрица А =(a ji ) m ´ n по смыслу аналогична такой же из первой части и также называется матрицей технологических, или структурных коэффициентов. Тогда оптимальный по критерию максимума получения прибыли план может быть получен из решения следующей прямой задачи линейного программирования:

Этой задаче можно поставить в соответствие расширенную матрицу следующего вида:

(4.1)

Двойственная к задаче (4) задача имеет следующий вид (z j – искомые предельные цены):

При такой формулировке двойственной задачи из условия минимизации цен вытекают (5.1) и (5.3), а из условия невыгодности продолжения деятельности прямо возникает условие превышения или равенства издержек над выручкой от реализации.

Основные понятия модели

Решение (план, программа)- набор, вектор конкретных значений всех переменных параметров управления модели – тех величин которые могут быть изменены по воле управляющего объектом моделирования. Решения бывают допустимые (реализуемые на практике), недопустимые (не реализуемые в силу существующих в модели ограничений) и оптимальные (лучшие из допустимых).

Целевая функция L(x) – математическое выражение, связывающее факторы (параметры) модели. Экономический смысл целевой функции отражает критерий оптимальности – показатель, имеющий экономическое содержание и служащий формализацией конкретной цели управления, например: максимизация прибыли (строка 1 в (4)), максимизация качества продукции или минимизация издержек (5.1).


Система ограничений модели – пределы, ограничивающие область допустимых (приемлемых, осуществимых) решений , фиксирующие основные внутренние и внешние свойства объекта, связанные с целью оптимизации. Уравнения связи (типа f j (x) )– математическая формализация системы ограничений (строки 2 и 3 в (4), (5.2 , 5.3)). Система ограничений отражает экономический смысл уравнений связи.

Система, состоящая из целевой функции и уравнений связи, -задача экономико- математического моделирования (ЭММ). В случае, когда целевая функция и уравнения связи линейны, а переменные управления меняются непрерывно, задача ЭММ называетсязадачей линейного программирования (ЛП) . Основное свойство множества допустимых планов (МДП) задачи ЛП - оно является выпуклым многогранником. Выпуклым называется множество, которому принадлежат все отрезки, соединяющие любые две точки этого множества. Если задача ЛП имеет решение, то оно находится в вершине МДП. Планы, находящиеся в вершинах МДП, называются базовыми. Задачи линейного программирования делятся на задачи с ограничениями в форме неравенств (общая задача ЛП) и в форме равенств (каноническая задача ЛП). При математической формализации экономических задач с помощью линейной модели получаются общие задачи ЛП – например, (4), (5). Любой общей задаче путём введения дополнительных переменных может быть сопоставлена каноническая задача. Так, задаче (4) путём введения в каждое неравенство типа “расход ресурса £ запас ресурса” (строка 2 в (4)) дополнительной переменной x n+j (неизрасходованный остаток j -го ресурса) сопоставляется следующая каноническая:

При этом размерность задачи (6) – число переменных плана - по сравнению с (4) увеличилась с n до n+m .

При решении задачи (4) важное значение имеют коэффициенты ресурсоотдачи, среди которых здесь будут использованы дифференциальные и приростные. Дифференциальный коэффициент ресурсоотдачи k ji показывает стоимость оказанных при использовании единицы j -го ресурса i –ых услуг. Те виды услуг, для которых все k ji оказываются наименьшими по всем видам услуг, являются наименее выгодными. Они не должны присутствовать в оптимальном плане. Это позволяет, путём принудительного обнуления объёмов оказания таких услуг снизить размерность задачи и, таким образом, упростить её решение. Вычисляются они следующим образом - k ji =c i /a ji .

приростной коэффициент ресурсоотдачи К j – это коэффициент пропорциональности между приращением значения целевой функции оптимального плана и вызвавшим это приращение изменением запасов j -го ресурса. Можно считать, что К j показывают, на сколько увеличится значение целевой функции исходной задачи в оптимальном плане при увеличении величины запаса j -го ресурса на единицу. С математической точки зрения является полной производной от оптимального значения целевой функции по величине запаса j -го ресурса: К j =dL opt /db j .

Целевая функция – это математическое представление зависимости критерия оптимальности от искомых переменных.

2. Градиент функции.

Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

называется градиентом функции , вычисленным в точке.

3. Общая задача линейного программирования.

Стандартная математическая формулировка общей задачи линейного программирования выглядит так: требуется найти экстремальное значение показателя эффективности (целевой функции)

(линейной функции элементов решения ) при линейных ограничительных условиях, накладываемых на элементы решения:

где - заданные числа.

4. Стандартная задача лп.

В стандартной форме задача линейного программирования является задачей на максимум (минимум) линейной целевой функции. Система ограничений ее состоит из одних линейных неравенств типа « <= » или « >= ». Все переменные задачи неотрицательны.

Всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в стандартной форме . Преобразование задачи на минимум в задачу на максимум, а также обеспечение не отрицательности переменных производится так же, как и раньше. Всякое равенство в системе ограничений равносильно системе взаимопротивоположных неравенств:

Существует и другие способы преобразования системы равенств в систему неравенств, т.е. всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в стандартной форме.

2 вариант ответа:

Стандартная задача ЛП. или, в матричной записи,где- матрица коэффициентов. Векторназывается вектором коэффициентов линейной формы,- вектором ограничений.

5. Каноническая задача лп.

В канонической форме задача является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F , ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи х 1 , х 2 , ..., х n являются неотрицательными:

К канонической форме можно преобразовать любую задачу линейного программирования.

Короткая запись канонической задачи ЛП:

Х=(х1, х2, …, хn), С=(с1, с2, …, сn).

2 вариант ответа:

Каноническая задача ЛП. или, в матричной записи,

6. Симметричные и несимметричные двойственные задачи.

Двойственная задача линейного программирования. Рассмотрим задачу ЛП (1) или, в матричной записи,(2) Задачей, двойственной к (1) (двойственной задачей), называется задача ЛП отпеременныхвида(3) или, в матричной записи,(4) где. Правила построения задачи (3) по форме записи задачи (1) таковы: в задаче (3)

переменных столько же, сколько строк в матрицезадачи (1). Матрица ограничений в (3) - транспортированная матрица. Вектор правой части ограничений в (3) служит вектором коэффициентов максимизируемой линейной форме в (1), при этом знаки неравенств меняются на равенство. Наоборот, в качестве целевой функции в (3) выступает линейная форма, коэффициентами которой задаются вектором правой части ограничений задачи (1), при этом максимизация меняется на минимизацию. На двойственные переменныенакладывается условие неотрицательности. Задача (1), в отличии от двойственной задачи (3) называется прямой.Теорема двойственности . Если взаимодвойственные задачи (2), (4) допустимы, то они обе имеют решение и одинаковое значение .

Симметричные двойственные задачи

Разновидностью двойственных задач линейного, программирования являются двойственные симметричные задачи, в которых система ограничений как исходной, так и двойственной задач задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.



Похожие статьи
Типы
  • Роутеры
  • Жесткие диски
  • Не включается
  • Принтеры
  • Тормозит
  • Зависает
  • Вирусы
  • Планшеты
Популярные статьи
Новые статьи