При обучении математике и физике в старших классах средней школы, а также в высших учебных заведениях постоянно приходится сталкиваться с понятием вектора . Учащиеся и студенты обязаны уметь проводить с векторами простейшие арифметические действия.

В статье будет показано, как умножать их на постоянные числа.

Основные понятия и определения

Чтобы в дальнейшем упростить работу со статьёй, введём некоторые формулировки и договорённости:

1. Постоянная - любое обычное число, которое может принимать определённые фиксированные значения, быть положительным, отрицательным или нулевым. Обозначать будем латинской буквой С (от греческого слова constanta, то есть постоянная).
2. Вектор - участок прямой, ограниченный двумя точками и имеющий заданное направление. Обозначать будем как (АВ). Причём точка, А является его началом, В - концом. Направление будем считать от точки, А к точке В. Допустима замена на (CD).
3. Вектора называются параллельными (коллинеарными), если они лежат на коллинеарных прямых или на одной прямой.
4. Нулевым вектором называется такой, у которого конец и начало совпадают. Называется нуль-вектор и обозначается (0).
5. Координатами (АВ) называются числа, равные его протяжённости относительно каждой из оси координат в Декартовой системе. Они находятся вычитанием из координат конца вектора координат его начала. Знак минус перед этим числом означает, что вектор направлен против направления данной оси.
6. Модулем (АВ) называется длина отрезка АВ.
7. Квадратный корень из числа или выражения условимся обозначать латинским буквосочетанием SQRT.
8. (АВ) с координатами (x; y; z) будем обозначать как (АВ) (x; y; z).

Рассмотрим, как умножить вектор на число:

Алгебраический и геометрический смысл действия

Любое математическое действие имеет некий смысл, причём в разных науках он различается. Рассмотрим, что нам даёт этот вид умножения:

1. Геометрический смысл : (АВ)*С - это вектор, коллинеарный данному, модуль которого отличается в С раз от исходного, направление может совпадать или меняться на противоположное в зависимости от знака постоянной.
2. Алгебраический смысл : (АВ) (x; y; z)*С - это новый (А1В1) с координатами равными (С*x; С*y; С*z).
3. Физический смысл : уменьшение или увеличение в С раз силы действующей на тело или материальную точку.

Формулы умножения

При умножении проще всего использовать заранее заученные на память формулы, которые вполне можно применять по шаблону, выполняя действия буквально на полном автомате:

• С*(АВ) (x; y; z) = (А1В1) (С*x; С*y; С*z).
• 0*(АВ) = (0).

Для начала возьмём физическую задачу воздействия силы на материальную точку. Пусть на неё действует сила, описываемая (АВ) (57;63;28). Как изменится эта сила по координатам при её десятикратном увеличении?

Прежде всего следует отметить, что направление воздействия силы не изменится, а сама сила возрастёт десятикратно. При раскладке по координатам получим следующее:

10*(АВ) (57;63;28) = (А1В1) (10*57;10*63;10*28) = (А1В1) (570;630;280).

Вторую задачу возьмём аналогичную: как изменится сила, действующая на материальное тело, описываемая (АВ) (46;59;-43) при её увеличении в -0,5 раза.

Прежде всего заметим, что знак у постоянной отрицательный, следовательно, направление самой силы изменится на противоположное. Воспользуемся пунктом 2 вышеизложенных правил умножения, тогда сразу станет понятно, что численное выражение силы уменьшится вдвое. Проведём вычисления по шаблону:

0,5*(АВ) (46;59;-43) = (А1В1) (-0,5*46;-0,5*59;-0,5*(-43)) = (А1В1) (-23;-29,5;21,5).

Следует заметить, что приведённые выше задачи решались для векторов, размещённых в пространстве и имеющих три координаты. В случае плоскостного размещения количество координат уменьшается до двух, а в случае линейного - до одной. Рассмотрим математические примеры для этих случаев:

• 33*(CD) (11;10) = (C1D1) (33*11;33*10) = (C1D1) (363;330).
• -0,2*(АВ) (-0,3;25) = (А1В1) (-0,2*(-0,3); -0,2*25) = (А1В1) (0,06; -5).
• 67*(CD) (2) = (C1D1) (67*2) = (C1D1) (134).
• 0*(АВ) (65;-87) = (0).

Возможные действия с векторами

Не следует думать, что все возможные действия ограничиваются умножениям на число. Прежде всего можно определить длину (АВ) - модуль. Он будет равняться SQRT из суммы квадратов координат. Поясним это на примере:

• модуль (АВ) (3;4) = SQRT (3 2 + 4 2) = SQRT (9 + 16) = SQRT25 = 5.

Кроме этого, из курса школьной математики и физики известно, что вектора можно слагать один с другим и вычитать друг из друга. При этом проводится сложение и вычитание соответствующих координат.

Наконец, высшая математика вводит понятия числового (скалярного) и векторного умножения двух векторов. В первом случае получится некое число, во втором - третий вектор, направленный перпендикулярно плоскости, содержащей два первых.

В данной статье приведены основы умножения вектора на число. Исходя из её материала, можно утверждать, что действие это простое и доступное любому школьнику с удовлетворительной успеваемостью. Рекомендуется изучить формулы и в своих вычислениях действовать по изложенному в тексте шаблону.

Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ - два вектора (рис.1, а).

Возьмем произвольную точку О и построим вектор $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ . Затем от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{OB}$, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго (рис.1, б), называется суммой этих векторов и обозначается $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ (правило треугольника ).

Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{b} $ (рис.1, в). Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор $\overrightarrow{ОВ}$, служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ {правило параллелограмма ). Из рисунка 1, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

Действительно, каждый из векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \,и\, = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$ равен одному и тому же вектору $\overrightarrow{OB}$ .

Пример 1. В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а)\,\ \overrightarrow{|АВ|} + \overrightarrow{|ВС|};\,\,\ б)\,\ |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}|$ .

Решение

а) Имеем: $|\overrightarrow{АВ}| = АВ,\,\,\ |\overrightarrow{ВС}| = ВС$ и, значит, $|\overrightarrow{АВ}| + |\overrightarrow{BC}| = 7$ .

б) Так как $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{АС} \,\,\,\, то\,\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = |\overrightarrow{АС}| = АС$ .

Теперь, применяя теорему Пифагора, находим $$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = 5. $$

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \,и\, \overrightarrow{c}$ (рис.2).

Построив сначала сумму векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , а затем прибавив к этой сумме вектор $\overrightarrow{c}$, получим вектор $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$ . На рисунке 2 $$ \overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}\,; \overrightarrow{АВ} = b\,; \overrightarrow{ОВ} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\,; \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} \\ и \\ \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} $$ Из рисунка 2 видно, что тот же вектор $\overrightarrow{ОС}$ мы получим, если к вектору $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ прибавим вектор $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ . Таким образом, $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ , т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов $\overrightarrow{a}\,\,\overrightarrow{b}\,\,\overrightarrow{c}$ записывают просто $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется третий вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ , сумма которого с вычитаемым вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$. Таким образом, если $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\,\, то\, \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$ .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).

Откладываем векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ из общей точки О. Вектор $\overrightarrow{BA}$ , соединяющий концы уменьшаемого вектора $\overrightarrow{a}$ и вычитаемого вектора $\overrightarrow{b}$ и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ . Действительно, по правилу сложения векторов $\overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{ОА} \text{ , или } \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}$ .

Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС}|\,;\,\ б)\,\,\ |\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС}|$ .

Решение а) Так как $\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{СА}\text{ , а }|\overrightarrow{СА}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС}| = а$ .

б) Так как $\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС} = \overrightarrow{СВ}\text{ , а }|\overrightarrow{СВ}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС}| = а$ .

Произведением вектора $\overrightarrow{a}$(обозначается $=\lambda\overrightarrow{a}$ или $\overrightarrow{a}\lambda$) на действительное число $\lambda$ называется вектор $\overrightarrow{b}$, коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$, имеющий длину, равную $|\lambda||\overrightarrow{a}|$, и то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$, если $\lambda > 0$ , и направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{a}$, если $\lambda < 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

В случае, когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4): $$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$ Очевидно, что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ .

Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С - произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .

Решение. Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ - противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .

Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что $$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,\ \overrightarrow{a_0} $$ , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ - ненулевой вектор, то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует, что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.

Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

Видео-решение.

От-ме-тим, что сло-же-ние век-то-ров про-из-во-дит-ся ана-ло-гич-но пла-ни-мет-рии, толь-ко все дей-ствия вы-пол-ня-ют-ся в про-стран-стве.

Итак, пусть за-да-ны два про-из-воль-ных век-то-ра в про-стран-стве (рис. 1):

Рис. 1. Про-из-воль-ные век-то-ры в про-стран-стве

Опре-де-лим, что же на-зы-ва-ет-ся сум-мой двух этих век-то-ров.

Точно так же, как в пла-ни-мет-рии, из любой удоб-ной точки, на-зо-вем ее точ-кой А, можно един-ствен-ным об-ра-зом от-ло-жить век-тор, рав-ный век-то-ру . На-пом-ним, что за-дан-ные век-то-ры, как и любые дру-гие, сво-бод-ны, важно лишь на-прав-ле-ние и длина, сам век-тор можно па-рал-лель-но пе-ре-но-сить в любое место как на плос-ко-сти, так и в про-стран-стве. Так, мы по-лу-чи-ли век-тор - в ре-зуль-та-те дей-ствия век-то-ра точка А пе-ре-ме-сти-лась в точку В. Те-перь из точки В от-кла-ды-ва-ем един-ствен-но воз-мож-ным об-ра-зом век-тор , по-лу-ча-ем век-тор - так, в ре-зуль-та-те дей-ствия век-то-ра точка В пе-ре-ме-сти-лась в точку С. В ре-зуль-та-те точка А пе-ре-ме-сти-лась в точку С, по-лу-чен век-тор , ко-то-рый и на-зы-ва-ет-ся сум-мой век-то-ров и (рис. 2).

Рис. 2. Сумма двух век-то-ров в про-стран-стве

Так, по-лу-че-но пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка для сло-же-ния век-то-ров в про-стран-стве.

Пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка

Из любой точки про-стран-ства (точка А) от-кла-ды-ва-ем пер-вый век-тор, из конца пер-во-го век-то-ра (точка В) от-кла-ды-ва-ем вто-рой век-тор и по-лу-ча-ем точку С. Век-тор, со-еди-ня-ю-щий на-ча-ло пер-во-го век-то-ра (точка А) и конец вто-ро-го (точка С), и будет ре-зуль-ти-ру-ю-щим.

От-ме-тим, что ре-зуль-тат сло-же-ния век-то-ров не за-ви-сит от вы-бо-ра на-чаль-ной точки, су-ще-ству-ет со-от-вет-ству-ю-щая тео-ре-ма, ко-то-рая это до-ка-зы-ва-ет на ос-но-ва-нии того, что из точки можно от-ло-жить век-тор, рав-ный за-дан-но-му, един-ствен-ным об-ра-зом.

Опре-де-ле-ние

Раз-но-стью двух век-то-ров на-зы-ва-ет-ся такой тре-тий век-тор, ко-то-рый, бу-дучи сло-жен-ным со вто-рым век-то-ром, даст пер-вый век-тор.

Вве-дем раз-ность век-то-ров и , для этого сло-жим век-тор с про-ти-во-по-лож-ным век-то-ром :

Итак, из про-из-воль-ной точки А от-кла-ды-ва-ем век-тор , по-лу-ча-ем точку В. Чтобы по-лу-чить век-тор мы стро-им век-тор, рав-ный век-то-ру по длине, но про-ти-во-на-прав-лен-ный. По-лу-чен-ный век-тор от-кла-ды-ва-ем из точки В - по-лу-ча-ем точку D. Век-тор и будет ис-ко-мым век-то-ром раз-но-сти.

Про-ил-лю-стри-ру-ем (рис. 3):

Рис. 3. Вы-чи-та-ние двух век-то-ров в про-стран-стве

По-стро-им на за-дан-ных век-то-рах и па-рал-ле-ло-грамм (рис. 4):

Рис. 4. Па-рал-ле-ло-грамм на двух за-дан-ных век-то-рах

Т. к. век-тор ; ана-ло-гич-но .

По пра-ви-лу тре-уголь-ни-ка:

Так, одна из диа-го-на-лей па-рал-ле-ло-грам-ма, по-стро-ен-но-го на двух век-то-рах, со-от-вет-ству-ет сумме этих век-то-ров.

Рас-смот-рим раз-ность век-то-ров. По пра-ви-лу тре-уголь-ни-ка:

Так, вто-рая диа-го-наль па-рал-ле-ло-грам-ма, по-стро-ен-но-го на двух век-то-рах, со-от-вет-ству-ет раз-но-сти этих век-то-ров.

Для сло-же-ния и вы-чи-та-ния несколь-ких век-то-ров при-ме-ня-ет-ся пра-ви-ло мно-го-уголь-ни-ка. Пусть за-да-ны век-то-ры и :

Рис. 5. Три век-то-ра в про-стран-стве

Необ-хо-ди-мо по-стро-ить век-тор .

Видим, что перед неко-то-ры-ми век-то-ра-ми стоят чис-лен-ные мно-жи-те-ли. На-пом-ним, что при умно-же-нии век-то-ра на число по-лу-ча-ем со-на-прав-лен-ный век-тор, длина ко-то-ро-го - это длина ис-ход-но-го век-то-ра, умно-жен-ная на за-дан-ное число. По-лу-чим век-то-ры и . Век-тор со-на-прав-лен с век-то-ром , длина его в три раза боль-ше. Век-тор про-ти-во-на-прав-лен век-то-ру , длина его в два раза боль-ше. Про-ил-лю-стри-ру-ем (рис. 6):

Рис. 6. Умно-же-ние век-то-ра на число

При-сту-па-ем к сло-же-нию. Из про-из-воль-ной точки А от-кла-ды-ва-ем по-лу-чен-ный век-тор - по-лу-ча-ем точку В. Из точки В от-кла-ды-ва-ем век-тор - по-лу-ча-ем точку С. Из точки С от-кла-ды-ва-ем век-тор - по-лу-ча-ем точку D. Со-глас-но пра-ви-лу мно-го-уголь-ни-ка, век-тор со-от-вет-ству-ет ис-ко-мо-му век-то-ру :

Рис. 7. Сло-же-ние век-то-ров по пра-ви-лу мно-го-уголь-ни-ка

За-да-ча 1:

Задан тет-ра-эдр ABCD (ри-су-нок 8). До-ка-зать:

Рис. 8. Тет-ра-эдр, за-да-ча 1

Ре-ше-ние:

По пра-ви-лу тре-уголь-ни-ка:

1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов . В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов :

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной , например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами .

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .

2) Действие второе. Умножение матрицы на число .

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО :

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы .

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

Значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение